2018年上海市徐汇区高考数学一模试卷及答案

2018年上海市徐汇区高考数学一模试卷

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编

号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空

格填对得5分）

1．（4分）已知集合A={2，3}，B={1，2，a}，若A⊆B，则实数a= ．

2．（4分）在复平面内，复数

3．（4分）函数f（x）=

4．（4分）二项式（x﹣

5．（4分）若

（i为虚数单位）对应的点的坐标为 ．

的定义域为 ．

）

4

的展开式中的常数项为 ．

=0，则x= ．

6．（4分）已知圆O：x

2

+y

2

=1与圆O′关于直线x+y=5对称，则圆O′的方程是 ．

7．（5分）在坐标平面xOy内，O为坐标原点，已知点A（﹣

原点按顺时针方向旋转，得到，则的坐标为 ．

），将绕

8．（5分）某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30°方向，与A相距6.0海里．船

由A向正北方向航行8.1海里达到C处，这时灯塔B与船相距 海里（精

确到0.1海里）

9．（5分）若公差为d的等差数列{a

n

}n∈N*，满足a

3

a

4

+1=0，则公差d的取值

范围是 ．

10．（5分）著名的斐波那契数列{a

n

}：1，1，2，3，5，8…，满足a

1

=a

2

=1，a

n

+

2

=a

n

+

1

+a

n

，

n∈N*，那么1+a

3

+a

5

+a

7

+a

9

+…+a

2017

是斐波那契数列的第 项．

11．（5分）若不等式（﹣1）

n

•a＜3

a的取值范围是 ．

12．（5分）已知函数y=f（x）和y=g（x）的图象关于y轴对称，当函数y=f（x）

和y=g（x）在区间[a，b]上同时递增或者同时递减时，把区间[a，b]叫做函数

y=f（x）的“不动区间”，若区间[1，2]为函数y=|2

x

﹣t|的“不动区间”，则实数t

的取值范围是 ．

第1页（共18页）

对任意的正整数n恒成立，则实数

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，

考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则

一律得零分

13．（5分）已知α是△ABC的一个内角，则“sin

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

”是“α=45°”的…（ ）

14．（5分）下列命题中，假命题的是（ ）

A．若z为实数，则=z B．若=z，则z为实数

C．若z为实数，则•z为实数 D．若•z为实数，则z为实数

15．（5分）现有8个人排成一排照相，期中甲、乙、丙三从两两不相邻的排法

的种数为（ ）

A．P

C．P

B．P

D．P﹣P

16．（5分）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A

1

B

1

C

1

D

1

中，E 为CC

1

的中点，点

P，Q分别为面A

1

B

1

C

1

D

1

和线段B

1

C上动点，则△PEQ周长的最小值为（ ）

A．2

B． C． D．

三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸

相应编号的规定区域内写出必要的步骤

17．（14分）如图，梯形ABCD满足AB∥CD，，BC=1，∠

BAD=30°，现将梯形ABCD绕AB所在直线旋转一周，所得几何体记叙Ω

（1）求Ω的体积V；

（2）求Ω的表面积S．

第2页（共18页）

18．（14分）如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）图象

的一部分，M、N是它与x轴的两个交点，C、D分别为它的最高点和最低点，E

（0，1）是线段MC的中点，

（1）若点M的坐标为（﹣1，0），求点C、点N和点D的坐标

（2）若点M的坐标为（﹣m，0）（m＞0），

的解析式．

=，试确定函数f（x）

19．（14分）已知函数f（x）=|x|+，（m∈R，x≠0）

（1）判断函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由

（2）讨论函数y=f（x）的零点个数．

