2024年4月1日发(作者：江西抚州高考数学试卷题)

第十章曲线积分与曲面积分习题简答

习题 10—1

1 计算下列对弧长的曲线积分：

（1）

I 

L

xds

，其中 L 是圆

x

2

 y

2

 1

中

A(0,1)

到

B(

解: (1 

1 1

, )

之间的一段劣弧；

2 2

1

) ．

2

y

A

（2）

(x  y 1)ds

，其中

L

是顶点为

O(0, 0), A(1, 0)

L



C

o

x

B

及

B(0,1)

所成三角形的边界；

解:



L

(x  y  1)ds  3  2

2

．

（3）



L

x

2

 y

2

ds

，其中

L

为圆周

x

2

 y

2

 x

；

解:



x

2

 y

2

ds  2 ．

L

（4）

x

2

yzds

，其中 L 为折线段 ABCD ，这里

A(0, 0, 0)

，

B(0, 0, 2), C(1, 0, 2),



L

D(1, 2, 3)

；

解:

L

8

x

2

yzds 

3

2

5

．

z

B(0, 0, 2)

C(1, 0, 2)

D(1, 2,3)

2 求八分之一球面

x  y  z  1(x  0, y  0, z  0)

的边界曲线的重心，设曲线的密

22

度

 1

。

A(0, 0, 0)

x

y

解 故所求重心坐标为

4 4

4

．

, ,

 

3

3

3



习题 10—2

1 设

L

为

xOy

面内一直线

y  b

（

b

为常数），证明

1

证明：略.

Q(x, y)dy  0

。

L

2 计算下列对坐标的曲线积分：

（1）

xydx

，其中 L 为抛物线

y  x

上从点 A(1, 1) 到点 B(1,1) 的一段弧。

2

L

4

解 :

xydx 

。

L

5

（2） (x

2

 y

2

)dx  (x

2

 y

2

)dy ，其中 L 是曲线 y  1  1  x 从对应于

x  0

时的点到



L

x  2

时的点的一段弧；

解



2

)dy 

4

． (x

2

 y

2

)dx  (x

2

 y

L

3

（3）

ydx  xdy,

L 是从点

A(a, 0)

沿上半圆周

x

2

 y

2

 a

2

到点

B(a, 0)

的一段弧；

L

解

L

ydx  xdy  0.

2

dy  x

2

ydx ，其中 L 沿右半圆 x

2

 y

2

 a

2

以点 A(0, a) 为起点，经过点C(a, 0) （4） xy



L

到终点 B(0, a) 的路径；

22

4

解

L

xydy  x ydx

 a

。

4

（5）

L

3

x dx  3zy dy  x ydz

，其中 L 为从点

A(3, 2,1)

到点

B(0, 0, 0)

的直线段

AB

；

2 2

解

0

3

87

322

xdx  3zydy  x ydz  87t dt  

。

L

1

4

x

2

 y

2

 1 ,

（6）

I 



L

(z  y)dx  (x  z)dy  (x  y)dz

，

L

为椭圆周

x  y  z  2 ,

且从

z

轴



正方向看去，

L

取顺时针方向。

解:

 2

。

习题 10—3

1. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:

2


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