九年级数学竞赛试题

2024年4月8日发(作者：南通中考数学试卷格式)

九年级数学竞赛试题

从今天起，我们要学会坚持!因为有了坚持，我们才会朝着目标坚

定地前行;因为有了坚持，我们才会努力寻求解决困难的办法;因为有了

坚持，我们才有可能把梦想变为现实。你是否有想过自己可以参加数

学竞赛并且拿奖。下面就是小编为大家梳理归纳的内容，希望能够帮

助到大家。

九年级数学竞赛试题

基础题

1.(2013年北京)在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，

把它们分别标号为1,2,3,4,5，从中随机摸出1个小球，其标号大于2

的概率为( )

A.15 B.25 C.35 D.45

2.(2013年上海)将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分

别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取1张，那

么取到字母e的概率为____________.

3.(2013年湖北宜昌)2012～2013NBA整个常规赛季中，科比罚

球投篮的命中率大约是83.3%，下列说法错误的是( )

A.科比罚球投篮2次，一定全部命中 B.科比罚球投篮2次，不一

定全部命中

C.科比罚球投篮1次，命中的可能性较大 D.科比罚球投篮1次，

不命中的可能性较小

4.(2013年福建福州)袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜

色上的区别.从袋中随机地取出1个球，如果取到白球的可能性较大，

那么袋中白球的个数可能是( )

A.3个 B.不足3个 C.4个 D.5个或5个以上

5.(2013年海南益阳)有三张大小、形状及背面完全相同的卡片，

卡片正面分别画有正三角形、正方形、圆，从这三张卡片中任意抽取

一张，卡片正面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是

________.

6.在一个不透明的盒子中，共有“一白三黑”四个围棋子，它们

除了颜色之外没有其他区别.

(1)随机地从盒中提出一子，则提出白子的概率是多少?

(2)随机地从盒中提出一子，不放回再提第二子.请你用画树状图或

列表的方法表示所有等可能的结果，并求恰好提出“一黑一白”子的

概率.

B级 中等题

7.(2013年重庆)从3,0，-1，-2，-3这五个数中，随机抽取一个

数，作为函数y=(5-m2)x和关于x的方程(m+1)x2+mx+1=0中m的

值，恰好使所得函数的图象经过第一、三象限，且方程有实数根的概

率为________.

8.(2013年湖北襄阳)襄阳市辖区内旅游景点较多，李老师和刚初

中毕业的儿子准备到古隆中、水镜庄、黄家湾三个景点去游玩.如果他

们各自在这三个景点中任选一个作为游玩的第一站(每个景点被选为第

一站的可能性相同)，那么他们都选择古隆中为第一站的概率是

________.

9.在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标上1,2,3,4.

小明先随机地摸出1个小球，小强再随机的摸出1个小球.记小明摸出

球的标号为x，小强摸出的球标号为y.小明和小强在此基础上共同协商

一个游戏规则：当x>y时，小明获胜，否则小强获胜.

(1)若小明摸出的球不放回，求小明获胜的概率;

(2)若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，问他们制定的游戏规

则公平吗?请说明理由.

10.(2012年江西)如图7?2?3，大小、质地相同，仅颜色不同的两

双拖鞋(分左、右脚)共四只，放置在地板上[可表示为(A1，A2)，(B1，

B2)].

(1)若先将两只左脚拖鞋中取出一只，再从两只右脚拖鞋中随机取

出一只，求恰好匹配成相同颜色的一双拖鞋的概率;

(2)若从这四只拖鞋中随机地取出两

11.(2013年江西)甲、乙、丙3人聚会，每人带了一件从外盒包装

上看完全相同的礼物(里面的东西只有颜色不同)，将3件礼物放在一起，

每人从中随机抽取一件.

(1)下列事件是必然事件的是( )

A.乙抽到一件礼物 B.乙恰好抽到自己带来的礼物

C.乙没有抽到自己带来的礼物 D.只有乙抽到自己带来的礼物

证明题

例1.已知：△ABC中，∠B=2∠C，AD是高

求证：DC=AB+BD

分析一：用分解法，把DC分成两部分，分别证与AB，BD相等。

可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE，再证EC=AE。

∵∠AEB=∠B=2∠C且∠AEB=∠C+∠EAC，∴∠EAC=∠C

辅助线是在DC上取DE=DB，连结AE。

分析二：用合成法，把AB，BD合成一线段，证它与DC相等。

仍然以高AD为轴，作出DC的对称线段DF。

为便于证明，辅助线用延长DB到F，使BF=AB，连结AF，则可

得

∠ABD=2∠F=2∠C。

例2.已知：△ABC中，两条高AD和BE相交于H，两条边BC和

AC的中垂线相交于O，垂足是M，N

求证：AH=2MO， BH=2NO

证明一：(加倍法――作出OM，ON的2倍)

连结并延长CO到G使OG=CO连结AG，BG

则BG∥OM，BG=2MO，AG∥ON，AG=2NO

∴四边形AGBH是平行四边形，

∴AH=BG=2MO，BH=AG=2NO

证明二：(折半法――作出AH，BH的一半)

分别取AH，BH的中点F，G连结FG，MN

则FG=MN= AB，FG∥MN∥AB

九年级数学竞赛试题

1.设a，b，c为实数，且|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，求代数式

|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|的值.