20．（16分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F

1

，F

2

，

）在椭且F

1

，F

2

与短轴的一个端点Q构成一个等腰直角三角形，点P（

圆E上，过点F

2

作互相垂直且与x轴不重合的两直线AB，CD分别交椭圆E于A，

B，C，D且M，N分别是弦AB，CD的中点

第3页（共18页）

（1）求椭圆的方程

（2）求证：直线MN过定点R（，0）

（3）求△MNF

2

面积的最大值．

21．（18分）设等差数列{a

n

}的公差为d

1

，等差数列{b

n

}的公差为d

2

，记c

n

=max{b

1

﹣a

1

n，b

2

﹣a

2

n，…b

n

﹣a

n

n}

（n=1，2，3，…），其中max{x

1

，x

2

，…x

s

}表示a

1

，x

2

，…x

s

这s个数中最大的数

（1）若a

n

=2n，b

n

=4n﹣2，求c

1

，c

2

，c

3

的值，并猜想数列c

n

的通项公式（不必

证明）

（2）设a

n

=﹣n，b

n

=﹣n+2，若不等式

于2的一切自然数n都成立，求λ的取值范围

（3）试探究当无穷数列{c

n

}为等差数列时，d

1

、d

2

应满足的条件并证明你的结

论．

对不小

第4页（共18页）

2018年上海市徐汇区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编

号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空

格填对得5分）

1．（4分）已知集合A={2，3}，B={1，2，a}，若A⊆B，则实数a= 3 ．

【解答】解：∵集合A={2，3}，B={1，2，a}，A⊆B，

∴a=3．

故答案为：3．

2．（4分）在复平面内，复数

5） ．

【解答】解：∵

∴复数

=，

（i为虚数单位）对应的点的坐标为 （4，﹣

对应的点的坐标为（4，﹣5）．

故答案为：（4，﹣5）．

3．（4分）函数f（x）=

【解答】解：函数

{x|}，

的定义域为 （0，e] ．

的定义域为：

解得0＜x≤e．

故答案为：（0，e]．

4．（4分）二项式（x﹣

【解答】解：二项式（x﹣

T

r

+

1

=

）

4

的展开式中的常数项为

）

4

的展开式的通项公式为

••x

4

﹣

2r

．

第5页（共18页）

．

•x

4

﹣

r

••x

﹣

r

=

令x的幂指数4﹣2r=0，解得r=2，

∴展开式中的常数项为

T

3

=•=6×=．

故答案为：．

5．（4分）若=0，则x= 1 ．

【解答】解：=4

x

﹣2×2

x

=0，

设2

x

=t，t＞0，则t

2

﹣2t=0，解得：t=2，或t=0（舍去）

则2

x

=t=2，则x=1，

故答案为：1．

6．（4分）已知圆O：x

2

+y

2

=1与圆O′关于直线x+y=5对称，则圆O′的方程是 （x

﹣5）

2

+（y﹣5）

2

=1 ．

【解答】解：圆O：x

2

+y

2

=1的圆心坐标为（0，0）

所以：点（0，0）关于直线的对称点的坐标设为（a．b），

则：，

解得：a=b=5，

所以圆o′的方程是：（x﹣5）

2

+（y﹣5）

2

=1

故答案为：（x﹣5）

2

+（y﹣5）

2

=1

7．（5分）在坐标平面xOy内，O为坐标原点，已知点A（﹣

原点按顺时针方向旋转，得到，则的坐标为 （

），将

，） ．

），

绕

【解答】解：在坐标平面xOy内，O为坐标原点，已知点A（﹣

即：A（cos

，sin），

第6页（共18页）

将绕原点按顺时针方向旋转

），sin（

），

）．

，得到

）），

，

即：A′（cos（

所以：A′（

故答案为：（

8．（5分）某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30°方向，与A相距6.0海里．船

由A向正北方向航行8.1海里达到C处，这时灯塔B与船相距 4.2 海里（精

确到0.1海里）

【解答】解：由余弦定理可得BC=

故答案为：4.2．

≈4.2海里．

9．（5分）若公差为d的等差数列{a

n

}n∈N*，满足a

3

a

4

+1=0，则公差d的取值

范围是 （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） ．

