高中数学双曲线知识点总结

2024年4月9日发(作者：山东数学试卷2022谁出的)

高中数学双曲线知识点总结

蒄

平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a<

莁

方程

蒀

简图

羈

_

袇

y

)的点的轨迹。

蚆

_

螃

y

肈

薄

_

螂

x

蚃

膃

_

蚀

x

薄

范围

肈

顶点

虿

焦点

袃

渐近线

螁

离心率

袀

对称轴

膂

准线方程

薂

a、b、c

的关系

蒈

关于x轴、y轴及原点对称

袃

关于x轴、y轴及原点对称

膇

考点

题型一 求双曲线的标准方程

羃

薃

x

2

y

2

n

1、给出渐近线方程

yx

的双曲线方程可设为

2



2





(



0)

，与双曲线

mn

m

x

2

y

2

x

2

y

2

1

共渐近线的方程可设为

2



2





(



0)

。

a

2

b

2

ab

罿

2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。

【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。

（1）

羅

（2） 虚轴长为12，离心率为

5

；

4

（3）

（4） 焦距为26，且经过点M（0，12）；

（5）

x

2

y

2

1

有公共渐进线，且经过点

A3,23

。 （6） 与双曲线

916



x

2

y

2

y

2

x

2

解：（1）设双曲线的标准方程为

2



2

1

或

2



2

1

(a0,b0)

。

abab

由题意知，2b=12，

e

c5

=。

a4

∴b=6，c=10，a=8。

x

2

y

2

x

2

361

或

1

。 ∴标准方程为

646436

（2）∵双曲线经过点M（0，12），

∴M（0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a=12。

222

又2c=26，∴c=13。∴

bca144

。

y

2

x

2

1

。 ∴标准方程为

14425

x

2

y

2



2





薆

（3）设双曲线的方程为

2

ab

薆

A3,23

在双曲线上



23

3



袂

∴

916

2



2

1

得





1

4

4x

2

y

2

1

所以双曲线方程为

94

题型二 双曲线的几何性质

方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e、a、b、c四者

的关系，构造出

e

c

222

和

cab

的关系式。

a

x

2

y

2

1(a0,b0)

的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b）【例2】双曲线，且

a

2

b

2

点（1，0）到直线l的距离与点（-1，0）到直线l的距离之和s≥

c

。求双曲线的离心率

e的取值范围。

4

5

解：直线l的方程为

xy

1

，级bx+ay-ab=0。

ab

b(a1)

ab

22

由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离

d

1



，

同理得到点（-1，0）到直线l的距离

d

2



b(a1)

ab

22

，

sd

1

d

2



2ab

a

2

b

2



2ab

。

c

由s≥

c

，得

4

5

2ab

4

222

≥

c

，即

5aca2c

。

5

c

2

42

于是得

5e12e

，即

4e25e250

。

2

解不等式，得

5

5

e5

。

e

2

5

。由于e＞1＞0，所以e的取值范围是

2

4

x

2

y

2



2

1

的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使

【例3】设F

1

、F

2

分别是双曲线

2

ab

F

1

AF

2

90

，且︱AF

1

︱=3︱AF

2

︱，求双曲线的离心率。

芁

解：∵

F

1

AF

2

90

袆

∴

AF

1

AF

2

22

4c

2

羆

又︱AF

1

︱=3︱AF

2

︱，

∴

AF

1

AF

2

2AF

2

2a

即

AF

2

a

，

节

蚈

∴

AF

1

AF

2

22

9AF

2

AF

2

10AF

2

10a

2

4c

2

，

222

袈

∴

c1010

10



即

e

。

a42

2

肆

题型三 直线与双曲线的位置关系

方法思路：1、研究双曲线与直线的位置关系，一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程

蚂

组，即





AxByC0



bxayab

222222

，对解的个数进行讨论，但必须注意直线与双曲线有一个公共

点和相切不是等价的。

莀

2、直线与双曲线相交所截得的弦长：

蚇

【例4】如图，已知两定点

F

1

2

的点P的轨

1

(2,0),F

2

(2,0)

，满足条件

PF

2

PF

迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点，如果

AB63

，且曲线E上存在点

C，使

OAOBmOC

，求

薀

（1）曲线E的方程；

（2）直线AB的方程；

（3）m的值和△ABC的面积S。

解：由双曲线的定义可知，

芅

芅

薁

曲线E是以

F

1

(2,0),F

2

(2,0)

