2024年3月15日发(作者：特别难高中数学试卷题型)

成都石室中学2022-2023学年度下期高2023届入学考试

理科数学

（全卷满分150分，考试时间120分钟）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的．

1．设

Axylog

2

x1

，

Bxx4

，则

AB

（ ）

2





A．

2,

B．

1,2

C．

1,2

2023

D．

1,

2．已知i为虚数单位，复数z满足

z

1i

i

A．第一象限 B．第二象限

，则复数z在复平面上的点位于（ ）

D．第四象限

x

C．第三象限

2

3．已知

f

x

为奇函数，当

x0

时，

f

x

xe1

，则当

x0

时，

f

x

（ ）

A．

x

2

e

x

1

B．

x

2

e

x

1

C．

x

2

e

x

1

D．

x

2

e

x

1

4．将函数

f

x

2sin

2x

3

的图象先向左平移

4

，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得

图象对应的函数解析式为（ ）

A．

g

x

2sin

4x

C．

g

x

2sin

4x

6

B．

g

x

2sin

x

D．

g

x

2sin

x

12

3

6

5．给出下列命题：（1）设a，b，c为实数，若

ac

2

bc

2

，则

ab

；（2）设

0

，则

的

取值范围是

,

；（3）当

x2

时，

y

x

A．3 B．2

1

的最小值是4．其中真命题的个数是（ ）

x

2

D．0 C．1

6．“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中华传统文化中的

太极衍生原理．如图是求“大衍数列”前n项和的程序框图．执行该程序框图，输入

m4

，则输出的

S

（ ）

A．6 B．14 C．26 D．44

7．已知函数

f

x

sinxacosx

的图象关于

x

6

对称，且

f

x

0

8

2

，则

cos

2x

0

5

3

（ ）

的值是

A．

24

25

B．

24

25

C．

7

25

D．

7

25

8．在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水；现

将该正方体容器其中一个顶点固定在地面上，使得DA，DB，DC三条棱与水平面所成角均相等，此时水平

面为HJK，如图2所示．若在图2中

DH2EF

，则在图1中

（ ）

DA3EG

A．

4

9

B．

4

81

C．

4

27

D．

8

27

9．已知函数

f

x

1

2

x2alnx

a2

x

的极值点均不大于2，且在区间

1,3

上有最小值，则实数a

2

B．



,1

D．

,1

的取值范围是（ ）

A．



,

1

4ln2

2

1



,2

4ln2

2

C．

,2

10．小明与小红两位同学计划去养老院做义工．如图，小明在街道E处，小红在街道F处，养老院位于G

处，小明与小红到养老院都选择最短路径，两人约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F；事件B：

