2024年4月6日发(作者：六上期末数学试卷奥数)
2019年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设z=
1-i
+2i，则|z|=
1+i
1
A．0 B． C．1 D．2
2
1-i
解析：选C z=+2i=-i+2i=i
1+i
2．已知集合A={x|x-x-2>0}，则∁
R
A =
A．{x|-1
解析：选B A={x|x<-1或x>2}
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济
收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
2
建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
解析：选A
4．设S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，若3S
3
=S
2
+S
4
，a
1
=2，则a
5
=
A．-12 B．-10 C．10 D．12
解析：选 ∵3(3a
1
+3d)=(2a
1
+d )+(4a
1
+6d) a
1
=2 ∴d=-3 a
5
=-10
32
5．设函数f(x)=x+(a-1)x+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为
A．y=-2x B．y=-x C．y=2x D．y=x
32
解析：选D ∵f(x)为奇函数 ∴a=1 ∴f(x)=x+x f′(x)=3x+1 f′(0)=1 故选D
6．在ΔABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则
→
EB=
31
A．
→
AB -
→
AC
44
13
B．
→
AB -
→
AC
44
31
C．
→
AB +
→
AC
44
13
D．
→
AB +
→
AC
44
第 1 页 共 7 页
1
→→
1111
→→
3
→
1
→
解析：选A 结合图形，
→
EB=- (BA+BD)=-
→
BA-
→
BC=-
→
BA-(AC-AB)=AB - AC
2242444
7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面
上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为
A．217 B．25 C．3
解析：选B 所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长
D．2
2
2
8．设抛物线C：y=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则
→
FM·
→
FN=
3
A．5 B．6 C．7 D．8
2
→
=(3,4) 解析：选D F(1,0)，MN方程为y= (x+2),代入抛物线方程解得交点M(1,2),N(4,4),则
→
FM=(0,2),FN
3
∴
→
FM·
→
FN=8
e， x≤0
9．已知函数f(x)=
lnx，x>0
x
，g(x)=f(x)+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
解析：选C g(x)=0即f(x)=-x-a，即y=f(x)图象与直线y=-x-a有2个交点，结合y=f(x)图象可知-a<1
10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直
角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记
为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则
A．p1=p2
C．p2=p3
B．p1=p3
D．p1=p2+p3
13115
解析：选A ∵AC=3，AB=4，∴BC=5，∴AC=，AB=2 , BC=
22222
13
2
1
2
25
∴以AC和AB为直径的两个半圆面积之和为×π×()+×π×2=π
2228
15
2
125
∴以BC为直径的半圆面积与三角形ABC的面积之差为×π×()- ×3×4=π-6；
2228
2525
∴两个月牙形（图中阴影部分）的面积之和等于π-(π-6)=6=ΔABC面积
88
∴p1=p2
x
2
11．已知双曲线C： - y =1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别
3
为M、N.若ΔOMN为直角三角形，则|MN|=
第 2 页 共 7 页
2
3
A．
2
B．3 C．23 D．4
解析：选B 依题F(2,0),曲线C的渐近线为y=±
3
x,MN的斜率为3，方程为y=3(x-2),联立方程组解得
3
33
M(,- ),N(3, 3),∴|MN|=3
22
12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最
大值为
3323323
B． C． D．
4342
解析：选A 如图正六边形与正方体每条棱缩成角相等。当正六边形过正方体棱的中点时，面积最大
A．
232
2
33
，其面积为6××()=
2424
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
此时正六边形的边长为
x-2y-2≤0
13．若x，y满足约束条件
x-y+1≥0
， 则z=3z+2y的最大值为_____________．
y≤0
解析：答案为6
14．记S
n
为数列{a
n
}的前n项和，若S
n
=2a
n
+1，则S
6
=_____________．
n-1
解析：a
1
=-1，n≥2时，a
n
=S
n
-S
n-1
=2a
n-1
，a
n
=-2，S
6
=2a
6
+1=-64+1=-63
15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________
种．（用数字填写答案）
33
解析：合条件的选法有C
6
-C
4
=16
16．已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是_____________．
解析：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）
上的最小值。
2
∵ f′（x）=2cosx+2cos2x =2cosx+2(2cosx-1)=2(2cosx-1)(cosx+1)，
1π5π
令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=-1， 可得此时x=，π或；
233
π5π
∴y=2sinx+sin2x的最大值和最小值只能在点x=，π或和边界点x=0中取到，
33
π335π3333
计算可得f（）=，f（π）=0，f（）=-，f（0）=0， ∴函数的最小值为-
32322
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都
必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。
17．（12分）
00
在平面四边形ABCD中，∠ADC=90，∠A=45，AB=2，BD=5.
