数学建模-数学实验2

2024年3月12日发(作者：数学试卷推荐初中合肥一模)

实验5 定积分的近似计算

一、 问题

求定积分的近似值。

二、 实验目的

了解定积分计算的梯形法与抛物线法；会用Mathematica语言编写求定积分近似值的程序；

会用Mathematica中的系统算符求定积分。

三、 预备知识

根据牛顿－莱布尼兹公式，定积分的值可以通过求原函数而计算出来，但在工程技术与

科学实验中，有些定积分的被积函数的原函数可能求不出来，即使求出，计算也可能很复杂；

特别地，当被积函数是用图形或表格给出时，更不能用牛顿－莱布尼兹公式计算。因此必需

寻求定积分的近似计算方法，根据定积分的几何意义

，直线

1． 梯形法

梯形法就是把曲边梯形分成若干窄小曲边梯形，然后用相应的窄小梯形来近似代替窄小

曲边梯形，以窄小梯形的面积之和作为曲边梯形的近似值。具体做法如下：

用分点 将区间 [，] 分成个等长的小区间，每个小区间的

，

就是曲线

及轴所围的面积，因此有下述近似计算方法。

长度记为 ，设函数y =f (x) 对应于各分点的函数值为 y0 , y1 , y2 ,„ yn ，

如右图所示，每一个窄小梯形的面积为：

＝

从而有

＝ (i =1,2,„n)

＝ (1)

(1)式称为梯形法公式。

若

|－

对于较复杂函数f(x)，估计的上限

时存在且 ，可以证明梯形法的误差为

|

往往比计算定积分本身更复杂，与实验

四的牛顿迭代法的误差估计类似，在编程计算定积分时可采用如下方法估计误差。

记

，若

＝

则以A(n+1)作为

，误差限为，逐步计算

的近似值，实现该方法的

Mathematica程序如下。

f[x_]:=以x为自变量的函数表达式;

er=误差限

a=积分下限; b=积分上限;

n=4;(*从4等分开始计算*)

A[t_]:=((b-a)/t)*((f[a]+f[b])/2+Sum[f[a+i*(b-a)/t],{i,1,t-1}]); (*梯形法公式*)

While[Abs[N[A[n+1]-A[n]]]>er,n=n+1];

N[A[n]] (*输出定积分的近似值*)

n (*输出计算停止时对[a,b]的等分数*)

上述程序的效率并不高，因为在计算A(n+1)时没有利用到A(n)的信息，这里我们可以

采用步长加倍法，即第二次计算时等分数加倍，A(2n)与A(n)的关系为

A(2n)＝

＝A(n)＋

误差估计用

，上述方法的Mathematica程序请读者自行考虑。

2 抛物线法

梯形法是用许多小的直线段代替各个小曲线段，是以“直”代“曲”的近似计算，为了

提高精度，可以考虑在小范围内用抛物线来代替曲边梯形的曲边，用二次抛物线y=px2+qx+r