2024年4月5日发(作者：河南高中数学试卷)

小学数学知识点之枚举法解析

小芳为了给灾区儿童捐款，把储蓄罐里的钱全拿了出来。她想数数有多少钱。小朋友，你知道小芳是怎么数的吗？小芳是

个聪明的孩 子，她把钱按

1

分、

2

分、

5

分、

1

角、

2

角、

5

角、

1

元等分类去数。所以很快就数好了。

小芳数钱，用的就是分类枚举的方法。这是一种很重要的数学思考方法，在很多问题的思考过程中都发挥了很大的作用。下面就让我们一起

来看看它的本 领吧！

经典试题

例

[1]

下列图中有多少个三角形？

分析 我们可以根据图形特征将它分成

3

类：

第一类：

有

6

个；

第

2

类：

有

6

个；

第

3

类：

有

3

个；

解

6+6+3=15

〔个〕图中有

15

个三角形。

例

[2]

下列图中有多少个正方形？

分析 根据正方形边长的大小，我们将它们分成

4

类

第

1

类：由

1

个小正方形组成的正方形有

24

个；

第

2

类：由

4

个小正方形组成的正方形有

13

个；

第

3

类：由

9

个小正方形组成的正方形有

4

个；

第

4

类：由

16

个小正方形组成的正方形有

1

个。

解

24+13+4+1=42

。图中有

42

个正方形。

例

[3]

在算盘上，用两粒珠子可以表示几个不同的三位数：分别是哪几个数？

分析 根据两粒珠子的位置，我们可将它们分成

3

类：

第

1

类：两粒珠子都在上档，可以组成

505

，

550

；

第

2

类：两粒珠子都在下档，可以组成

101

，

110

，

200

；

第

3

类：一粒在上档，另一粒在下档，可以组成

510

，

501

，

150

，

105

，

600

。

解 可以表示

101

，

105

，

110

，

150

，

200

，

501

，

505

，

510

，

550

，

600

共

10

个三位数。

例

[4]

用数字

7

，

8

，

9

可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？

分析 根据百位上数字的不同，我们可以将它们分成三类：

第

1

类：百位上的数字为

7

，有

789

，

798

；

第

2

类：百位上的数字为

8

，有

879

，

897

；

第

3

类：百位上的数字为

9

，有

978

，

987

。

解 可以组成

789

，

798

，

879

，

897

，

978

，

987

共

6

个三位数。

例

[5]

往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要停靠常州、无锡、苏州三站。问：铁路部门要为这趟车准备多少种车票？

分析 我们可以根据列车的往与反把它们分成两大类〔注：为了方便，我们将上述地点简称为宁、常、锡、苏、沪〕：

在第一大类中，我们又可以根据乘客乘车时所在起点站的不同分成

4

类。

第

1

从宁出常，宁 锡，宁 苏，宁 沪，

4

宁

类： 发： 种；

第

2

从常出锡

苏常

常 常

3

种；

类： 发： ， ， 沪，

第

3

从锡出苏沪

锡 锡

2

种；

类： 发： ， ，

第

4

从苏出沪

苏

1

种。

类： 发： ，

我们同样可用刚刚的方法将回来的车票分类，聪明的小朋友可能已经想到了，它的种数与第一大类完全相同。

解〔

4+3+2=1

〕X

2=20〔

种〕铁路部门要准备

20

种车票。

小结 分类枚举的关键是正确分类，为此，必须注意两点：

一、分类要全、枚举要清。分类不全，就会造成遗漏。如上面例

1

中，如果一不小心，把第

3

类丢了，就会造成过失。当分类确定之后，要把

每一类中每 一个符合条件的对象都列举出来。

二、分类要清。因为如果分不清，使第

1

类中有第

2

类，第

2

类中有第

3

类，互相包含，那么就会有重复。这样结果也就很难正确了。

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