2024年3月15日发(作者：成考数学试卷视频解答软件)
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
说明：
1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设 6 分和 0 分两档，填空题只设 9 分和 0 分两
档；其
他各题的评阅，请严格按照 本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。
2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适
当 划分档次评分， 5 分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）
本题共有 6 小题，每小题均给出 A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答
案的 代表字母填在题后的括号内。每小题选对得 6 分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论
是否写在
括号内），一律得 0 分。
1
使关于
x
的不等
x3
．
式
A
．
6 3
B ．
3
2空间四点 A、
． B、
A）
． 只有一个 B
6x
k
有解的实
k
的最大值是（ ）
数
D
．
C ．
63
C、D 满足
| AB
|
．有二
个
C
3,| BC | 7,|CD
．有四个 D
6
| 11,| DA | 9,
则
AC BD
的取
值
．有无穷多个
6. 记集合
T
{0,1,2,3,4,5,6}, M
a
1
a
2
2
7
7
2
a
3
3
a
4
1,2,3,4},
将 M 中的元素按从
4
|a
i
T,i
7
4
7
3
大到小的
顺序排列，则第
2020
个数是
A
7
．
)
B．
5
6
2
7
3
7
4
7
2
7
3
7
4
C
1
1 0 4
2 3 4
7
2
7
3
7
4
二填空题(
分
本题满分 54
6 小题，要求直每小题 9 ) 本题共有
接将答案写在横线上。
7. 将关于
x
的多项式
f(x)
x
1 x x
23
7
7
7
2
1
1
D．
7
7
2
0
3
7
3
7
4
19 20
xx
4.
则
a
0
2
表为关于
y
的多项式
g(y)
a
2
a
0
a
1
y a
2
y
ay
19
19
20
a
20
y ,
其中
1
a
20
2
上的减函数， 若
f (2a a
8. 已知
f (x)
是定义在
)
(0,
1) f (3a 4a 1)
成立，则
a
的取值范
围是
12. 如果自然数
a
的各位数字之和等于 7，那么称
a
为“吉祥数” . 将所有“吉祥数”
从小到大排成一列
a
1
,a
2
,a
3
, ,
若
a
n
2005,
则
a
5n
三、解答题(本题满分 60 分，每小题 20 分)
13. 数列
{a
n
}
满足：
a
0
7a
n
45a
n
,n N.
36
1,a
n 1
证明：( 1)对任意
n N, a
n
为正整数； (2) 对任意
n N,a
n
a
n 1
1
为完全平方数。
14. 将编号为 1,2 ，⋯， 9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一
个小球 . 设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要 S.求使 S达到最小值的放法的概率 .
(注：如果某 种放 法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法)
15.过抛物线
y x
上的一点 A( 1,1 )作抛物线的切线，分别交
x
轴于 D，交
y
轴于 B.点 C在
抛物线
2
上，点 E在线段 AC上，满足
EC
2
AE
1
1
，线段
FC
;点 F在线段 BC上，满足
CD与 EF
1
BF
2
，且
1
2 1 2
交于点 P.当点 C在抛物线上移动时，求点 P 的轨迹方程 .
2020 年全国高中数学联赛试题（二）及参考答案
、（本题满分 50 分）
三、（本题满分 50 分）
0 当 n为平方数
设正数
a
、b、c、
x
、 y、z 满足
［
cy bz
a,az cx
］当 n不为平
b;bx ay
方数
2
2 2
x
y
求函数
f (x,y,z)
1z
z
的最小值 .
1x
1y
2020 年全国高中数学联赛解答
对每个正整数 n，定义函数
f （n）
240
其中［
x
］表示不超过
x
的最大整数，
{x} x ［x］）.
k1
、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）
试求：
f （k）
.
c.
