浙江省杭州市高一下期末数学试卷含答案解析

2024年4月11日发(作者：湖南单招试题数学试卷)

D

．

[0

，

1

]

D

．（

，

0

）

-

浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷

一、选择题（共

25

小题，每小题

2

分，满分

55

分）

1

．函数

f

（

x

）

=

A

．

[1

，

+

∞

）

的定义域是（ ）

B

．（

1

，

+

∞

）

C

．（

0

，

1

）

2

．函数

f

（

x

）

=sin2x

，

x

∈

R

的一个对称中心是（ ）

A

．（，

0

）

B

．（，

0

）

C

．（，

0

）

3

．设向量

=

（

m

，

2

）（

m

≠

0

），

=

（

n

，﹣

1

），若

∥

，则

=

（ ）

A

．

B

．﹣

C

．

2 D

．﹣

2

4

．函数

f

（

x

）

=lnx+x

﹣

2

的零点位于区间（ ）

A

．（

0

，

1

）

B

．（

1

，

2

）

C

．（

2

，

3

）

D

．（

3

，

4

）

），则

k+

α

=

（ ）

5

．已知幂函数

f

（

x

）

=kx

α

（

k

∈

R

，

α

∈

R

）的图象过点（，

A

．

B

．

1

C

．

D

．

2

6

．在区间（﹣

1

，

1

）上单调递增且为奇函数的是（ ）

A

．

y=ln

（

x+1

）

7

．若向量

A

．

B

．

y=xsinx C

．

y=x

﹣

x

3

D

．

y=3x+sinx

D

．

=

﹣

2

，

||=4

，

||=1

，则向量，的夹角为（ ）

B

．

C

．

8

．设函数

f

（

x

）

=x

2

+ax

，

a

∈

R

，则（ ）

A

．存在实数

a

，使

f

（

x

）为偶函数

B

．存在实数

a

，使

f

（

x

）为奇函数

C

．对于任意实数

a

，

f

（

x

）在（

0

，

+

∞

）上单调递增

D

．对于任意实数

a

，

f

（

x

）在（

0

，

+

∞

）上单调递减

9

．若偶函数

f

（

x

）在区间（﹣

∞

，

0

]上单调递减，且

f

（

7

）

=0

，则不等式（

x

﹣

1

）

f

（

x

）

＞

0

的解集是（ ）

1 / 29

A

．（﹣

∞

，﹣

1

）

∪

（

1

，

+

∞

）

1

）

∪

（

7

，

+

∞

）

B

．（﹣

∞

，﹣

7

）

∪

（

7

，

+

∞

）

C

．（﹣

7

，

D

．（﹣

7

，

1

]

