论复变函数中支点的地位与作用

2024年1月18日发(作者：孙洪波数学试卷视频)

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毕业论文（设计）

题 目： 论复变函数中支点的地位和作用

学生姓名：

学 号：

所在院系：

专业名称：

届 次：

指导教师：

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数学与计算科学系

数学与应用数学专业

2014 届

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淮南师范学院本科毕业论文（设计）

诚信承诺书

1.本人郑重承诺：所呈交的毕业论文（设计），题目《

》是本人在指导教师指导下独立完成的，没有弄虚作假，没有抄袭、剽窃别人的内容；

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4.本人已被告知并清楚：学院对毕业论文（设计）中的抄袭、剽窃、弄虚作假等违反学术规范的行为将严肃处理，并可能导致毕业论文（设计）成绩不合格，无法正常毕业、取消学士学位资格或注销并追回已发放的毕业证书、学士学位证书等严重后果；

5.若在省教育厅、学院组织的毕业论文（设计）检查、评比中，被发现有抄袭、剽窃、弄虚作假等违反学术规范的行为，本人愿意接受学院按有关规定给予的处理，并承担相应责任。

学生（签名）：

日期： 年 月 日

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目 录

引言 ................................................................................................................................................. 2

1预备知识 .................................................................................................................................... 2

1.1支点的定义 ......................................................................................................................... 2

1.2

无穷远点（

∞的引入） ............................................................................................... 3

2支点在多值函数中的作用 ..................................................................................................... 4

2.1

在多值函数中的作用 ...................................................................................................... 4

2.1.1支点在作可单值分支中的作用 ............................................................................. 4

2.1.2 支点在单值解析分支中的作用 ............................................................................ 6

2.2

有限支点在复变函数中的地位及作用 ...................................................................... 9

2.3

无穷远点在复变函数中的地位与作用 ................................................................... 12

2.3.1 有关无穷远点的规定 ........................................................................................... 12

2.3.2 无穷远点在解析函数奇点中的作用及地位 .................................................. 15

2.4

支点在留数中的作用与地位 ..................................................................................... 16

2.4.1无穷远点∞留数的计算方法 .............................................................................. 17

2.4.2 支点在多值函数的积分中的应用 .................................................................... 20

结论 .............................................................................................................................................. 24

参考文献 ................................................................................................................................... 24

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论复变函数中支点的地位与作用

学生：王艳丽（指导老师：霍玉洪）

（淮南师范学院数学与计算科学系）

摘要：本文先对支点的定义进行介绍，再介绍无穷远点的引入及其相关知识点并结合例题加以说明支点在复变函数中的地位与作用。紧接着介绍支点在多值函数中的应用和有限支点在复变函数中的作用，最后再通过相关定理及例题说明支点在留数中的应用。

关键词:支点；有限点；无穷远点；留数

The position and role of the functions of a

complex variable fulcrum

Student: Yanli Wang (Faculty Adviser: Yuhong Huo)

(Department of

Mathematics and Computational Science, Huainan Normal University)

Abstract: The paper introduce defines of fulcrum firstly, and then introduce

the infinite point and related knowledge. Soon afterwards it combines

with examples to illustrate the fulcrum in complex status

and function. And then introduce the fulcrum in the application of

multi value function and limited fulcrum in the complex

variable function. In the end, it adopts the relevant theorems and

examples to illustrate the application of the fulcrum in the residue.

Keywords: fulcrum; the finite point; infinite point; residue

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引言

如果把实数域中的初等函数推广到复数域中，那么这些初等函数的性质也会跟着其发生相应的一些变化，譬如根式函数w=nz和对数函数w=lnz都变成了多值函数。在多值函数的复平面上，如果用简单曲线把该多值函数的全部支点依次连接起来并沿着它割破z平面，那么割破了的z平面就构成了一个以这条割线为边界的区域，记作G，因此在G内就可以分出该多值函数的单值解析分支。然而我们在G内任意选取一点z0，并指定z0的一个辐角值，那么在G内任意的点z,均可由z0的辐角，连续变化而唯一确定z的辐角。

