人教B版高中数学必修2同步练习题及答案全册汇编

2024年3月23日发(作者：泉州小升初数学试卷及答案)

人B版高中数学必修2同步习题

第1章1.1.1同步练习

第1章1.1.2同步练习

第1章1.1.3同步练习

第1章1.1.4同步练习

第1章1.1.5同步练习

第1章1.1.6同步练习

第1章1.1.7同步练习

第1章1.2.1同步练习

第1章1.2.2第一课时同步练习

第1章1.2.2第二课时同步练习

第1章1.2.3第一课时同步练习

第1章1.2.3第二课时同步练习

第1章章末综合检测

第2章2.1.1同步练习

第2章2.1.2同步练习

第2章2.2.1同步练习

第2章2.2.2第一课时同步练习

第2章2.2.2第二课时同步练习

第2章2.2.3第一课时同步练习

第2章2.2.3第二课时同步练习

第2章2.2.4同步练习

第2章2.3.1同步练习

第2章2.3.2同步练习

第2章2.3.3同步练习

第2章2.3.4同步练习

第2章2.4.1同步练习

第2章2.4.2同步练习

第2章章末综合检测

高中数学人教B版必修2同步练习

人教B版必修2同步练习

1．关于平面，下列说法正确的是( )

A．平行四边形是一个平面

B．平面是有大小的

C．平面是无限延展的

D．长方体的一个面是平面

答案：C

2．如图所示的两个相交平面，其中画法正确的有( )

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

解析：选B.被平面遮住的部分应画虚线，故(1)(4)正确．

3．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上三点，则在正方体盒

子中，∠ABC等于( )

A．45° B．60°

C．90° D．120°

答案：B

4．飞机飞行表演在空中留下漂亮的“彩带”，用数学知识解释为________．

答案：点动成线

5．一个平面将空间分成________部分；两个平面将空间分成________部分．

答案：2 3或4

1．下列不属于构成几何体的基本元素的是( )

A．点 B．线段

C．曲面 D．多边形(不含内部的点)

解析：选D.点、线、面是构成几何体的基本元素．

2. 如图是一个正方体的展开图，每一个面内都标注了字母，则展开前与B相对的是

( )

A．字母E B．字母C

C．字母A D．字母D

解析：选B.正方体展开图有很多种，可以通过实物观察，选一个面作为底面，通过空

间想象操作完成．不妨选字母D所在的面为底面，可以得到A，F是相对的面，E与D相对；

若选F做底面，则仍然得到A，F是相对的面，E与D相对，则与B相对的是字母C.

3．如图，下列四个平面图形，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相

邻边折叠围成一个立方体的图形是( )

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解析：选C.借助模型进行还原．

4．下列命题正确的是( )

A．直线的平移只能形成平面

B．直线绕定直线旋转肯定形成柱面

C．直线绕定点旋转可以形成锥面

D．曲线的平移一定形成曲面

解析：选C.直线的平移，可以形成平面或曲面，命题A不正确；当两直线平行时旋转

形成柱面，命题B不正确；曲线平移的方向与曲线本身所在的平面平行时，不能形成曲面，

D不正确，只有C正确．故选C.

5．下列几何图形中，可能不是平面图形的是( )

A．梯形 B．菱形

C．平行四边形 D．四边形

解析：选D.四边形可能是空间四边形，如将菱形沿一条对角线折叠成4个顶点不共面

的四边形．

6．下面空间图形的画法中错误的是( )

解析：选D.被遮住的地方应该画成虚线或不画，故D图错误．

7．在以下图形中，正方体ABCD－A

不可以由四边形________(填序号)平移而

得到．

①ABCD；②A

；③A

BA；④A

BCD

解析：①ABCD，②A

，③A

BA，按某一方向平移可以得到正方体ABCD－

，④A

BCD

平移不能得到正方体ABCD－A

答案：④

8. 把如图的平面沿虚线折叠可以折叠成的几何体是________．

解析：图中由六个正方形组成，可以动手折叠试验，得到正方体．

答案：正方体

9．如右图小明设计了某个产品的包装盒，但是少设计了其中一部分，请你把它补上，

使其成为两边均有盖的正方体盒子．你能有________种方法．

答案：4

10. 指出下面几何体的点、线、面．

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解：顶点A、B、C、D、M、N；棱AB、BC、CD、DA、MA、MB、MC、MD、NA、

NB、NC、ND；面MAD、面MAB、面MBC、面MDC、面NAB、面NAD、面NDC、面NBC.