∪

（

7

，

+

∞

）

，则实数

a

的值为（ ）

10

．函数

f

（

x

）

=asin2x+cos2x

，

x

∈

R

的最大值为

A

．

2

B

．﹣

2

C

．

±

2 D

．

11

．函数

f

（

x

）

=sin2x

与函数

g

（

x

）

=2x

的图象的交点的个数是（ ）

A

．

1

12

．设

a=log

2

π

，

b=log

A

．

a

＞

b

＞

c

B

．

3 C

．

5 D

．

7

π

，

c=

π

﹣

2

，则（ ）

B

．

b

＞

a

＞

c C

．

a

＞

c

＞

b

D

．

c

＞

b

＞

a

13

．函数

y=cos2x

﹣

sin2x

的图象可以由函数

y=cos2x+sin2x

的图象经过下列哪种变换得到

（ ）

A

．向右平移

B

．向右平移

π

C

．向左平移

D

．向左平移

π

14

．函数

f

（

x

）

=ln

（

x

2

+1

）的图象大致是（ ）

A

．

B

．

C

．

D

．

15

．设函数

f

（

x

）

=min{2

，

|x

﹣

2|}

，其中

min|a

，

b|=

．若函数

y=f

（

x

）﹣

m

）

有三个不同的零点

x

1

，

x

2

，

x

3

，则

x

1

+x

2

+x

3

的取值范围是（ ）

A

．（

2

，

6

﹣

2

）

B

．（

2

，

+1

）

C

．（

4

，

8

﹣

2

）

D

．（

0

，

4

﹣

2

16

．设

M

是

△

ABC

边

BC

上任意一点，

N

为

AM

上一点且

AN=2NM

，若

，则

λ

+

μ

=

（ ）

A

．

B

．

C

．

1

D

．

17

．计算：

=

（ ）

A

．

B

．

C

．

D

．﹣

2 / 29

18

．若函数

f

（

x

）

=x

2

﹣

2x+1

在区间

[a

，

a+2

]上的最小值为

4

，则

a

的取值集合为（ ）

A

．

[

﹣

3

，

3

]

B

．

[

﹣

1

，

3

]

C

．

{

﹣

3

，

3}

D

．

[

﹣

1

，﹣

3

，

3

]

D

．

4

19

．若不等式

|ax+1|

≤

3

的解集为

{x|

﹣

2

≤

x

≤

1}

，则实数

a=

（ ）

A

．

1

20

．如图，己知

|

点，

=x+y

B

．

2

|=5

，

|

C

．

3

|=3

，

∠

AOB

为锐角，

OM

平分

∠

AOB

，点

N

为线段

AB

的中

，若点

P

在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于

x

、

y

的式子

中，

①

x

≥

0

，

y

≥

0

；

②

x

﹣

y

≥

0

；

③

x

﹣

y

≤

0

；

④

5x

﹣

3y

≥

0

；

⑤

3x

﹣

5y

≥

0

．满足题设条件的

为（ ）

A

．

①②④

B

．

①③④

C

．

①③⑤

D

．

②⑤

21

．设不等式

4

x

﹣

m

（

4

x

+2

x

+1

）

≥

0

对于任意的

x

∈

[0

，

1

]恒成立，则实数

m

的取值范围是

（ ）

A

．（﹣

∞

，]

B

．

[

]

C

．

[

]

=|

D

．

[

，

+

∞

）

|

2

，则

=

（ ）

22

．设

O

为

△

ABC

的外心（三角形外接圆的心），若

A

．

1

23

．设函数

f

（

x

）

=

数

a

的取值范围是（ ）

A

．（

1

，

+

∞

）

（

1

，

+

∞

）

24

．函数

A

．

[1

，]

B

．

[1

，]

的值域为（ ）

C

．

[1

，]

B

．

C

．

2 D

．

．若方程

f

（

x

）

=1

有

3

个不同的实数根，则实

D

．（﹣

∞

，﹣

1

）

∪

B

．

{

﹣

1}

∪

（

1

，

+

∞

）

C

．（﹣

∞

，﹣

1

）

D

．

[1

，

2

]