当把数学分析中的初等函数的解析推广到复数域时,然而就会有些单值函数

(譬如lnx)随之派生出多值函数，而那些原本应该属于实数域中的多值函数就会随之变为复数域中的多值函数，由此可以看出，当且仅当在复数域内讨论这些多值函数才可以真正的体现出它们的真实本质。

因此在复变函数论中，多值函数的讨论占有重要位置，可见支点在复数函数中的重要性和地位。

1预备知识

1.1支点的定义

定义：若存在一点a（可以是∞），设多值函数f(z)在该点的某一充分小的去心邻域G-{a}内有定义,如果对于G-{a}中的任意一条不包含a的简单封闭曲线L，当变点z从L上一点出发，绕简单闭曲线L连续变动一周而回到其出发点时，此时f(z)的函数值没有发生变化，反之，若总存在一条包围点a的简单闭曲线L，使得当变点z绕a点旋转一圈时，使多值函数f(z)从其一支变为另一支,也就是说，当变点z回到其出发点的位置时，函数值与原来值相异，那么我们就称点.

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a为f(z)的一个支点[1]。

1.2 无穷远点（∞的引入）

我们都知道，复数有一种几何表示法, 即任何一个复数都可以用复平面上的一个点来表示，如果借用地图制图学中将地图投影到坐标平面上的测地投影法,可以建立复平面与球面上的点的对应[2]。故，我们就用这种对应关关来说明复变函数中引入∞的合理性。

图1 引入∞的示意图

如上图1所示，取一个与z平面相切并且过原点O的球面,现过点O作一条垂直于z平面的直线且与球面相交于一点N，任取z平面上的一点z与点N相连而成一条直线段,那么，此线段必交球面于一点，记为P(z)。因此,复平面上的点与球面上的点(点N除外)建立起一个一一对应关系。

z平面上一个以原点O为中心的圆周C对应球面上一个圆周。当圆周C的半径越来越大时,圆周C就会越来越靠近于点N，故我们把点N看作是一个与z平面上的模为无穷大的假想点相对应,所以我们就把这个假想点叫做无穷远点，因此，在复平面加上无穷远点后，复平面就变成了扩充复平面,然而与其对应的就是整个球面,故我们称这个球面为复球面。换句话说,这个扩充复平面的几何模型就是复球面，所以扩充复平面上的这个假想的无穷远点就会随之对应一个假想.

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的复数。我们称这个假想的复数为无穷。在复变函数中，由于点和数不可区分,所以无穷和无穷远点就不可以区分,故都记作∞[3]。

定义1 设在解析区域D内有一点a使复变函数f(z)在此点处的值为零，则称点ａ为解析函数f(z)的零点[4]。

定义2 若函数f(z)在点z0不解析，但在z0的任一领域内总有f(z)的解析点，则称z0为函数f(z)的奇点[5]。

定义3 设复变函数f(z)在点a的去心邻域：０＜｜ｚ－ａ｜＜R 内解析点ａ为奇点，则称点a为函数f(z)的孤立奇点[6]。

定义4 设有限点a为复变函数f(z)的孤立奇点，即复变函数f(z)在点a的去心邻域：０＜｜ｚ－ａ｜＜R 内解析,则称积分

12if(z)dz（:｜ｚ－ａ｜=，0<

za为复变函数f(z)在点a的留数（residue）记为Resf(z)[7].

2支点在多值函数中的作用

2.1 在多值函数中的作用

为了说明支点在多值函数中的作用，下将分别以支点在可单值分支中的作用和支点在单值解析分支中的作用加以说明。

2.1.1支点在作可单值分支中的作用

连接所有支点的Jordan曲线为支割线，将复平面沿支割线割开所得的区域为可单值分支区域。在实际问题中，我们总是想使可单值分支区域更大一点，从而使取得得割线更短一些[8]。例如：

（1）log F（z）的可单值分支区域

如果函数F(z)可以分解为F(z) =F1(z)F2(z)（其中函数F1(z)为一有理式，F1(z).