【解答】解：公差为d的等差数列{a

n

}n∈N*，满足a

3

a

4

+1=0，

即有（a

1

+2d）（a

1

+3d）+1=0，

化为a

1

2

+5da

1

+1+6d

2

=0，

由方程有解的条件可得，

△≥0即25d

2

﹣4（1+6d

2

）≥0，

解得d≥2或d≤﹣2，

故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．

10．（5分）著名的斐波那契数列{a

n

}：1，1，2，3，5，8…，满足a

1

=a

2

=1，a

n

+

2

=a

n

+

1

+a

n

，

第7页（共18页）

n∈N*，那么1+a

3

+a

5

+a

7

+a

9

+…+a

2017

是斐波那契数列的第 2018 项．

【解答】解：根据题意，斐波那契数列{a

n

}中，a

n

+

2

=a

n

+

1

+a

n

，

当n为奇数时，

则有a

n

+

1

=a

n

+a

n

﹣

1

=a

n

+a

n

﹣

2

+a

n

﹣

3

=a

n

+a

n

﹣

2

+a

n

﹣

4

+a

n

﹣

6

=…=a

n

+a

n

﹣

2

+a

n

﹣

4

+a

n

﹣

6

+…+a

1

+1，

则有1+a

3

+a

5

+a

7

+a

9

+…+a

2017

=a

2018

；

即1+a

3

+a

5

+a

7

+a

9

+…+a

2017

是斐波那契数列的第2018项，

答案为：2018．

11．（5分）若不等式（﹣1）

n

•a＜3

a的取值范围是 [﹣3，2） ．

【解答】解：当n为奇数时，不等式可化为﹣a＜3+

要使不等式对任意自然数n恒成立，则a≥﹣3；

当n为偶数时，不等式可化为a＜3﹣

要使不等式对任意自然数n恒成立，

则a＜（3﹣

即a＜2．

综上：﹣3≤a＜．

故答案为：[﹣3，）．

12．（5分）已知函数y=f（x）和y=g（x）的图象关于y轴对称，当函数y=f（x）

和y=g（x）在区间[a，b]上同时递增或者同时递减时，把区间[a，b]叫做函数

y=f（x）的“不动区间”，若区间[1，2]为函数y=|2

x

﹣t|的“不动区间”，则实数t

的取值范围是 [] ．

）

min

=3﹣=，

，

，即a＞﹣3﹣，

对任意的正整数n恒成立，则实数

【解答】解：因为函数y=f（x）与y=F（x）的图象关于y轴对称，所以F（x）

=f（﹣x）=|2

﹣

x

﹣t|，

因为区间[1，2]为函数y=|2

x

﹣t|的“不动区间”，

所以函数y=|2

x

﹣t|和函数F（x）=|2

﹣

x

﹣t|在[1，2]上单调性相同，

第8页（共18页）

因为y=2

x

﹣t和函数y=2

﹣

x

﹣t的单调性相反，所以（2

x

﹣t）（2

﹣

x

﹣t）≤0在[1，

2]上恒成立，

即1﹣t（2

x

+2

﹣

x

）+t

2

≤0在[1，2]上恒成立，即2

﹣

x

≤t≤2

x

在[1，2]上恒成立，

得≤t≤2；

故答案为：[

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，

考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则

一律得零分

13．（5分）已知α是△ABC的一个内角，则“sin

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

”是“α=45°”的…（ ）

]

【解答】解：∵α是△ABC的一个内角，

∴“sin”⇒“α=45°或α=135°”，

”，

“α=45°”⇒“sin

∴“sin

故选：B．

”是“α=45°”的必要不充分条件．

14．（5分）下列命题中，假命题的是（ ）

A．若z为实数，则=z B．若=z，则z为实数

C．若z为实数，则•z为实数 D．若•z为实数，则z为实数

【解答】解：对于A、若z为实数，则=z，正确；

对于B、设z=a+bi（a，b∈R），则

为实数，故B正确；

对于C、若z为实数，则•z=|z|

2

为实数，故C正确；

对于D、对于任意复数z，都有•z=|z|

2

为实数，故D错误．

故选：D．

第9页（共18页）

，由，可得b=﹣b，则b=0，即z