2024年3月31日发(作者：打印数学试卷图片)

经济学1班 32010031121 刘扬

导数及微分在经济学中的应用

这个学期，我学习了经济数学方法这门课程。在这门课上，我学习到了逻辑、集合、空

间、函数、对应、向量、矩阵、导数、微分等知识及其在经济学中的应用。通过学习，我加

深了对以前学习过的经济学知识的理解。我对导数及微分在经济学中的应用比较感兴趣。这

篇论文，我主要写的是我对这方面的理解。

一、导数在弹性分析中的应用

弹性是经济学中一个重要的概念，用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化

的反应程度。设函数可

yf(x)

可导, 函数的相对改变量

yf(xx)f(x)

，与自

yf(x)

变量的相对改变量

xy/y

之比, 称为函数

f(x)

从x到

xx

两点间的弹性。

x

x/x

下面介绍一下需求弹性。设某商品市场的需求量为Q，价格为p，需求函数Q=(p)可导，

则称

EQpdQ



为商品的需求价格弹性，简称需求弹性，记为E

P

。它表示需求量Q

EpQ(p)dp

对价格p的反应程度。由于需求曲线是向右下倾斜的，所以价格平p上涨或下跌1%，需求

量对价格的反应是下降或上升1%。当E

P

= -  ，弹性无穷大；E

P

= -1, 单位弹性；|E

P

| <1, 弹

性不足或缺乏弹性；|E

P

|>1, 弹性充足或富于弹性；E

P

= 0，弹性等于零。

下面我们分析一下不同商品的需求弹性。设生活必需品的需求函数是Q=150-0.5p，当

价格为90时的需求弹性是

dQpdQ0.5p

0.5,Ep0.43

，而当价格上涨

dpQdp1500.5p

到110时，需求量由105下降到95，可见生活必需品的需求弹性较小，价格上升对需求量

的影响并不明显。下面探讨一下奢侈品。设奢侈品的需求函数是Q=240-1.5p，同样当价格

为90时

dQpdQ1.5p

1.5,Ep1.29

，而当价格上升至110时。需求量

dpQdp2401.5p

由105下降到75，可见奢侈品的需求弹性较大，价格上涨对需求量的影响相对来说较为明

显。

因此，对于生活必需品等需求弹性较小的商品的生产者来说，其需求价格弹性小于1，

销售收入与价格同向变动，即它随价格的提高而增加，随价格的降低而减少，此时厂商应采

取涨价的方法，以提高销售收入。而对于高档奢侈品的生产者来说，其需求价格弹性大于1，

销售收入与价格反向变动，即它随价格的提高而减少，随价格的降低而增加，此时厂商应该

采取减价的方法，以提高销售收入。

二、导数在边际分析中的应用

1.边际成本与导数

成本函数

CC(x)

(x是产量)的导数

C

(x)

称为边际成本函数。当产量由x变为

xx

时，总成本函数的该变量为

CC(xx)C(x)

，这时总成本函数的平均变化率是

CC(xx)C(x)

，它表示产量由x变为

xx

时，在平均意义下的边际成本。

xx

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CC(xx)C(x)

表示边际成本。假设每月产量为100吨时, 总成本函

x0

xx

1

2

数为

C(x)x8x4900

(元)，它的边际成本函数就可以表示为

4

11

C

\'

(x)2x8x8

，其边际成本就等于58元。

42

C

\'

(x)lim

2.边际收入与导数

设某产品的销售量为x时，总收入R=R(x)，称R(x)为总收入函数。当R(x)可导时，收

入函数的变化率为

R(x)lim

\'

CR(xx)R(x)

，这就是边际收入函数。假设某种

x0

xx

产品的销售量为

x

, 当价格p=30时总收入就可以表示为

R(x)30x

，边际收入

R

\'

(x)30

，所以其边际收入就是30元。这就表示每卖出1件商

品，就能获得30元的收入。

3.边际利润与导数

设某产品的销售量为x时，总利润函数L=L(x)，当L(x)可导时，称

L(x)

为边际利润。

它表示再多销售一个单位产品 所增加的利润。L(x)=R(x)-C(x)，

L(x)R(x)C(x)

。设

某产品的需求函数为

P800.1x

，成本函数为

C500020x

(元)。这时总利润函数就

表示为：

L(x)x(800.1x)500020x0.1x60x5000

。这时边际利润就是

2

\'\'\'

\'

L

\'

(x)0.2x60

。当销售量为100时，边际利润就是40元。这表示多卖一件产品，就

会带来40元的利润。

边际分析对于生产企业的决策者来说十分重要。它决定了企业该生产多少商品，制定

什么样的价格才会实现利润最大化。

三、偏导数与拉格朗日乘数法在经济学中的应用

我们利用偏导数与拉格朗日乘数法来分析企业生产成本最小化问题，其方法是

第一步：构造拉格朗日乘数，它是两部分的和：生产成本，拉格朗日乘子与企业面对

的产量约束的乘积：



LrK

[F(K,L)q)]

其中：K表示资本，r表示资本价格，L表示劳动，

表示劳动价格。

第二步：分别对K,L,

求导，并使导数等于0，就得到最小化的条件。



r

MP

K

(K,L)0

K



r

MP

L

(K,L)0

L



q

0

F(K,L)0

第三步：这些方程就得到最优的K,L,

。联立两个条件

MP

K

(K,L)/rMP

L

(K,L)/

。

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这个方程告诉我们必须使每种要素的边际产量与要素价格之比相等时的要素投入量。

最终算出拉格朗日乘数

r

MP

K

(K,L)0

r

MP

K

(K,L)

MP

L

(K,L)0

MP

L

(K,L)

下面我们举一个具体例子来加深了解。

设某工厂生产A和B两种商品，产量分别为x和y，其利润函数为

L(x,y)6xx

2

16y4y

2

2

，已知生产这两种商品时，每种商品均需消耗

原料2000公斤，现有原料12000公斤，工厂的最大利润就可以利用偏导数与拉格朗日乘数

来计算。

依题意，每种商品均需消耗原料2000公斤，现有原料12000公斤，可以设立约束条件：

2000x2000y12000

化简得

xy6

。这时就可以在

xy6

条件下设立拉格朗日

函数为：

F(x,y,

)6xx16y4y2

(xy6)

22

F

x

\'

62x

0

\'

令：

F

y

168y

0

F

\'

xy60

\'

消去

后，得到等价方程组：

x4y5

，由此解得

x3.8,y2.2

。

xy6

22

因此最大利润就为：

L(3.8,2.2)63.83.8162.22.2236.72

导数与微分理论在经济学中的应用是一个不断深化与发展的过程，是一个有不完善到乘

数的过程。

导数的起源大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法；

1637年左右，他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时，他构造了差分

f(A+E)-f(A),发现的因子E就是我们现在所说的导数。

17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大

数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流

数术”，他称变量为流量，称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数。

到19世纪导数理论逐渐走向成熟。1823年，柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导

数：如果函数y=f(x)在变量x的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定

一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量。19世纪60年代

以后，魏尔斯特拉斯创造了ε-δ语言，对微积分中出现的各种类型的极限重加表达，导数的

定义也就获得了今天常见的形式。

倒数理论十分有趣也十分深奥，虽然，已经取得了许多理论成果，但还有许多人类所不

熟知的部分需要我们不断去探索。

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