的值
本题共有 6 小题，每小题均给出 A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将
正确答案的 代表字母填在题后的括号内。每小题选对得 6 分；不选、选错或选出的代表字母超
过一个（不论是否写在 括号内），一律得 0 分。
1．使关于
x
的不等式
大值是（ ）
A．
6 3
x 3 6 x k
有解的实数
k
的最
B．
3
C ．
6 3
D ．
6
2．空间四点 A、B、C、 D满足
| AB | 3,| BC
7,|CD |
11,| DA | 9,
则
AC BD
的取
值
|
）
A．只有一个 B
．有二个 C ．有四个 D ． 有无穷多个
【答案】 A
【解析】注意到
3 11 1130
2222
22
7 9,
由于
AB
22
BC CD
2
2
2
DA 0,
则
DA
2
DA
=
2
(AB BC CD)
AB
BC
CD
2(AB BC BC CD CD AB) AB
2 2
2
2 2 2
BC
CD
2(BC AB BC BC CD CD AB) AB
BC
CD
2(AB
2222
2222
BC) (BC CD),
即
2AC BD AD
BC
AB
CD
0, AC BD
只有一个值得 0，故选A。
3．
ABC
内接于单位圆，三个内角 A、 B、 的平分线延长后分别交此圆于
A
1
、
B
1
、
C
1
。则
ABC
AA
1
cos BB
1
cos
111
222
CC
1
cos
的值为（
．8
sinA sinB sinC
A．2 B ． 4 C ．6
A
2sin(
A B
C B
C
)
222
解析】如图，连
BA
1
，则
AA
1
2sin
B
2cos(
A B C
AA
1
1
cos 2cos( )cos
2 2 2
B
sinC sin B,
同理
BB
1
cos
1
2
cos CC
1
cos 2(sin A sinB sin C ),
原式
2
1
2 sin A sinB sinC
A B C A C B cos cos cos( C) cos( B) 2 2 2 2
A
CA sin A sin C, CC
1
cos sin A sinB, AA
1
cos BB
1
111
2
2
2
B C 2(sin A sinB sinC)
2.
选
A.
5. 方
2
程
sin 2 sin 3 cos
x
A焦点
x
轴上的椭圆
．
C
在
焦点
y
轴上的椭圆
．
答案】
在
C
【解析】
2 3 ,
sin 2 sin 3.
又
0 2 , 3
圆。
2
y
2 cos 3
1
表示的曲线是（
B．焦点在
x
轴上的双曲线
D．焦点在
y
轴上的双曲线
02 3
cos(
2 2 2 2
, cos 2 0,cos 3 0, cos 2
2) cos( 3 ),
即
2
cos 3 0,
方程表示的曲线
是椭
(sin 2 sin 3) (cos 2 cos 3)
2 2sin sin(
2 2 4
2 32 3
()
2 3 2 3
0, sin 0,
2 3 3
24
3 2 3
4 2 4
2 2 2 2
23
即
sin 2 sin 3 cos 2 cos 3.
曲线表示焦点在
y
轴上的椭圆，选 C。
二、填空题(本题满分 54分，每小题 9 分) 本题共有 6 小题，要求直接将答案写在横线上。
7. 将关于
x
的多项式
f(x) 1 x x x
aay ay ay ay ,
23
x x
表为关于
y
的多项式
g(y)
2 19 20
1920
0 1 2 19 20
其中
y x 4.
则
a
0
a
1
a
20
.
5
21
答案】
1
6
解析】由题设知，
f ( x)
和式中的各项构成首项为 1，公比为
x
的等比数列，由等比数列的求
和公
g
A
L
x
l
X—
x
LD
匸
6
S
05
CXI
05
TO
o
05
血
q
.
+
喇
a
F
rl
sanas
)
戏
画
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^
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(
K
1
£
+
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|
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飞
巴
、
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)4-
二
5:
诫
甘
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【
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【
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M
Mn
X)S8
】
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X
丑
(
.
(
)
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8
・
L
(
(
X)S8
)
(
S
8
X)S8
(
(X
)S8WO
二
怒
【
(
卑
二
s
0
】
(
二
CD
(
二
目
0
倉
o
酉
o
p<
酉
co
o
寸
C
T—
N
寸
酉
o
CXI
CXI
酉
o
T—
o
w
X1
酉
— CXI
>
琴
(
寸
L
A)
(
A
)
6
e
・
寸
>
x
令
」
睡
1
碱
5
^
a
c
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・
F
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<
K
H
CO
(
X
)
s
8
tf
L
(X)
・
怔
三
及
>
・
xl
0
畳
，
，
怒
3 AD BC
AC
2
3
AD BC 3,
AC
10.如图，四面体
等号当且仅当
DABC
满足
AD
的体积为
AC
1
，且
BC
ACB 45 ,AD
这时
AB 1,AD
BC
面
AC
AC
ABC
2
1
时成立，
3,
，
则
DC 3
CD
2
11.