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的分子分母次数相同且F1(z)本身不能再作类似的分解），此时我们只需将F1(z)的所有相关的支点（点除外）连接起来，就可以分出log F1(z)的单值分支。又因为log F（z） = log F1(z) +log F2(z)，所以我们只需要考虑log F2(z)的多值性。利用以上的方法，再分解F2(z)，如此进行下去，就可以得到 log F（z）的最大可单值分支区域。

(2)nR(z) 的可单值分支区域

已知R1（z）为一有理式，且其分子次数与分母次数之差为n的整数倍，而且R（本身不能分解, 若存在R2(z)使R(z)分解为R(z) = R（R2(z)，那么将nR1(z)1z）1z）的各支点连接起来作割线，就可以分出nR1(z)的单支分支。利用这个原则，再对R2(z)类似分解，如此继续下去，就可以得到nR(z)的最大可单值分支区域。

例1 求

F（z）=(z1)(z3)(z4)(z5)的可单值分支区域．

解: 由（z-1)(z-3)(z-4)(z-5)=0得

z = 1，3，4，5，即z = 1，3，4，5都是F（z）的支点，可见，在复平面内沿实轴从z =1到z = 5做割线，那么所得到的区域D即是可单值分支区域。为了使割线尽量小，此时只需要考虑仅含两个支点的Jordan 曲线。

设C是一条不通过z=1，3，4，5且仅内含z=1，3的Jordan 曲线，则

c(z1)(z3)(z4)(z5)=carg(z1)+carg(z3）+carg(z4）

+c

arg(z5）=

22=4

故由cnR(z)=0可得cargz=2nk(这里k为任意整数，n为自然数)。从而有cF(z)=0，同理，若取C是仅含有z=3,z=4的Jordan曲线，亦有cF(z)=0.故连接z=3,z=4的直线段及连接z=1，z=5的直线段为割线所得的区域D即为所求。

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例2：讨论多值函数

F(z)=ln(z)(z)的可单值分支区域。

z(z)(z)的支点为ａ、、、∞.又z 解：易知，多值函数F(z)=lnF(z)=ln(z)(z)(z)(z)=ln

zz+i[arg(z)arg(z)arg(z)2k] （kz）

由于在以连接ａ、以及连接与∞的两条简单曲线为割线且互不相交的区域内取一条内部包含连接ａ、的割线为简单闭曲线C，当点z沿着C正方向旋转一周时，arg(z)、arg(z)各增加2，而arg(z)的值没有发生变化，所以多值函数的值发生了变化，所以以连接ａ、以及连接与∞的两条简单曲线为割线的区域不是可分单值分支区域。而以连接ａ、、、∞的一条简单曲线的区域和以连接ａ、（或、）以及连接ａ（或）、∞的两条简单曲线为割线的区域内取一条内部包含连接ａ、、的割线为简单闭曲线C,当点z沿着C正方向旋转一周时多值函数的值没有发生改变，故该函数可单值分支区域有：

（1）以连接ａ、u(或、)以及连接a(或）、∞的两条简单曲线为割线的区域；

（2）以连接ａ、、、∞的一条简单曲线的区域。

2.1.2 支点在单值解析分支中的作用

为了分解出一个多值函数的单值解析分支，我们必须割开其平面，此时就需要找去函数的支点，因为找到支点我们才能把割开所求平面。

例如，函数F(z)=nz,它是一个n值函数，显然它的支点为0和，则沿负实轴割开平面，那么我们就称这样的区域为G,如下图2所示.

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y

i

Z○

x

O

-i

G

图2

定理 若区域D内的任一闭曲线C ,当点z沿曲线C绕行一周后多值函数F(z)的值不变，则其是多值函数F(z)在区域D内可分单值解析分支的充要条件[9].

证：(1) 充分性:

在D内任取一点z1,在点z1任意取多值函数F(z)的一个值f(z1)=设D内任意异于点z1的一点z2,F(z)在点z2处按如下规定取值:用一条完全在D内的连续曲线C1连接点z1与点z2, 当点z1沿连续曲线C1绕行到点z1时,若F(z)的值从连续变到, 则f(z2)=。设曲线C2是连接点z1与点z2的另一条连续曲线,则连续曲线C1与连续曲线C2组成D内的一条连续闭曲线。当点z1沿连续曲线C2到点z2处时，此时F(z)的值从连续变到1，那么当点z从点z2沿连续曲线C2到点z1，再沿连续曲线C1变到点z2，也就是说，变点z从点z2沿连续曲线C1和连续曲线C2组成的闭曲线绕行一整周时，F(z)从1连续变到后，又连续变到，换句话说，f(z2)=仅与点z1和f(z1)=有关而与连接点z1与点z2的曲线无关（如图3所示）。所以，由条件易知，-1+（-）=0，即=1