小明经过H；事件C：从F到养老院两人的路径没有重叠部分（路口除外），则下面说法正确的个数是（ ）

（1）

P

A

A．3

1892

；（2）

P

AB

；（3）

P

CA

．

35209

B．2 C．1 D．0

11．已知

F

1

，

F

2

分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且

F

1

PF

2

当双曲线C的离心率范围为

A．

0,

3

，设

PF

1

F

2

，

6

时，

的取值范围为（ ）

,3

2













C．

,

D．

,

,

126



63



123



3



12．在

△ABC

中，

3BA2BCAC

，且对于

tR

，

ABtAC

的最小值为

BA

，则

cosABC

5

B．

12





（ ）

A．

3

4

B．

3

5

C．

4

5

D．

5

5

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．抛物线

x

2

2y

的焦点到准线的距离是______．

1



14．二项式

3x

的展开式中所有二项式系数之和为64，则二项式的展开式中常数项为______．

x



15．已知圆

C

1

：

x

2

y

2

4x2y40

与圆

C

2

：

x

2

y

2

6x2y10

，点A，B在圆

C

2

上，且

n

AB27

，线段AB的中点为D，O为坐标原点，当

OD

最大时，直线OD被圆

C

1

截得的弦长为______．

16．将闭区间

0,1

均分为三段，去掉中间的区间段

,

12

，余下的区间段长度为

a

1

；再将余下的两个区

33

间

0,

，

,1

分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度为

a

2

．以此类推，不断

33

地将余下各个区间均分为三段，并各自去掉中间的区间段．重复这一过程．记数列

a

n

表示第n次操作后

余下的区间段长度．

（1）

a

3

______；

（2）若

n

N

，都有

n

2

a

n

a

3

恒成立，则实数

的取值范围是______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生

都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

1



2



a

1

17．（本小题满分12分）已知数列

a

n

的各项均为正数，其前n项和为

S

n

，且

S

n

n

n

N

，

2

数列

b

n

的前n项积为

T

n

，满足

T

n

2

S

n

n

N

．

（Ⅰ）求数列

a

n

和

b

n

的通项公式；

（Ⅱ）设

c

n

2



1

b

n

，求数列

c

n

的前n项和

C

n

．

a

n

1



a

n

1

1

18．（本小题满分12分）第二十二届世界杯足球赛已于2022年12月18日在卡塔尔落下帷幕，这是世界杯

足球赛首次在中东国家举行．本届世界杯很可能是“绝代双骄”梅西、C罗的绝唱，狂傲的青春也将被时

间揽人温柔的怀抱，即将说再见时，才发现，那属于一代人的绝世风华，不会随年华逝去，只会在年华的

飘零中不经意的想起．为了了解某校学生对足球运动的兴趣，在该校随机抽取了男生和女生各100名进行

调查，得到如图所示的等高堆积条形图．

（Ⅰ）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“该校学生是否喜欢足球运动与性别有关”；

男生

女生

合计

求X的分布列和期望．

附表：

喜欢足球运动

不喜欢足球运动

合计

（Ⅱ）以样本的频率作为总体的概率，若从该校所有男生中随机抽取3人，抽到不喜欢足球运动的人数为X，

P

K

2

k

0

0.10

2.706

2

0.05

3.841

0.025

5.024

0.010

6.635

k

0

n

ad

bc

其有，

K

2

，

nabcd

．

a

b



c

d



a

c



b

d

19．（本小题满分12分）多面体ABCDEF如图所示，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，