为焦点的双曲线的左支，

且

c2

，a=1，易知

bc

2

a

2

1

。

故直线E的方程为

xy1(x0)

，

22

(2)设

A(x

1

,y

1

)

,

B(x

2

,y

2

)

,

由题意建立方程组





y=kx-1

22



x-y=1

消去y，得

(1k)x2kx20

。

22

又已知直线与双曲线左支交于两点A、B，有



1k

2

0,



22



(2k)8(1k)0,



2k



解得

2k1

。

x

1

x

2

0,

2

1k





2

0.



x

1

x

2



2

1k



又∵

AB1k•x

1

x

2

1k•(x

1

x

2

)4x

1

x

2

222

(1k

2

)(2k

2

)

42

63

28k55k250

， 依题意得

2

，整理后得

22

(1k)

∴

k

2

55

2

或

k

。

74

但

2k1

，

∴

k

5

。

2

故直线AB的方程为

5

xy10

。

2

（3）设

C(x

c

,y

c

)

，由已知

OAOBmOC

，得

(x

1

,y

1

)(x

2

,y

2

)(mx

c

,my

c

)

，

∴

(x

c

,y

c

)(

x

1

x

2

y

1

y

2

,)(m0)

。

mm

2k

2

2

2k

yyk(xx)228

，

45

又

xx

，

1212

12

22

2

k1k1

k1

∴点

C(

458

,)

。

mm

将点C的坐标代入曲线E的方程，的

8064

1

，

m

2

m

2

得

m4

，但当

m4

时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意。

∴

m4

，C点的坐标为

(5,2)

，

C到AB的距离为

5

(5)21

2

(

5

22

)1

2

1



，

3

∴△ABC的面积

S

11

633

。

23

一、

二、抛物线

高考动向：抛物线是高考每年必考之点，选择题、填空题、解答题皆有，要求对抛物线定

义、性质、直线与其关系做到了如指掌，在高考中才能做到应用自如。

（一）

（二） 知识归纳

膅

方程

图形

顶点

对称

艿

袅

膃

（0，0）

x轴

芀

膈

羄

y轴

轴

羁

焦点

肄

离心

率

羇

e=1

蚁

准线

羆

（二）典例讲解

题型一 抛物线的定义及其标准方程

方法思路：求抛物线标准方程要先确定形式，因开口方向不同必要时要进行分类讨论，标

2

芃

蚁

2

准方程有时可设为

ymx

或

xmy(m0)

。

虿

【例5】根据下列条件求抛物线的标准方程。

22

蚈

（1）抛物线的焦点是双曲线

16x9y144

的左顶点；

芆

（2）经过点

A

（2，－3）；

（3）焦点在直线x-2y-4=0上；

（4）抛物线焦点在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，︱AF︱=5.

螁

肀

x

2

y

2

1

，左顶点是（-3，0）

膆

解：（1）双曲线方程可化为

916

肅

由题意设抛物线方程为

y2px(p0)

且



2

p

3

，

2

袁

∴p=6.

2

蒁

∴方程为

y12x

袈

（2）解法一：经过点

A

（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：

袄

y

2

＝2

px

或

x

2

＝－2

py

．

点

A

（2，－3）坐标代入，即9＝4

p

，得2

p

＝

羁

9

2

点

A

（2，－3）坐标代入

x

＝－2

py

，即4＝6

p

，得2

p

＝

2

4

3

∴所求抛物线的标准方程是

y

＝

2

94

x

或

x

2

＝－

y

23

22

解法二：由于A（2，-3）在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为

ymx

或

xny

，

代入A点坐标求得m=

94

，n=-，

23

2

∴所求抛物线的标准方程是

y

＝

94

x

或

x

2

＝－

y

23

（3）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，

∴直线x-2y-4=0与坐标轴的交点为（0，-2），（4，0）。

∴焦点为（0，-2），（4，0）。

22

∴抛物线方程为

x8y

或

y16x

。

（4）设所求焦点在x轴上的抛物线方程为

y2px(p0)

，A（m，-3），由抛物

2

线定义得

5AFm

p

，

2

又

(3)2pm

，

2

∴

p1

或

p9

，

故所求抛物线方程为

y2x

或

y18x

。

22

题型二 抛物线的几何性质

方法思路：1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线l的距离处

2

理，例如若P（x

0

，y

0

）为抛物线

y2px(p0)

上一点，则

PFx

0



p

。

2