高二数学竞赛班讲义组合

2024年1月11日发(作者：启东市二模数学试卷)

高二数学竞赛班讲义组合

高一数学竞赛班二试

第二讲 抽屉原理染色方法

班级 姓名

一、知识要点：

1．第I 型抽屉原理

把m 个物体放入n 个抽屉，则至少有一个抽屉的物品不少于l 个，其中,|1,|m

n m n

l m n m n =?+/??

2．第II 型抽屉原理

把m 个物体放入n 个抽屉，则至少有一个抽屉的物品不多于l 个，其中m l n ??

=

3．运用抽屉原理的关键是构造恰当的“抽屉”和“物品”

二、经典例题

例1．（1953年美国普特南数学竞赛题）空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色）.求证：无论怎样染，总存在同色三角形。

例2．(第6届国际数学奥林匹克试题)有17位科学家，其中每一个人和其他所有人的都通信，他们的通信中只讨论三个题目中的一个。求证：至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目.

例3．（首届全国中学生数学冬令营试题）能否把1，1，2，2，3，3，…，1986，1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个1986、之间夹着一千九百八十六个数？请证明你的结论.

例4．（2010年联赛加试第四题）（本题满分50分）一种密码

锁的密码设置是在正n 边形

12n A A A 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂红、蓝两种颜色

之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同。问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？

二、精选习题

1．有九名数学家，每人至多会讲三种语言，每三名中至少有2名能通话，那么其中必有3名能用同一种语言通话.

2．如果把上题中的条件9名改为8名数学家，那么，这个结论还成立吗？为什么？3．（1966年波兰数学竞赛题）大厅中会聚了100个客人，他们中每人至少认识67人，证明在这些客人中一定可以找到4人，他们之中任何两人都彼此相识.

4． （首届全国数学冬令营试题）用任意方式给平面上的每一个点染上黑色或白色.求证：一定存在一个边长为1或的正三角形，它三个顶点是同色的.

5．对平面上一个点，任意染上红、蓝、黑三种颜色中的一种。证明：平面内存在端点同色的单位线段。

6．设12,,,n x x x 为实数，满足222

121n x x x +++=，求证：对于每一个整数2k ≥，存在

不全为零的整数12,,,n a a a ，使得1(1,2,,)i a k i n ≤-=

，并且

1

n

i i i a x =≤

∑。

第二讲抽屉原理

例1．证明设A、B、C、D、E、F是所给六点.考虑以A为端点的线段AB、AC、AD、AE、AF，由抽屉原则这五条线段中至少有三条颜色相同，不妨设就是AB、AC、AD，且它们都染成红色.再来看

△BCD的三边，如其中有一条边例如BC是红色的，则同色三角形已出现（红色△ABC）；如△BCD三边都不是红色的，则它就是蓝色的三角形，同色三角形也现了.总之,不论在哪种情况下,都存在同色三角形.

如果将例4中的六个人看成例5中六点,两人认识的连红线,不认识的连蓝线,则例4就变成了例5.例5的证明实际上用染色方法给出了例4的证明.

例2．(第6届国际数学奥林匹克试题)有17位科学家,其中每一个人和其他所有人的人通信,他们的通信中只讨论三个题目.求证:至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目.

证明用平面上无三点共线的17个点A1,A2,…，A17分别表示17位科学家.设他们讨论的题目为x,y,z,两位科学家讨论x连红线,讨论y连蓝线,讨论z连黄线.于是只须证明以这17个点为顶点的三角形中有一同色三角形.

考虑以A1为端点的线段A1A2,A1A3,…，A1A17，由抽屉原则这16条线段中至少有6条同色，不妨设A1A2，A1A3，…，A1A7为红色.现考查连结六点A2，A3，…，A7的15条线段，如其中至少有一条红色线段，则同色（红色）三角形已出现；如没有红色线段，则这15条线段只有蓝色和黄色，由例5知一定存在以这15条线段中某三条为边的同色三角形（蓝色或黄色）.问题得证.

上述三例同属图论中的接姆赛问题.在图论中,将n点中每两点都用线段相连所得的图形叫做n点完全图,记作k n.这些点叫做“顶点”，这些线段叫做“边”.现在我们分别用图论的语言来叙述例5、例6.

定理1 若在k6中，任染红、蓝两色，则必有一只同色三角形.

定理2 在k17中,任染红、蓝、黄三角，则必有一只同色三角形.

（2）点染色.先看离散的有限个点的情况.