FAAC

，

AB2

，

EFFA1

．

（Ⅰ）求证：平面

BEF

平面CDE；

（Ⅱ）求二面角

CDEF

的正弦值．

x

2

y

2

3

20．（本小题满分12分）已知椭圆C：

2

2

1

a

b



的离心率为

，且过点

P

2,1

．

ab

2

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线

l

1

为椭圆C在点P处的切线，

l

2

∥l

1

，且直线

l

2

与椭圆C交于A，B两点．

（ⅰ）求直线

l

1

的方程；

（ⅱ）点O为坐标原点，当

△PAB

和

△AOB

面积之和取最大值时，求直线

l

2

的方程．

21．（本小题满分12分）已知函数

f

x

ae

x

1

x

lnx

x

1

，

a0

．

（Ⅰ）求证：

f

x

存在唯一零点；



（Ⅱ）设

g

x

ae

和

x

1

x

1

，若存在

x

1

，

x

2

0,

，使得

g

x

2

g

x

1

f

x

1

，试比较

ln

x

1

1

1

2

x

2

1

的大小．

x

1

1

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．

22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系Ox中，若点A为曲线l：



cos

2



上一动点，点B在射线AO上，且满足

OAOB16

，记动点B的轨迹为曲线

3



3

C

．

（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；

（Ⅱ）若过极点的直线

l

1

交曲线C和曲线l分别于P，Q两点，且线段PQ的中点为M，求

OM

的最大值．

23．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数

f

x

ax12x4

a0

．

（Ⅰ）若

a1

，解不等式

f

x

9

；

（Ⅱ）当

x0

时，

f

x

4

恒成立，求实数a的取值范围．

成都石室中学2022-2023学年度上期高2023届入学考试

理科数学参考答案 答案及解析

1．A 【解析】因为

Axx10

1,

，

B

2,2

，所以

AB

2,

．

2．C 【解析】由

z

1i

i

位于第三象限．

3．B 【解析】当

x0

时，

x0

，

f

x



f

x



x

4．D 【解析】将函数

f

x

2sin

2x

2023



i

1

i

i

2023

i11

，所以

z



i

，所以z在复平面上的点

1

i1

i

1

i



1

i

22

2

e

x2

x

1



x

e

1

．

3

的图象向左平移

4

后，所得图象对应的函数为



y

2sin

2

x

2sin

2x

；再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，则

4

3

6





1

g

x

2sin

2

x

2sin

x

．

6

6



2

5．B 【解析】由题意，对于（1）中，若

ac

2

bc

2

则

c

2

所以（1）正确；对于（2）中，由

0

，

ab

0

，

则

的取值范围是

,0

，所以（2）不正确；

对于（3）中，当

x2

时，

y

x

11

x

2



2

4

，当且仅当

x3

时取等，所以（3）正确．

x

2x

2

1

2

1

6．C 【解析】（1）

n1

，

S0

，

m4

，n是奇数，

a



0

，

S000

，

nm

否，

n2

；

2

2

2

3

2

1

nm

否，

（2）

n2

，n不是奇数，

a2

，

S022

，

n3

；（3）

n3

，n是奇数，

a



4

，

22

4

2

S246

，

nm

否，

n4

；（4）

n4

，n不是奇数，

a8

，

S6814

，

nm

否，

n5

；

2

5

2

1

（5）

n5

，n是奇数，

a



12

，

S141226

，

nm

是，则输出

S26

．

2



7．D 【解析】因为

f

x

sinxacosx

的图象关于

x

对称，所以

f

x

sinxacosx

在

x

取

66

得极值．又

f

x

cosxasinx

，则

f

3a



0

，则

a3

，

6

22

所以

f

x

0

sinx

0

3cosx

0

2sin

x

0

所以

cos

2x

0

8

4

，即

sinx



0

，

3

53



5

2

3

7

2

．

1

2sinx





0

3

25



1114

S

△

DHJ

DK



2

2

2

，则题图1中

3323

8．B 【解析】DA，DB，DC三条棱与水平面所成角均相等时，三棱锥

DHJK

为正三棱锥．设正方体的

棱长为3，则

DHDKDJ2

，所以

V

D

HJK

V3

2

EF

44EF4

，则

EF

，所以

．

327EG81

9．A 【解析】易知最小值只能在极小值处取得，

f

x

x

x

2



x

a

1

x

3

，

2a

a

2



xx

所以

a2

．（1）当

a2

时，

f

x

在

1,3

上单调递增，无最值；（2）当

1a2

时，

f

x

在

1,a

上

单调递增，

a,2

上单调递减，

2,3

上单调递增，

f

x

在

x2

取得极小值

f

2

，又极小值必须为最小

值，则

f

1

f

2

，即

11

；（3）当

a1

时，

f

x

在

a222ln2a2a4

，即

1a

24ln2

2

1

．

1,2

上单调递减，

2,3

上单调递增，满足条件综上所述，

a

4ln2

2

2

10．A 【解析】小明到养老院能选择的最短路径条数为

C

3

7

35

条；小明到F的最短路径走法有

C

4

6

条，

18

；小明从H到养老院的最短路径有

C

3

即

6

20

条，

35

203

39

；从H到F的最短路径有

C

1

条，从F到养老院的最短路径有3条，即

P

B

3

PAB



，



3

353535

P

AB

9

P

AC

2

6

24

所以

P

AB

；又

P

AC

，所以

P

CA

，故三个都正确．

P

B

20

35

335

P

A

9

再从F到养老院的最短路径有

C

1

即

P

A

3

3

条，

11．B 【解析】在

△F

1

PF

2

中，由

e

F

1

F

2

sin

F

1

PF

2

c2c



a2aPF

1

PF

2

sin

PF

2

F

1

sin

PF

1

F

2

3

sin

sin

3

3

2

1

cos

6

．因为

e

6

12



，所以，所以

,3cos

,





,

，所以

2



6

6

22

43





,

．

126





12．D 【解析】因为

3BA2BCAC

，所以

3BA2BCAC3BA2BCBCBA

的取值范围为







2



2



a

2

c

2

b

2

22

3BA2BCBABC3c2aacosB0

．又因为

cosB

，

2ac

a

2

c

2

b

2

3c

2

2a

2

b

2

5c

2

2

222

所以

，故

b5a5c

，即

a

（1）．

2acac5



2

2



2



2bccosAccosA

因为

ABtACABtAC2tABACc

2

b

2

t

2

2tbcosA

，当

t

时，

2b

2

b



2

9164

ABtAC

取最小值，则

c

2

c

2

cos

2

Ac

2

，所以

cos

2

A

，故

cosA

，

25255

b

2

5c

2

b

c

3

b

2

c

2

a

2

2b4

5

所以

cosA

负值舍去，则

b2c

，代入（1）式得

ac

，



，

2bc2bc5c5

5

22

a

2

c

2

b

2

5

所以

csoB

．



2ac5

13．1 【解析】因为抛物线方程为

x

2

2y

，所以焦准距

p1

．

1



14．－540 【解析】由二项式

3x

的展开式中所有二项式系数之和为64，得

2

n

64

，即

n6

．所

x



k

以

T

k

1

C

6

3x

3

n

6

kk

6

2k

1

6

k

C

k

3

1x

．令

62k0

，得

k3

，所以二项式的展开式中常数项



6

x



k

为

3

6

3

1

C

3

6



540

．

15．

26

【解析】由题意可知，圆

C

1

的圆心为

C

1

2,1

，半径

r

1

3

；圆

C

2

的圆心为

C

2

3,1

，半径

r

2

3

．因

为

AB27

，所以

C

2

D2

，即点D在以

C

2

为圆心，

2

为半径的圆上，故当点D在线段

OC

2

的延

5

，故

10

长线上时，

OD

最大，此时直线OD的方程为

x3y0

，则圆心

C

1

2,1

到直线OD的距离为

5

直线OD被圆

C

1

截得的弦长为

2

3



26

．

10

2

2

2

2

82

100

16．（1） （2）

（第1空2分，第2空3分） 【解析】由题意可知，

，

a

a





，

,



a

1

21

273

3

9



3

2

2

822

a

3

a

2





，所以

a

3

，所以数列

a

n

为首项

a

1

，公比

q

的等比数列，所以

3

3

2733

3

2


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