=6

，则

△

ABC

25

．在

△

ABC

中，

BC=6

，若

G

，

O

分别为

△

ABC

的重心和外心，且

的形状是（ ）

3 / 29

A

．锐角三角形

C

．直角三角形

B

．钝角三角形

D

．上述三种情况都有可能

二、填空题（共

5

小题，每小题

3

分，满分

15

分）

26

．若函数

f

（

x

）

=2sin

（

ω

x

）（

ω

＞

0

）的最小正周期为

，则

ω

=

．

27

．设

tanx=2

，则

cos

2

x

﹣

2sinxcosx=

．

28

．计算：

log

8

9log

3

2

﹣

lg4

﹣

lg25=

．

29

．已知

A

、

B

、

C

是单位圆上三个互不相同的点，若

|

是 ．

30

．若函数

f

（

x

）

=

是 ．

﹣

|=||

，则

的最小值

﹣

a

存在零点，则实数

a

的取值范围

与

三、解答题（共

3

小题，满分

30

分）

31

．已知向量，如图所示．

（

Ⅰ

）作出向量

2

﹣（请保留作图痕迹）；

（

Ⅱ

）若

||=1

，

||=2

，且与的夹角为

45

°

，求

的夹角的余弦值．

32

．设

α

是三角形的一个内角，且

sin

（

）

=cos

（）．

（

Ⅰ

）求

tan2

α

的值；

（

Ⅱ

）求函数

f

（

x

）

=4sinxcosxcos2

α

+cos2xsin2

α

﹣

1

的最大值．

33

．设函数

f

（

x

）

=

（

x

﹣

2

）

||x|

﹣

a|

，

a

＞

0

．

4 / 29

（

Ⅰ

）当

a=3

时，求

f

（

x

）的单调递增区间；

（

Ⅱ

）求

f

（

x

）在

[

﹣

3

，

3

]上的最小值．

D

．

[0

，

1

]

-

浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共

25

小题，每小题

2

分，满分

55

分）

1

．函数

f

（

x

）

=

A

．

[1

，

+

∞

）

的定义域是（ ）

B

．（

1

，

+

∞

）

C

．（

0

，

1

）

【考点】函数的定义域及其求法．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．

【解答】解：要使函数有意义，则

x

﹣

1

≥

0

，

即

x

≥

1

，

故函数的定义域为

[1

，

+

∞

），

故选：

A

【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．

D

．（

，

0

）

2

．函数

f

（

x

）

=sin2x

，

x

∈

R

的一个对称中心是（ ）

A

．（，

0

）

B

．（，

0

）

C

．（

，

0

）

【考点】正弦函数的图象．

【专题】三角函数的图像与性质．

【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性求得函数的对称中心，从而得出结论．

【解答】解：对于函数

f

（

x

）

=sin2x

，

x

∈

R

，令

2x=k

π

，

k

∈

z

，

求得

x=

，故函数的对称中心为（，

0

），

k

∈

z

，

5 / 29

故选：

D

．

【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．

3

．设向量

=

（

m

，

2

）（

m

≠

0

），

=

（

n

，﹣

1

），若

∥

，则

=

（ ）

A

．

B

．﹣

C

．

2 D

．﹣

2

【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．

【专题】计算题；平面向量及应用．

【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出

m

的值．

【解答】解：

∵

向量

=

（

m

，

2

）（

m

≠

0

），

=

（

n

，﹣

1

），

且

∥

，

∴

﹣

1m

﹣

2n=0

∴

=

﹣．

故选：

B

．

【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目．

4

．函数

f

（

x

）

=lnx+x

﹣

2

的零点位于区间（ ）

A

．（

0

，

1

）

B

．（

1

，

2

）

C

．（

2

，

3

）

D

．（

3

，

4

）

【考点】函数零点的判定定理．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】求导函数，确定函数

f

（

x

）

=lnx+x

﹣

2

单调增，再利用零点存在定理，即可求得

结论．

【解答】解：求导函数，可得

f

′

（

x

）

=+1

，

∵

x

＞

0

，

∴

f

′

（

x

）＞

0

，

∴

函数

f

（

x

）

=lnx+x

﹣

2

单调增

∵

f

（

1

）

=ln1+1

﹣

2=

﹣

1

＜

0

，

f

（

2

）

=ln2

＞

0

∴

函数在（

1

，

2

）上有唯一的零点

故选：

B

．

6 / 29

【点评】本题考查函数的零点，解题的关键是确定函数的单调性，利用零点存在定理进行

判断．

），则

k+

α

=

（ ）

5

．已知幂函数

f

（

x

）

=kx

α

（

k

∈

R

，

α

∈

R

）的图象过点（，

A

．

B

．

1

C

．

D

．

2

），

【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据幂函数

f

（

x

）的定义与性质，求出

k

与

α

的值即可．

【解答】解：

∵

幂函数

f

（

x

）

=kx

α

（

k

∈

R

，

α

∈

R

）的图象过点（，

∴

k=1

，

=

，

∴α

=

﹣；

∴

k+

α

=1

﹣

=

．

故选：

A

．

【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．

6

．在区间（﹣

1

，

1

）上单调递增且为奇函数的是（ ）

A

．

y=ln

（

x+1

）

B

．

y=xsinx C

．

y=x

﹣

x

3

D

．

y=3x+sinx

【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】利用奇偶函数的定义判断奇偶性，再确定函数的单调性，即可得到结论