2.若m<0，n>0，|m|<|n|，且|x+m|+|x-n|=m+n，求x的取值

范围.

3.设(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0，试求a0+a2+a4+a6的

值.

4.解方程2|x+1|+|x-3|=6.

5.解不等式||x+3|-|x-1||>2.

6.求x4-2x3+x2+2x-1除以x2+x+1的商式和余式.

7.设有一张8行、8列的方格纸，随便把其中32个方格涂上黑色，

剩下的32个方格涂上白色.下面对涂了色的方格纸施行“操作”，每次

操作是把任意横行或者竖列上的各个方格同时改变颜色.问能否最终得

到恰有一个黑色方格的方格纸?

8.如果正整数p和p+2都是大于3的素数，求证：6|(p+1).

9.房间里凳子和椅子若干个，每个凳子有3条腿，每把椅子有4条

腿，当它们全被人坐上后，共有43条腿(包括每个人的两条腿)，问房

间里有几个人?

答案：

1.因为|a|=-a，所以a≤0，又因为|ab|=ab，所以b≤0，因为|c|=c，

所以c≥0.所以a+b≤0，c-b≥0，a-c≤0.所以

原式=-b+(a+b)-(c-b)-(a-c)=b.

2.因为m<0，n>0，所以|m|=-m，|n|=n.所以|m|<|n|可变为

m+n>0.当x+m≥0时，|x+m|=x+m;当x-n≤0时，|x-n|=n-x.故当-

m≤x≤n时，

|x+m|+|x-n|=x+m-x+n=m+n.

3.分别令x=1，x=-1，代入已知等式中，得

a0+a2+a4+a6=-8128.

4.略

5.略

6.商式为x2-3x+3，余式为2x-4

7.答案是否定的.设横行或竖列上包含k个黑色方格及8-k个白色

方格，其中0≤k≤8.当改变方格的颜色时，得到8-k个黑色方格及k个

白色方格.因此，操作一次后，黑色方格的数目“增加了”(8-k)-k=8-

2k个，即增加了一个偶数.于是无论如何操作，方格纸上黑色方格数目

的奇偶性不变.所以，从原有的32个黑色方格(偶数个)，经过操作，最

后总是偶数个黑色方格，不会得到恰有一个黑色方格的方格纸.

8.大于3的质数p只能具有6k+1，6k+5的形式.若p=6k+1(k≥

1)，则p+2=3(2k+1)不是质数，所以，p=6k+5(k≥0).于是，

p+1=6k+6，所以，6|(p+1).

9.设凳子有x只，椅子有y只，由题意得3x+4y+2(x+y)=43，

即5x+6y=43.

所以x=5，y=3是的非负整数解.从而房间里有8个人.

排列组合问题：

1.有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法

有()

A768种B32种C24种D2的10次方中

解：

根据乘法原理，分两步：

第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×

1=120种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生

5个5个重复，因此实际排法只有120÷5=24种。

第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻

均有2种排法，总共又2×2×2×2×2=32种

综合两步，就有24×32=768种。

2若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有()

A119种B36种C59种D48种

解：

5全排列5_4_3_2_1=120

有两个l所以120/2=60

原来有一种正确的所以60-1=59

九年级数学竞赛试题

一.选择题

1.﹣22=()

A.﹣2B.﹣4C.2D.4

【分析】根据幂的乘方的运算法则求解.

【解答】解：﹣22=﹣4，

故选B.

【点评】本题考查了幂的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方

的运算法则.

2.太阳与地球的平均距离大约是150000000千米，数据

150000000用科学记数法表示为()

A.1.5×108B.1.5×109C.0.15×109D.15×107

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤

|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动

了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，

n是正数;当原数的绝对值<1时，n是负数.

【解答】解：将150000000用科学记数法表示为：1.5×108.

故选A.

【点评】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形

式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确

确定a的值以及n的值.

3.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若

BD=2AD，则()

A.B.C.D.

【分析】根据题意得出△ADE∽△ABC，进而利用已知得出对应边

的比值.

【解答】解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∵BD=2AD，

∴===，

则=，