综上所述，充分性得证。

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y

x1

割线

C1

C2

x

O

(f(z1)=α)

(f(z2)=β、f(z2)=β2)

x2

图3

（2）必要性是显然的。证毕。

例3： 已知函数F(z)=ln(1z2)，求

满足条件:F(0)=2ki的一个解析分支在z =

2处的值及函数的支点．

解：由lnP(z)P(z)与arg有相同的支点可知F（z）=ln(1z2)与arg(1z2)有Q（z)Q（z)相同的支点，又arg(1z2)的支点为i,-i,∞,所以F(z)=ln(1z2)的支点是ii,∞．

割线可以取从i到i的射线，也可以取从i到i的射线，且z = 0，z = 2 不能在割线上，所以取－i到－1，从i到－1，并且取割线为沿着实轴的负方向的直线，此时所割破的平面得单值解析分支区域D。由所给条件及初值定义有

F( 0) =ln1z2+

iarg(1z2)z0=2i,即arg(102)=2．

故所求的单值解析分支为:

（1+02)=ln1z2+icarg(z+i)

F（z）=ln(1z2)=ln1z2+icarg（1+z2)+iarg+icarg(zi)+2i

作连接z = 0，z = 2 的Jordan 曲线C(C在x轴上侧),则有carg(zi)=arctan2，carg(zi)=arctan2

.

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y

C1 C2

x

O

C3

C

图4

F（z）=ln(1z2)=ln1z2+i(arctanzarctanz)+2i=ln5+2i.

支点在解决多值函数多值性及解析性中占有很重要的地位及意综上所述，义。

2.2 有限支点在复变函数中的地位及作用

对数函数F(z)=nz的支点是无穷支点z=∞和一个有限支点z=0.其支割线取0到∞的一条射线，所以，在以此割线为边界的复平面z上的区域G内，对数函数F(z)=nz能分出多个单值解析分支。但是对于具有多个有限支点的多值函数，就不可以使用这种方法去判断它能否可以解析单支分支。此时，我们可以先求出该多值函数的一切支点，再适当的连接其支点去割破z平面。

下面我们将利用此方法去解决一些问题。

首先，我们来看：

例4：已知多值函数F（z）=(1z2)(1k2z) (00的分支z=i的值。

k解：该函数的表达式可以写成

.

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F（z）=(1z)(1kz)e222i11[arg(z1)arg(z1)arg(z)arg(z)2k]2kk（k=0,1） ①

11在z=0处，取arg(z1)`arg(z1)0`arg(z)`arg(z)0 ②

kk所以由F（0）=(1z2)(1k2z2)ei11[arg(z1)arg(z1)arg(z)arg(z)2]2kk>0知，k=1.

下求z=i的值：取简单曲线C1，连接0和i（如图5所示）

y

C2

i

x

-C1

1

k-1

O

1

1k

图5

由②知，当点z从z=0沿简单曲线C1连续到z=i时，有3111arg(i1)`arg(i1)`arg(i)arctank`arg(i)arctank ③

44kk故有③可得，多值函数F（z）在z=i的值为

F(i)=(1z)(1kz)e222i11[arg(z1)arg(z1)arg(z)arg(z)2]2kk=2

值得注意的是，在上面的解法中z1`z1在z=0时的幅角初始值可以随意k取，但是当它们在z=i处的幅角值必须依据它在z=0的值来确定。

例5：试证F(z)=3z(1z)在将z平面适当割开后能分出三支单值解析分支，并求出在点z=2时取负值的那个分支在z=i的值。

解：易知F(z)的支点为0、1、∞.

