浅谈分形科学及其哲学意义

2024年3月19日发(作者：甲种本高一数学试卷)

浅谈分形科学及其哲学意义

在当今的世界科学界，分形理论与混沌理论、孤子理论被公认为是三大非线性科学的

前沿。从上个世纪80年代以来，分形的新概念成为全球科学界热议的话题之一，并形成

了分形理论的研究和探索热潮。加入这个热潮的有各种门类的科学家，包括自然科学家、

社会科学家、哲学家，甚至包括各类艺术家和电影制片工作者。

一、分形科学的产生及其基本特征

[1]

分形理论的创立者是当代美籍数学家曼德布罗特，他在欧式几何整数维度的基础上提

出了分数维度的概念——分维，进而对大自然林林总总的各类粗糙的、貌似支离破碎的的

不规则形状进行描述并研究，1975年冬天，曼德布罗特为这一门更加接近自然的新学科进

行了命名——分形科学。自此，“分形”一词成为一种新方法，可以用来描绘、计算和思考

那些不规则的、凹凸不平的、零散分布的、支离破碎的图形，例如从雪花晶体的曲线到散

落在星系中的繁星点点。而分数维曲线，则代表一种隐藏在这些令人望而生畏的复杂图形

中的有序结构。

于是，分形的理论和方法被广泛采用。在那些最实用的水平上，它提供了一套工具，

被研究人员广泛接纳，公认的非线性动力学提供良方的那些结构都证明是分形的。由于开

辟了一条不寻常的学术成功之路，曼德布罗特被科学史家伯纳德·科恩列在与爱因斯坦、康

托尔齐名的少数科学家的名单上，因为这些科学家的工作在科学史上具有革命的意义。

分形理论告诉我们，那些外表极不规则与支离破碎的几何形体，有着自己内在的规律

和特性：这就是自相似性、层次性、递归性和仿射变换不变性。

自相似性就是局部的形态和整体的形态相似，或者说从整体中割裂出来的部分仍能体

现整体的基本精神与主要特征。在曼德布罗特那里，无论是对自然过程中不规则结构的研

究，还是对无限次重复形状的探讨，都贯穿着自相似性。例如，一个立于两面镜子之间的

无穷反射，这是制作动画的最好方法。自相似性作为制作曲线的一种方法，同样的变换在

越来越小的尺度上重复进行，就可以构造出美丽无比的科克雪花、谢宾斯基衬垫和地毯等

图形。自相似性是分形理论的核心，是所有特性中的基本特性。

层次性就是分形整体中存在的等级不同、规模不等的次级系统，可以说整体中的任何

部分又是一个自身的整体，依次重复，直至无限。埃菲尔铁塔就是它的类似物，它的小梁、

构架和大梁不断分叉成构件更细的格式，层次性的网络结构浑然一体。

递归性就是结构之中存在着结构。由于自相似性是不同尺度的对称，这就意味着递归。

对于分形的成长历史来说，递归性犹如情节戏剧编制而成的一样。

仿射变换不变性就是分形的局部与整体虽然不同，但经过拉伸、压缩等操作后，不仅

相似，而且可以重叠。

曼德布罗特自己称为“一份宣言和一本手册”的《自然界的分形几何》一书，标志着

分形思想的成熟。如今，它已成为额人们用来描述不规则形态的几何特征的一个有力工具。

伽利略曾把宇宙比喻为一本大书，这本大叔是用数学的语言写成的。他说：“哲学是写在这

部永远摆在我们眼前的大书中的——我这里指的是宇宙。但是，我们如果不首先学习用来

写它的语言和掌握其中的符号，我们是不能了解它的。这部著作是用数学语言写成的，其

中的符号就是三角形、圆和其他几何图形。没有这些数学语和数学符号的帮助，人们就会

在黑暗的迷宫中徒劳的徘徊。

[2]

”