同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案5-1

2024年4月1日发(作者：成都小升初数学试卷文档)

同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案5-1

1 利用定积分定义计算由抛物线y=x

2

1 两直线x=a、x=b(ba)及横轴所围成的图形的面

积

解 第一步 在区间[a b]内插入n1个分点

x

i

a

ba

i

(i1 2    n1) 把区间[a b]分

n

ba

(i1 2    n)

n

成n个长度相等的小区间 各个小区间的长度为

x

i



第二步 在第i个小区间[x

i



1

 x

i

] (i1 2    n)上取右端点



i

x

i

a

S

n





f(



i

)x

i





[(a

i1i1

nn

ba

i

 作和

n

ba

2

ba

i)1]

nn

ba

n

2

2a(ba)(ba)

2

2





[a

n

i

2

i1]

n

i1

n

2

(ba)n(n1)(2n1)

2

2a(ba)n(n1)(ba)

[nan]

2

nn26

n

a(ba)(n1)(ba)

2

(n1)(2n1)

(ba)[a1]



2

n

6n

2

第三步 令



max{x

1

 x

2

     x

n

}



S



a

f(x)dxlim



f(



i

)x

i



0

i1

b

n

ba

 取极限得所求面积

n

a(ba)(n1)(ba)

2

(n1)(2n1)

lim(ba)[a1]

2

n

n

6n

2

11

(ba)[a

2

a(ba)(ba)

2

1](b

3

a

3

)ba



33

2 利用定积分定义计算下列积分

(1)



a

xdx

(a

(2)



0

e

x

dx



解 (1)取分点为

x

i

a

间上取右端点



i

x

i

a

baba

(i1 2    n) 在第i 个小区

i

(i1 2    n1) 则

x

i



nn

1

b

ba

i

(i1 2    n) 于是

n



a

xdxlim





i

x

i

lim



(a

n

i1

2

b

nn

n

i1

baba

i)

nn

1

](b

2

a

2

)



2

(ba)lim[a(ba)

n

(ba)

2

n(n1)

2n

2

i1

(2)取分点为

x

i



(i1 2    n1) 则

x

i



(i1 2    n) 在第i 个小区间上取右端点

nn



i

x

i



(i1 2    n) 于是

i

n



i

n

1

x

n

edxlime

0

n

i1



n

2

11

1

nn

lim(ee    e

n

)

n

n

n

1

lim

n

n

11

n

e[1(e

n

)

n

]

1

1e

n

lim

1

e

n

[1e]

1

n(1e

n

n

e1



)

3 利用定积分的几何意义 说明下列等式

(1)



0

2xdx1



(2)



1x

2

dx



0

4

(3)







sinxdx0







2

1

1







(4)



2



cosxdx2



0

2

cosxdx



解 (1)



0

2xdx

表示由直线y2x、x轴及直线x1所围成的面积 显然面积为1

(2)



0

1x

2

dx

表示由曲线

y1x

2

、x轴及y轴所围成的四分之一圆的面积 即圆

x

2

y

2

1的面积的

1



4

1

22



1xdx



1





0

44

(3)由于ysin x为奇函数 在关于原点的对称区间[







]上与x轴所夹的面积的代数和为

零 即

1

1

1







sinxdx0