（1）求cos∠ADB； （2）若DC=22，求BC.
BDAB2
解：（1）在ΔABD中，由正弦定理得=.由题设知，sin∠ADB=.
sinAsin∠ADB5
第 3 页 共 7 页
由题设知，∠ADB <90，所以cos∠ADB =
0
23
.
5
2
.
5
222
在ΔBCD中，由余弦定理得BC=BD+DC-2BD·DC·cos∠BDC=25 所以BC=5.
18．（12分）
如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把ΔDFC折起，使点C到达点P的位
置，且PF⊥BF.
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
（2）由题设及（1）知，cos∠BDC= sin∠ADB=
解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.
又BF
平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
（2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.
→
|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H−xyz. 以H为坐标原点，
→
HF的方向为y轴正方向，|BF
由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=3.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF. 可得PH=
则H(0,0,0),P(0,0,
33
→
=(1,
3
,
3
), ),D(-1,- ,0 ), DP
2222
33
,EH=.
22
3
→
HP=(0,0, )为平面ABFD的法向量.
2
→
DP·
→
HP3
设DP与平面ABFD所成角为θ，则sinθ=||=.
→
|·|HP
→
|
4
| DP
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为
19．（12分）
x
2
设椭圆C: + y =1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A,B两点，点M的坐标为(2,0).
2
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.
解：（1）由已知得F(1,0)，l的方程为x=1.
由已知可得，点A的坐标为(1,
所以AM的方程为y= -
22
)或(1,- ).
22
2
3
.
4
22
x+2或y= x-2.
22
0
（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB =0.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k(x-1)(k≠0)，A(x
1
,y
1
)，B(x
2
,y
2
)，
第 4 页 共 7 页
y
1
y
2
则x
1
<2,x
2
<2，直线MA，MB的斜率之和为k
MA
+k
MB
=+.
x
1
-2x
2
-2
2kx
1
x
2
-3k(x
1
+x
2
)+4k
由y
1
=kx
1
-k, y
2
=kx
2
-k得k
MA
+k
MB
=
(x
1
-2)( x
2
-2)
x4k2k-2
22222
将y=k(x-1)代入 + y =1得(2k+1)x-4kx+2k-2=0 所以，x
1
+x
2
=, x
1
x
2
=.
22
2 2k+1 2k+1
4k-4k-12k+8k+4k
则2kx
1
x
2
-3k(x
1
+x
2
)+4k ==0
2
2k+1
从而k
MA
+k
MB
=0，故MA，MB的倾斜角互补，所以∠OMA=∠OMB.
综上，∠OMA=∠OMB.