答案】
若正方形
3
ABCD的一条边在直线
y 2x 17
上，另外两个顶点在抛物线
2
y x
2
上.则该正方形面
的最小值为
1
AD (
1
BC AC sin45
1
) V
【答案】
解析】
3 2
) V
DABC
即
解析】设正方形的边
AB
AD BC
在直线
y 2x
17
上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为
C(x
1
,y
1
)
、
2
1.
D(x
2
,y
2
)
， 则 CD 所在 直 线
的
l
方 程
y
2x b,
将 直 线
l
的 方 程 与 抛 物 线 方 程 联 立
x
2
2x b x
1,2
1 b
1.
令正方形边长为
a,
则
a
2
(
x
1
x2
)
2
(
y
2
1
y
2
) 5(x
1
x
2
)
2
20(b 1).
①
在
y 2x 17
上任取一点
它到直线
y 2x b
的距离为
a, a
|17 b|
②.
5
①、②联立解得
b
1
3,b
2
63.
a
2
22
80,
或
a
2
1280. a
m
2
in
80.
得 ，
三、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分）
13.
数列
{a
n
}
满足：
a
0
1,a
n 1
解析】证
（
1
）对任意
n N ,a
n
为正整数； （2） 对任意
n N,a
n
a
n 1
1
为完全平方
2
证明：(1)由题设得
a
1
5,
且
{a
n
}
严格单调递增 .将条件式变形得
2a
n 1
7a
n
45a
n
36,
两边
平方整理得
a
n
1
7a
n
a
n 1
a
n
9 0
①
22
22
a
n
7a
n 1
a
n
a
n 1
9 0
②
①
-
②得
(a
n 1
a
n 1
)(a
n 1
a
n 1
7a
n
) 0,Qa
n 1
a
n
, a
n 1
a
n 1
7a
n
0
a
n 1
7a
n
a
b 1
.
③
由③式及
a
0
1,a
1
5
可知，对任意
n N , a
n
为正整数 .
14. 将编号为 1,2 ，⋯， 9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有
一个小球 设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要 S.求使 S 达到最小值的放法的概
率 . （注：如果某种放 法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法）
【解析】九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在
下求S 达到最小值的放在圆周上，从 1 到 9 有优弧与劣弧两条路径，对其条路径，设
使
2
法数： 中任一
x
1
,x,x
k
是依次排列于这段弧上的小
则
球号码，
,
|
.
上式取等
x
1
| | x
1
x
2
| x
1
) (x
1
x
2
)
||x
k
9| |(1 (x
k
9)| |1 9| 8
号当
1
9
且仅
1
，即每一弧段上的小球编号都
x
1
x
2
x
k
当
1到 9递增排列 .
是由
因此
S
最小
2 8 16
.
圆周上 的一个圆形排列，故共有8！种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的放法有
种. ⋯5分
8!
2
在 1,2 ，⋯， 9 中，除 1 与 9 外，剩下 7 个球号 2,3 ，⋯， 8 ，将它们分为两个子集，
元素较少的一个
子集共有
C
7
C
7
C C
2
种情况， 每种情况对应着圆
6
2
1
6
周上使
件总数是
2
种，故所求概率
P
8! 315
2
012
7
3
7
6
6
2
S 值达到最小的唯一排法， 即有
利事
15. 过抛物线
y x
上的
A（1,1 ）作抛物线的切线，
x
轴于 D，交
y
轴于 B. 点 C
一点
分别交
BF
在抛物线
2
，且
1 2
1
，线段 CD与 EF
由上知，当每个弧段上的球号
,x
1
,x
2
, x
k
,9}
确定之后，达到最小值的排序方案便
1
;点 F在线段 BC上，满足
{1
唯一确定
BF
AE
上，点 E 在线段 AC上，满足
AE
EC
交于点 P.当点 C 在抛物线上移动时，求点 P的轨迹方程 .
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