【解答】解：对于

A

，函数不是奇函数，在区间（﹣

1

，

1

）上是增函数，故不正确；

对于

B

，函数是偶函数，故不正确；

对于

C

，函数是奇函数，因为

y

′

=1

﹣

3x

2

，所以函数在区间（﹣

1

，

1

）不恒有

y

′

＞

0

，函数

在区间（﹣

1

，

1

）上不是单调递增，故不正确；

7 / 29

对于

D

，以

y=3x+sinx

是奇函数，且

y

′

=3+cosx

＞

0

，函数在区间（﹣

1

，

1

）上是单调递

增，故

D

正确

故选：

D

．

【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，正确运用定义是关键

7

．若向量

A

．

D

．

=

﹣

2

，

||=4

，

||=1

，则向量，的夹角为（ ）

B

．

C

．

【考点】平面向量数量积的运算．

【专题】平面向量及应用．

【分析】根据平面向量的数量积公式求向量的夹角．

【解答】解：由已知向量

=

﹣

2

，

||=4

，

||=1

，则向量，的夹角的余弦值为：

，由向量的夹角范围是

[0

，

π

]，

所以向量，的夹角为

故选：

A

．

；

【点评】本题考查了利用平面向量的数量积公式求向量的夹角；熟记公式是关键．

8

．设函数

f

（

x

）

=x

2

+ax

，

a

∈

R

，则（ ）

A

．存在实数

a

，使

f

（

x

）为偶函数

B

．存在实数

a

，使

f

（

x

）为奇函数

C

．对于任意实数

a

，

f

（

x

）在（

0

，

+

∞

）上单调递增

D

．对于任意实数

a

，

f

（

x

）在（

0

，

+

∞

）上单调递减

【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据偶函数、奇函数的定义，二次函数的单调性即可判断每个选项的正误．

【解答】解：

A

．

a=0

时，

f

（

x

）

=x

2

为偶函数，

∴

该选项正确；

B

．若

f

（

x

）为奇函数，

f

（﹣

x

）

=x

2

﹣

ax=

﹣

x

2

﹣

ax

；

8 / 29

∴

x

2

=0

，

x

≠

0

时显然不成立；

∴

该选项错误；

；

C

．

f

（

x

）的对称轴为

x=

当

a

＜

0

时，

f

（

x

）在（

0

，

+

∞

）没有单调性，

∴

该选项错误；

D

．根据上面

a

＜

0

时，

f

（

x

）在（

0

，

+

∞

）上没有单调性，

∴

该选项错误．

故选

A

．

【点评】考查偶函数、奇函数的定义，以及二次函数单调性的判断方法．

9

．若偶函数

f

（

x

）在区间（﹣

∞

，

0

]上单调递减，且

f

（

7

）

=0

，则不等式（

x

﹣

1

）

f

（

x

）

＞

0

的解集是（ ）

A

．（﹣

∞

，﹣

1

）

∪

（

1

，

+

∞

）

1

）

∪

（

7

，

+

∞

）

B

．（﹣

∞

，﹣

7

）

∪

（

7

，

+

∞

）

C

．（﹣

7

，

D

．（﹣

7

，

1

]