20．（12分）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，
则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作
检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0 （1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p 0 ． （2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p 0 作为p的值．已知每件产品 的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．学.科网 （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX; （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 2218 解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C 20 p(1-p). 218217217 因此f′(p)= C 20 [2p(1-p)-18p(1-p)]=2 C 20 p(1-p)(1-10p) 令f′(p)=0，得p=0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0. 所以f(p)的最大值点为p 0 =0.1. （2）由（1）知，p=0.1. （i）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X=40+25Y， 所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=40+25×180×0.1=490. （ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX>400，故应该对余下的产品作检验. 21．（12分） 1 已知函数f(x)= - x+alnx． x （1）讨论f(x)的单调性； （2）若f(x)存在两个极值点x 1 ,x 2 ，证明： f(x 1 )-f(x 2 ) x 1 -x 2 2 333 222 1ax-ax+1 解:（1）f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)= - 2 -1+=- . 2 xxx （i）若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a=2，x=1时f′(x)=0，所以f(x)在(0,+∞)单调递减. a-a-4a+a-4 （ii）若a>2，令f′(x)=0得，x=或x=. 22 a-a-4a+a-4 当x∈(0, )∪(,+∞)时，f′(x)<0； 22 a-a-4a+a-4 当x∈(,)时，f′(x)>0. 22 a-a-4a+a-4a-a-4a+a-4 所以f(x)在(0, )、(,+∞)单调递减，在(,)单调递增. 2222 （2）由（1）知，f(x)存在两个极值点当且仅当a>2. 第 5 页 共 7 页 2222 22 22 22 由于f(x)的两个极值点x 1 ,x 2 满足x-ax+1=0，所以x 1 x 2 =1，不妨设x 1 2 ，则x 2 >1. 由于 f(x 1 )-f(x 2 )1lnx 1 -lnx 2 lnx 1 -lnx 2 -2lnx 2 = - -1+a= -2+ a=-2+ a， x 1 -x 2 x 1 x 2 x 1 -x 2 x 1 -x 2 1 -x 2 x 2 f(x 1 )-f(x 2 )1 2 +2lnx 2 <0. x 1 -x 2 x 2 2 所以 1 设函数g(x)= - x+2lnx，由（1）知，g(x)在(0,+∞)单调递减， x 又g(1)=0，从而当x∈(1,+∞)时，g(x)<0. 1f(x 1 )-f(x 2 ) 所以–x 2 +2lnx 2 <0，即 x 2 x 1 -x 2 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4–4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xoy中，曲线C 1 的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲 2 线C 2 的极坐标方程为ρ+2ρcosθ-3=0. （1）求C 2 的直角坐标方程； （2）若C 1 与C 2 有且仅有三个公共点，求C 1 的方程. 22 解：（1）C 2 的直角坐标方程为(x+1)+y=4． （2）由（1）知C 2 是圆心为A(-1,0)，半径为2的圆． 由题设知，C 1 是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l 1 ，y轴左边的射线为l 2 ． 由于B在圆C 2 的外面，故C 1 与C 2 有且仅有三个公共点等价于l 1 与C 2 只有一个公共点且l 2 与C 2 有两个公共点， 或l 2 与C 2 只有一个公共点且l 1 与C 2 有两个公共点． |-k+2|4 当l 1 与C 2 只有一个公共点时，A到l 1 所在直线的距离为2，所以 2 =2，故k= - 或k=0． 3 k+1 4 经检验，当k=0时，l 1 与C 2 没有公共点；当k= - 时，l 1 与C 2 只有一个公共点，l 2 与C 2 有两个公共点． 3 当l 2 与C 2 只有一个公共点时，A到l 2 所在直线的距离为2，所以 |k+2|4 =2，故k=0或k=- ． 2 3 k+1 4 经检验，当k=0时，l 1 与C 2 没有公共点；当k= 时，l 2 与C 2 没有公共点． 3 4 综上，所求C 1 的方程为y= - |x|+2． 3 23．[选修4–5：不等式选讲]（10分） 已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. （1）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集； （2）若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围. -2 x<-1 2x -1≤x≤11 解:（1）当a=1时，f(x)=|x+1|-|x-1|，即f(x)= 故不等式f(x)>1的解集为(,+∞)． 2 x>1 2 （2）当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立． 若a≤0，则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1； 22 若a>0，|ax-1|<1的解集为(0, )，所以≥1，故(0,2]． aa 综上，a的取值范围为(0,2]． 第 6 页 共 7 页 第 7 页 共 7 页
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