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将z平面先沿正实轴从0到1割开,然后在沿负虚轴割开（如图6）

y

Z ○x

O 1 2

G

图6

在这样的割开平面G上，可分出三支单值解析分支。

当变点z从z=2指向z=0与z从z=i指向z=0的夹角为变化为，说明此时argz的2，即cargz

223(由题意知取逆433时针方向)，此时说明arg(1z)的变化为，即carg(1z)，于是F（z）44当变点z从z=2指向z=1与z从z=i指向z=1的夹角为的幅角连续改变量为

cargF(z) 设z=r1e, 1-z=r2ei1i21135[cargz+carg(1z)](+)=

332412,则

Fk(z)3r1(z)r2(z)ei122k3，k=0、1、2且Gz

当z=2时，1(z)=0，2(z)=，r1(z)=2，r2(z)=1

又因为当z=2时该多值函数取负值，代入Fk(z)3r1(z)r2(z)e有当k=1时

i122k3可得只Fk(2)<0，故有

.

.

5125i12F（i）=3i1ieeii=-2e6

注意：若k的值已经确定，则求多值函数在其他点的值时，需要注意所求的点的幅角就会由在确定k为多少时的已知点的幅角旋转而得到。

由以上两个例子，我们可以得到有关函数wf(z)nA(z1)1(zm)m（其中1，2，…,m是互异的且12mN）的以下结论：

(1)多值函数wf(z)nA(z1)1(zm)m可能的支点为1，2，…,m和∞；

(2)当且仅当N不能被n整除时，∞才是nA(z1)1(zm)m的支点；

(3)当且仅当n不可以整除i（i=1,2,…,m）时，则i是函数f(z)的支点；

(4)若n可以整除1,2,m中若干个数的和，那么1，2，…,m中与之对应的那几个数就可以抱成团且可以连接成割线，即变点z绕着只包含这几个数并在其内部的简单闭曲线C旋转一整周后，函数的值没有发生变化。像这种方式抱成的团可能不止一个，那么其余没有入团的点i就会同点∞连接成一条割线。

2.3 无穷远点在复变函数中的地位与作用

2.3.1 有关无穷远点的规定

在第一章中我们已经介绍了∞，那么下面我们将首先介绍有关∞的一些规定，即:

00无意义； (1)运算∞±∞，0·∞,，(2)∞的幅角、虚部和实部都无意义；

(3)a≠∞时，a,a0,aa；

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(4)z平面上每一条直线都通过∞，没有一个半平面包含∞；

(5)b≠0(但是可以为∞)时，•bb•,b0[2].

以上这五条规定中的(1)、(2)、(3)在数学分析中也有类似的规定，其主要目的是让学者对∞的形态有更全面、更充分、更清晰的认识。

无穷大包括负无穷大和正无穷大两种，在数学分析中无穷大的主要特征是在它自身变化过程中绝对值的无限增大，也可以说是无穷大的绝对值可以大于任意指定的正实数;而无穷小的特征是其绝对值可以小于任意指定的正实数，即一个数在变化过程中其绝对值无限的减小。总而言之，不管是无穷大还是无穷小，在其变化过程中都是指变量的变化趋势。使用它们的原因无非是有助于数学上的发现或发明和使论证更简单清晰易懂。它们的存在使数学变得更加精彩、更加有趣,同时也使数学家的思想有了更加广阔的拓展空间。

复变函数中的∞和数学分析中的非常类似，都指变量的变化趋势。在复变函数论教材中也有和数学分析中相类似的结论：

如果函数f(z)、g(z)沿着点集E在z0点有极限，那么其和、差、积、商（分母的极限不等于零）沿着点集E在点z0的极限也是存在的，并且其极限值等于函数f(z)，g(z)在点z0的极限值的和、差、积、商[10]。

一般而言，我们可以把上述结论推广到limf(z)和limg(z)的情形。zz0zz0但是，如果把上述结论运用到规定中，即运用到,0•和这三种情形中，那么就会出现,0•和的值都可以等于任何值的情况。

下面我们首先来验证上述内容：

例6：已知limz0和limz0kk（k为任意有限非零复常数），求lim(z)的z0zz0z值。

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k解：因为lim(z)=limk=k，(k为任意有限非零复常数)，故由此式可以看z0z0z出，0可以等于任意的值，即0无意义。

11和lim(c)（c为任意有限非零复常数），试求z0z0zz11lim[(c)]的值。

z0zz11解：因为lim[(c)]=limcc，而c为任意有限非零复常数,所以此式说z0z0zz例7：若lim明+可以等于任意数，同理可知，-也是可以等于任意的值。因此，规定∞±∞无意义。