∪

（

7

，

+

∞

）

【考点】奇偶性与单调性的综合．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．

【解答】解：

∵

偶函数

f

（

x

）在区间（﹣

∞

，

0

]上单调递减，且

f

（

7

）

=0

，

∴

f

（

x

）在区间

[0

，

+

∞

）上单调递增，且

f

（﹣

7

）

=f

（

7

）

=0

，

即

f

（

x

）对应的图象如图：

则不等式（

x

﹣

1

）

f

（

x

）＞

0

等价为：

或，

即或，

即

x

＞

7

或﹣

7

＜

x

＜

1

，

故选：

C

9 / 29

【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关

键．

，则实数

a

的值为（ ）

10

．函数

f

（

x

）

=asin2x+cos2x

，

x

∈

R

的最大值为

A

．

2

B

．﹣

2

C

．

±

2

D

．

【考点】两角和与差的正弦函数．

【专题】计算题；三角函数的图像与性质．

【分析】通过辅助角公式，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的最大值

求出

a

．

sin

（

2x+

φ

），其中

tan

φ

=

，

…

（

2

分）

，

【解答】解：函数

f

（

x

）

=asin2x+cos2x=

因为函数

f

（

x

）

=asin2x+cos2x

的最大值为

∴

=

，解得

a=

±

2

．

故选：

C

．

…

（

4

分）

【点评】本题主要考查了正弦函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．

11

．函数

f

（

x

）

=sin2x

与函数

g

（

x

）

=2x

的图象的交点的个数是（ ）

A

．

1

B

．

3 C

．

5

D

．

7

【考点】正弦函数的图象．

【专题】三角函数的图像与性质．

10 / 29

【分析】在同一个坐标系中分别画出函数

f

（

x

）

=sin2x

与函数

g

（

x

）

=2x

的图象，数形结

合可得它们的图象的交点个数．

【解答】解：在同一个坐标系中分别画出函数

f

（

x

）

=sin2x

与函数

g

（

x

）

=2x

的图象，

如图所示，

结合图象可得它们的图象的交点个数为

1

，

故选：

A

．

【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．

12

．设

a=log

2

π

，

b=log

A

．

a

＞

b

＞

c

π

，

c=

π

﹣

2

，则（ ）

B

．

b

＞

a

＞

c C

．

a

＞

c

＞

b

D

．

c

＞

b

＞

a

【考点】对数值大小的比较．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，

a

，

b

，

c

的取值范围，即可得到结论．

π

＜

0

，

0

＜

π

﹣

2

＜

1

，

【解答】解：

log

2

π

＞

1

，

log

即

a

＞

1

，

b

＜

0

，

0

＜

c

＜

1

，

∴

a

＞

c

＞

b

，

故选：

C

【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关

键，比较基础．

11 / 29

13

．函数

y=cos2x

﹣

sin2x

的图象可以由函数

y=cos2x+sin2x

的图象经过下列哪种变换得到

（ ）

A

．向右平移

B

．向右平移

π

C

．向左平移

D

．向左平移

π

），

y=cos2x

﹣

sin2x=sin

），

【考点】函数

y=Asin

（

ω

x+

φ

）的图象变换．

【专题】三角函数的图像与性质．

【分析】根据函数

y=cos2x+sin2x=

（

sin

（

2x+

），利用

y=Asin

（

ω

x+

φ

）的图象变化规律，可得结论．

sin

（

2x+

），

y=cos2x

﹣

sin2x=

）

+

]