例3．（首届全国中学生数学冬令营试题）能否把1，1，2，2，3，3， (1986)

1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个1986、之间夹着一千九百八十六个数？请证明你的结论.

证明将1986×2个位置按奇数位着白色，偶数位着黑色染色，于是黑白点各有1986个.

现令一个偶数占据一个黑点和一个白色，同一个奇数要么都占黑点，要么都占白点.于是993个偶数，占据白点A1=993个，黑色B1=993个.

993个奇数，占据白点A2=2a个，黑点B2=2b个，其中a+b=993.

因此，共占白色A=A1+A2=993+2a个.

黑点B=B1+B2=993+2b个，

由于a+b=993（非偶数！）∴a≠b，从而得A≠B.这与黑、白点各有1986个矛盾.

故这种排法不可能.

“点”可以是有限个，也可以是无限个，这时染色问题总是与相应的几何问题联系在一起的.

例4．

1．把９名数学家用点Ａ１，Ａ２，…，Ａ９表示．两人能通话，就用线连结，并涂某种颜色，以表示不同语种。两人不通话，就不连线．

（１）果任两点都有连线并涂有颜色，那么必有一点如Ａ１，以其为一端点的８条线段中至少有两条同色，比如Ａ１Ａ２、Ａ１Ａ３．可见Ａ１，Ａ２，Ａ３之间可用同一语言通话．②如情况①不发生，则至少有两点不连线，比如Ａ１、Ａ２．由题设任三点必有一条连线知，其余七点必与Ａ１或Ａ２有连线．这时七条线中，必有四条是从某一点如Ａ１引出的．而这四条线中又必有二条同色，则问题得证．

2．结论不成立，如图所示（图中每条线旁都有一个数字，以表示不同语种）．

3．用点Ａ１、Ａ２、…、Ａ１００表示客人，红、蓝的连线分别表示两人相识或不相识，因为由一个顶点引出的蓝色的线段最多有３２条，所以其中至少有三点之间连红线．这三个点（设

为Ａ１、Ａ２、Ａ３）引出的蓝色线段最多为９６条．去掉所有这些蓝色的线段（连同每条线段上的一个端点ＡＩ，Ｉ≠１，２，３），这样，在图中至少还剩下四个点，除Ａ１、Ａ２、Ａ３外，设第四点为Ａ４，这四个点中Ａ１，Ａ２，Ａ３每一个点与其它的点都以红色的线段相连，于是客人Ａ１、Ａ２、Ａ３、Ａ４彼此两两相识．

4．先利用右图证明＂若平面上有两个异色的点距离为２，地么必定可以找到符合题意的三角形＂．再找长为２端点异色的线段．以Ｏ（白色）为圆心，４为半径作圆．如圆内皆白点，问题已证．否则圆内有一黑点Ｐ，以ＯＰ为底作腰长为２的三角形ＯＰＲ，则Ｒ至少与Ｏ、Ｐ中一点异色，这样的线段找到．

5．证明作出一个如图29-7的几何图形是可能的,其中

△ABD、△CBD、△AEF、△GEF都是边长为1的等边三

角形，CG=1.不妨设A点是红色，如果B、E、D、F中有

红色，问题显然得证.当B、E、D、F都为蓝点或黄点时，

又如果B和D或E和F同色，问题也得证.现设B和D异

色E和F异色,在这种情况下,如果C或G为黄色或蓝点,

则CB、CD、GE、GF中有两条是端点同色的单位线段，

问题也得证.不然的话,C、G均为红点，这时CG是端点同

色的单位线段.证毕.

6

．由柯西不等式易得

12n

x x x

+++≤，因此当01

i

a k

≤≤-时，有

1122

(

n n

a x a x a x k

+++≤-

将区间0,(k

-

等分成1

n

k-

。

由于每个

i

a能取k个整数，因此

1122n n

a x a x a x

+++共有n k个正数。由抽屉原理知必存在两个数落在同一个小区间内，设它们分别是

1

n

i i

i

a x

=

\'

∑和

1

n

i i

i

a x

=

\'\'

∑，则有

1

(

()

1

n

i i i n

i

k

a a x

k

=

-

\'\'\'

-≤

-

∑

又1

i i

a a k

\'\'\'

-≤-，1,2,,

i n

=，取

(0)

(0)

i i i

i

i i i

a a x

a

a a x

\'\'

-≥

=?

\'\'\'

-<

，

于是

1

n

i i

i

a x

=

≤

∑