例8：虽然∞±∞limlimcz0zc1和lim（c为任意有限非零复常数），但z0zz0z1c 故，由上式可以看出，可以等于任意的值，且说明的值z是不可以确定的。所以规定无意义。

解：由limcz0（c为任意有限非零复常数）和limz0，可知limczzc

z0z0z0故，由此可以看出00也是可以等于任意的值，也是无法给予确定的。因此，规定了00无意义。

又由第一章中无穷远点的引入可以看出，无穷远点可看作为一个以正无穷大+∞为半径、以原点O为圆心的圆周，如果我们把这个圆周作作一个点，那么它就是无穷远点。

综上所述，我们可以看出复变函数论中的无穷远点( ∞)既包括ai和ai以及ai和ai（a为实常数，可以是-∞也可以是+∞），它还包括数学分析中的负无穷（-∞）、正无穷（+∞）等。因此，∞的实部、虚部和它的幅角都是不能被确定的，换句话说，∞的幅角以及它的实部、虚部全部都是无法确定，尽管如此它们实际上还是存在的。所以复变函数论中的无穷远点可以视为实部或虚部至少有一个为无穷大的数。

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2.3.2 无穷远点在解析函数奇点中的作用及地位

在上一节中，我们已经介绍了无穷远点是一个假想的点，且无穷远点首次被法国数学家笛沙格在《试图处理圆锥与平面相交情况的计划草案》一书中将无穷远点定义成为两平行线的公共交点。

我们规定：1.

0奇点的定义：若函数f(z )在点z0不解析, 但该函数在点z0的任一邻域内总有复变函数f(z)的解析点, 则称点z0为f(z)的奇点[11]。

奇点包括孤立奇点和非孤立奇点两种。

例9：函数f(z)=ee在复平面上只有奇点z=0，在其去心邻域,0z内的洛郎展式为

zn11ee=2++n

n1n!n1n!zz1zz1z在上节中我们已经知道了∞点在函数f(z)中总是无意义的，所以点∞总是函数f(z)的奇点。

定义：设复复函数f(z)在无穷远点∞的去心邻域

N{}:zr0

内解析，则称点∞为函数f(z)的一个孤立点[12]。

当然在这个定义里我们需要注意的就是∞是任意一个解析函数f(z)的奇点，它可以是孤立奇点，也可以是非孤立奇点。

例10.判定函数F（z）=1cosz的奇点以及其类别。

2z解：因为此函数是个多值函数，故其奇点是支点。显然，该函数有两个奇点，即z=0,z=∞

①在z=0的空心邻域内可将该函数展开为

.

.

1cosz1z2z4=

2z2!4!6!由此式可以看出，该展开式的主要部分为0，故z=0为此函数的可去奇点。

②令z=111111122,则f(z)=f()=z1-z1cos,它在f()=

46z1z1z12!4!z1z16!z1它的主要部分有无穷多项，所以z=∞是函数f(z)的本性奇点。

2.4 支点在留数中的作用与地位

定理1（留数定理）[13]：设函数f ( z )在周线或复周线C所围的区域D内，z2,,zn外解析, 且在闭域DDC上除点z1，z2,,zn除有限个孤立奇点z1，外连续, 则（“大范围”积分）

Cf(z)dz2iResf(z)

k1zzkn证：取以充分小的k为半径以点zk为圆心画圆k：zzkk（k=1,2,…,n），且这些小圆周的内部全部都含在D中，并使这些圆周彼此互不相交，如下图7所示，故有复周线的柯西积分原理可得

故由留数的定义，可得

nCf(z)dzf(z)dz

k1knkf(z)dz2iResf(z)

zzkn代入f(z)dzf(z)dz得，f(z)dz2iResf(z)

Ck1kCk1zzk.

.

y

l

zLLzZLx

图7

2.4.1无穷远点∞留数的计算方法

首先，我们先看函数f(z)在点∞处的留数的计算公式：

定理1[14]：设∞是f(z)的m级极点，则

z(m2)f(m1)(z)

Resf(z)(1)lim

zz(m1)!m证明：当无穷远点∞是函数f(z)的m级极点时，则存在R>0使

f(z)cncnc0c1zcmzm,Rz

nzn2z两端求导m+1次，则有

f(m1)(1)m1n(n1)(nm)cn(1)m1(m1)!c1(z),

nm1m2zzn2或

n(n1)(nm)cn(1)mzm2fm2(z)

c1

n1(m1)!(m1)!zn2.