=sin

（

2x

﹣

）

=

﹣

sin

（

π

+

﹣

2x

）

=

sin

（【解答】解：

∵

y=cos2x+sin2x=

又

∵

y=

（

sin[2

（

x

﹣

），

sin

∴

函数

y=cos2x+sin2x

的图象向右平移

故选：

A

．

可得函数

y=cos2x

﹣

sin2x

的图象．

【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，

y=Asin

（

ω

x+

φ

）的图象变化规律，属于基础

题．

14

．函数

f

（

x

）

=ln

（

x

2

+1

）的图象大致是（ ）

A

．

B

．

C

．

D

．

【考点】函数的图象．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】

∵

x

2

+1

≥

1

，又

y=lnx

在（

0

，

+

∞

）单调递增，

∴

y=ln

（

x

2

+1

）

≥

ln1=0

，函数的图象

应在

x

轴的上方，

在令

x

取特殊值，选出答案．

12 / 29

【解答】解：

∵

x

2

+1

≥

1

，又

y=lnx

在（

0

，

+

∞

）单调递增，

∴

y=ln

（

x

2

+1

）

≥

ln1=0

，

∴

函数的图象应在

x

轴的上方，又

f

（

0

）

=ln

（

0+1

）

=ln1=0

，

∴

图象过原点，

综上只有

A

符合．

故选：

A

【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档

题．

，

|x

﹣

2|}

，其中

min|a

，

b|=

．若函数

y=f

（

x

）﹣

m

）

15

．设函数

f

（

x

）

=min{2

有三个不同的零点

x

1

，

x

2

，

x

3

，则

x

1

+x

2

+x

3

的取值范围是（ ）

A

．（

2

，

6

﹣

2

）

B

．（

2

，

+1

）

C

．（

4

，

8

﹣

2

）

D

．（

0

，

4

﹣

2

【考点】函数零点的判定定理．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】先比较

2

与

|x

﹣

2|

的大小以确定

f

（

x

）的解析式，然后结合函数的图象即可判

断符合条件的

m

的范围，求出

x

1

，

x

2

，

x

3

，的值从而求出

x

1

+x

2

+x

3

的取值范围．

，

，

【解答】解：令

y=f

（

x

）﹣

m=0

，得：

f

（

x

）

=m

，

由

2

≥

|x

﹣

2|

可得

x

2

﹣

8x+4

≤

0

，解可得

4

﹣

2

≤

x

≤

4+2

时，

2

≤

x

≤

4+2

当

4

﹣

2

当

x

＞

4+2

≥

|x

﹣

2|

，此时

f

（

x

）

=|x

﹣

2|

时，

2

＜

|x

﹣

2|

，此时

f

（

x

）

=2

或

0

≤

x

＜

4

﹣

3

其图象如图所示，

13 / 29

，

∵

f

（

4

﹣

2

）

=2

﹣

2

，

﹣

2

，

由图象可得，当直线

y=m

与

f

（

x

）图象有三个交点时

m

的范围为：

0

＜

m

＜

2

+4=8

﹣

2

，

不妨设

0

＜

x

1

＜

x

2

＜

2

＜

x

3

，

则由

2=m

得

x

1

=

，

由

|x

2

﹣

2|=2

﹣

x

2

=m

，得

x

2

=2

﹣

m

，

由

|x

3

﹣

2|=x

3

﹣

2=m

，得

x

3

=m+2

，

∴

x

1

+x

2

+x

3

=

当

m=0

时，

+2

﹣

m+m+2=

+4=4

，

m=2

．

+4

，

﹣

2

时，

∴

4

＜

x

1

+x

2

+x

3

＜

8

﹣

2

故选：

C

．

【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数的交点个数的判断，解题的关键是结合函

数的图象．

16

．设

M

是

△

ABC

边

BC

上任意一点，

N

为

AM

上一点且

AN=2NM

，若

，则

λ

+

μ

=

（ ）

A

．

B

．

C

．

1

D

．

【考点】平面向量的基本定理及其意义．

【专题】平面向量及应用．

14 / 29

【分析】利用平面向量基本定理，用

=

λ

+

μ

，

、表示出、，从而得出结论．

【解答】解：如图所示，

∵

M

是

△

ABC

边

BC

上任意一点，

设

=m+n

，

∴

则

m+n=1

，

+n

又

∴

AN=2NM

，

∴

∴

=

=

，

=m

∴λ

+

μ

=

（

m+n

）

=

．

故选：

B

．

【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是用

，属于基础题．

17

．计算：

=

（ ）

、表示出向量

A

．

B

．

C

．

D

．﹣

【考点】三角函数中的恒等变换应用．

【专题】计算题；三角函数的求值．

【分析】利用诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式将所求式子转化为

10

°

角的正弦

函数值，即可得解．

【解答】解：

===

．

15 / 29