.

所以由limn(n1)(nm)cn0可得

n1z(m1)!zn2mz(m2)f(m1)(z)

Resf(z)c1(1)lim

zz(m1)!定理2[15] （广义留数定理) 设C是扩充复平面上的有向(复)围线, 其所围区域D按照左手规确定: 沿C前行时D总在左方，则当D内除有限个孤立奇点z1，z2,,zn(可以是无穷大∞点)外函数f(z)都解析, 且在DDC上除z1，z2,,zn外都连续时，有

Cf(z)dz2iResf(z)

k1zzkm这里的无穷大点可以被恒看作为函数的奇点，且这里的有限可去孤立点可以被看作解析点。

证明 设C是复围线，则当复围线的外圈取逆时针方向而里圈取顺时针方向为正向时, 此时该定理就会变为一般的留数定理, 当C的外圈取顺时针方向而里圈取逆时针方向为正向时, 则此时复周线C所围的区域D就是无界集,设此时的函数f(z)在D的集中有且只有有限多个孤立奇点z1,z2,,zn，故可得

\'\'\'f(z)dz2iResf(z)2iResf(z)

ck1zzkk1zzknm学习定理的目的是为了运用，那么我们接下来将用上述定理解决一些问题。

例11：计算函数f(z)=解：因为函数g(z)=dzzsin11zsinz1zc，其中曲线C为z2且方向取逆时针方向。

3在广义复平面上的孤立奇点为无穷远点∞和zk1，（k=±1,±2,…），其中z=0是函数g(z)的非孤立奇点。又因为曲线C内k包含函数的一个非孤立奇点z=0和无穷多个孤立奇点，所以函数f(z)不可以利用通.

.

常的留数定理计算该积分。但是在曲线L=C1所围成的区域内或者在曲线C的外侧有且仅含有三个奇点，即和f(z)=故由

dz1zsinzc1。故有广义留数定理可知

11=-

dz1zsinzl=-2i[Resf(z)ResResf(z)]

zzzsinlimz1z1112cosz2

zlimz1z11可得

lim(zz111)g(z)lim(z)1zzlimz11z1zsin11

1sinz1所以由以上可知，limg(z)limz1是函数f(z)的一级极点且Resf(z)z1。又由11zsinzz=1可知点时函数的可去奇点。所以，有

sinResf(z)limz2g(1)(z)limzzz111coszzzlimsinzzcoszlimz0z0z02coszsin2z21sinz故有

dz1zsinzc=-dz1zsinzl=-2i(Resf(z)Resf(z)Resf(z))0

z1z1z例12：计算

1z11zdz

e1，易知函数f(z)的非孤立奇点z=0以及无穷多个有限奇点解：设f(z)1e11zzi(k1,2,)都含在闭曲线z1内。又因为无穷远点∞是函数f(z)的孤2k立奇点，故函数f(z)在无穷远点∞的邻域内可展开为

.

.

f(z)1e11z=z1111

(z)

212z2故有

1z11zdz=2iResf(z)2iC1ze11i2i

1262.4.2 支点在多值函数的积分中的应用

辅助函数或者被积函数均是多值解析函数的情形，只有将复平面适当的割开，使其可分出单值解析分支，此时才可以应用柯西积分定理或柯西留数定理去求所给定的积分函数的值。

例13：计算0lnxdx的值

(1x2)2解：以原点O为圆心，以R及r为半径，在复平面上画圆，并取Ox轴上方的两个半圆周，且R充分大，r充分小。Ox轴上的线段AB和B\'A\'与两个半圆周构成以圆周线C 如

y

M

i

N

BA O

A x

图8

.

.

辅助函数为

f(z)lnz

(1z2)2在周线C的内部有且仅有一个极点zi，且它的支点为z=∞和z=0均不包含在周线C的内部，所以辅助函数f(z)在周线C的所有的有界闭区域上，且是单支解析的（除极点zi外）。

令

(z)(zi)2lnzlnz，

222(zi)(zi)(zi)则

\'(z)112lnz，

z(zi)2(zi)3所以

Res\'(i)zi12i2i

4i8i28 故由留数定理得

BMBBAANAAB2i2lnzi

dz =2iC(1z2)2824现分别计算上式左边各个积分：

（1） 因为limzz0lnz0，所以有

22(1z)lnzANA(1z2)2dz0

（2） 因limzzlnz0，故由定理2可得

22(1z)lnzBMB(1z2)2dz0

(3) 令AB上的zxei(x0),则

lnzlnxi,dzeidxdx

.

.

于是

limr0Rlnxilnxilnzdz(dx)0(1x2)20(1x2)2dx

BA(1z2)2故 当r0,R时，有

0lnxilnx2dxdxi

0(1x2)224(1x2)2比较等式两端的实部，得

2所以有

0lnx

dx2(1x2)20lnx

dx224(1x)（4）上的zxei0(x0),于是有

limr0Rlnzlnxdz0(1x2)2dx

AB(1z2)2例14：计算积分

解：辅助函数

f(z)3(1z)(1z)2

它在z平面上是wnP(z)型的多值函数，显然函数f(z)的支点为+1及-1.

当动点z沿图9示的闭曲线（+1以及-1在其内部）按逆时针方向旋转一周，1dx(1x)(1x)213

1arg(1z)同时增加2，然而

argf(z)212

3也增加2。这表示函数f(z)的值没有发生变化，所以∞不是函数f(z)的支点。

取从-1到+1为支割线,则函数f(z)在其外部可以分出三个单值解析分支。

.

.

y

-1 1

x

图9

现取在上图中所表示的那条复周线CRCrABBA,且取在[-1,+1]的上岸AB上取正值的那个分支，则当动点z在[-1,1]上岸AB上，argf(z)0，即

f(z)3(1z)(1z)2>0

2当动点z从点B沿着Cr到点B,函数f(z)的幅角增加，那么在[-1,1]下岸32BA上，argf(z)，即

3f(z)e故有

2i33(1z)(1z)2

CR1dz1zrf(z)dz(1z1z)213

1r131zrdz =2r1r132r

23

Cr1dz1zrf(z)dz(1z1z)2132r

13故当r0时，上面两个积分均趋于零。

.

.

当动点z从上岸AB变化到（1，+∞）上时，即动点z从上岸的点B沿着Cr绕1旋转到点e时，1-z的幅角值发生了变化，即1-z的幅角值减少了，但是1+z的幅角值却为发生任何变化。所以，函数f(z)的幅角值减少了+∞）上有

f(z)1z1ze32i32。那么在线段（1，3

i3即

f(z)3(1z)(1z)e故有

Resz2

11Res[]Res[t0f(z)z3(1z)(1z)23111(1)(1)2tti11]Res[]2t03t2t(t1)(t1) =所以

13(t1)(t1)23t011e1i3e3

1dx(1x)(1x)213=sin323

结论

根据本课题的研究过程中对有限点、无穷远点、多值函数、留数等的思考，发现有限点、无穷远点、解析函数、留数等在复变函数中占有非常重要的地位，它们既是重点也是难点。正确理解有关无穷远点的上述规定及支点的相关理论知识对学习理解无穷远点的领域、计算无穷远点的留数等会有很大的帮助，只有正确的多值函数的单值解析分支问题才能在实际应用中得心应手，才能解决一些在实分析中无法解决的问题。

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[15] 莫叶. 复变函数论[M].济南：山东科学技术出版社，1983.

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致谢

经过半年的忙碌和工作，本次毕业设计已经接近尾声，作为一个本科生的毕业设计，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有导师的悉心督促指导，想要完成这个设计是难以想象的。

感谢淮南师范学院教授霍玉洪老师，一位平易近人的良师，对我论文耐心的指导，新锐的启发，认真的审阅。感谢您在百忙之中对我的毕业论文从选题到写作再到修改最后定稿所付出的辛劳！

然后还要感谢大学四年来所有的老师，为我们打下数学专业知识的基础；同时还要感谢所有的同学们，正是因为有了你们的支持和鼓励，我的此次毕业设计才会顺利完成。

最后感谢数学与计算科学系和我的母校—淮南师范学院四年来对我的大力栽培。

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