11．搬家公司想把长2.5 m，宽0.5 m，高2 m的长方体家具从正方形窗口穿过，正方形

窗口的边长为a，则a至少是多少？

0.5

解：如图，问题实质是求正方形的内接矩形边长为2 m,0.5 m时正方形的边长a＝2＋

＝≈1.77(m)．所以a至少是1.77 m时，长方体家具可以通过．

12．要将一个正方体模型展开成平面图形，需要剪断多少条棱？你能从中得出什么规律

来吗？

解：需要剪断7条棱．因为正方体有6个面，12条棱，两个面有一条棱相连，展开后

六个面就有5条棱相连，所以剪断7条棱．规律是正方体的平面展开图只能有5条棱相连，

但是，有5条棱相连的6个正方形图形不一定是正方体的平面展开图．

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1．在下列立体图形中，有5个面的是( )

A．四棱锥 B．五棱锥

C．四棱柱 D．五棱柱

解析：选A.柱体均有两个底面，锥体只有一个底面．

2．如图所示的长方体，将其左侧面作为上底面，右侧面作为下底面，水平放置，所得

的几何体是( )

A．棱柱

B．棱台

C．棱柱与棱锥组合体

D．无法确定

答案：A

3．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( )

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

答案：D

4．棱柱的侧面是________形，棱锥的侧面是________形，棱台的侧面是________形．

答案：平行四边三角梯

5．在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，沿AE、AF、EF将其折成一个

多面体，则此多面体是________．

答案：三棱锥

1．下列命题正确的是( )

A．斜棱柱的侧棱有时垂直于底面

B．正棱柱的高可以与侧棱不相等

C．六个面都是矩形的六面体是长方体

D．底面是正多边形的棱柱为正棱柱

解析：选C.四个侧面都是矩形的棱柱是直平行六面体．两个底面是矩形的直平行六面

体是长方体．故正确答案为C.

2．将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成

的几何体为( )

A．棱柱 B．棱台

C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定

解析：选A.水面始终与固定的一边平行，且满足棱柱的定义．

3. 如图所示，正四棱锥S－ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条棱SA，SC作

截面SAC，则截面的面积为( )

A.a

C.a

B．a

D.a

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解析：选C.根据正棱锥的性质，底面ABCD是正方形，∴AC＝2a.在等腰三角形SAC

中，SA＝SC＝a，又AC＝2a，∴∠ASC＝90°，即S

△

SAC

＝a

.故正确答案为C.

4．若要使一个多面体是棱台，则应具备的条件是( )

A．两底面是相似多边形

B．侧面是梯形

C．两底面平行

D．两底面平行，侧棱延长后交于一点

解析：选D.根据棱台的定义可知，棱台必备的两个条件：底面平行，侧棱延长后相交

于一点．

5．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是( )

A．正三棱锥 B．正四棱锥

C．正五棱锥 D．正六棱锥

解析：选D.正三棱锥的底面边长和侧棱相等时叫做正四面体，因此该棱锥可以是正三

棱锥，所以不选A，另外，正四棱锥，正五棱锥也是可能的，故B、C也不选，根据正六边

形的特点，正六边形的中心到各个顶点的距离相等，在空间中，除中心外，不可能再找到和

各顶点的连线都等于底面边长的点，因此该棱锥不可能是正六棱锥．故选D.

6．已知正四棱锥的侧棱长是底面边长的k倍，则k的取值范围是( )

A．(0，＋∞) B．(，＋∞)

C．(2，＋∞) D．(，＋∞)

解析：选D.由正四棱锥的定义知如图，正四棱锥S－ABCD中，S在底面ABCD内的射

影O为正方形的中心，而SA>OA＝AB，

SA22

>，即k>.

AB22

7．长方体表面积为11，十二条棱长度的和为24，则长方体的一条对角线长为________．

解析：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则4(a＋b＋c)＝24，∴a＋b＋c＝6.又(ab

＋bc＋ac)×2＝11.

∴长方体的一条对角线长l＝a

＋b

＋c

＝

a＋b＋c

－2ab＋bc＋ac＝6

－11＝5.

答案：5

8．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体(图形)的4个顶点，这

些几何体(图形)是________(写出所有正确结论的编号)．

①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三

角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．

解析：本题借助正方体的结构特征解答，4个顶点连成矩形的情形很容易作出；图(1)

中四面体A

A是③中描述的情形；图(2)中四面体DA

B是④中描述的情形；图(3)中

四面体A

D是⑤中描述的情形．因此正确答案为①③④⑤.

∴

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答案：①③④⑤

9．正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，体对角线长为9，则棱台的斜高等于

________．

解析：

如图，四边形BDD

是等腰梯形，B

＝52，BD＝72，BD

＝9，所以OO

BD＋B

＝ BD

＝3.

－

又E

，E分别为B

，BC的中点，所以O

＝，OE＝.所以在直角梯形OEE

中，

斜高E

E＝OO

＋OE－O

＝10.

答案：10

10．已知正四棱锥V－ABCD中，底面面积为16，一条侧棱的长为211，求该棱锥的

高．

解：取正方形ABCD的中心O，连接VO、AO，则VO就是正四棱锥V－ABCD的高．

因为底面面积为16，所以AO＝22.

因为一条侧棱长为211，

所以VO＝VA

－AO

＝44－8＝6.

所以正四棱锥V－ABCD的高为6.

11. 如图所示，长方体ABCD－A

(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？

(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果

是，是几棱柱？如果不是，请说明理由．

解：(1)是棱柱，并且是四棱柱．因为它可以看成由四边形ADD

沿AB方向平移至

BCC

形成的几何体，符合棱柱的定义．

(2)截面BCFE右边的部分是三棱柱BEB

－CFC

，其中△BEB

和△CFC

是底面．截面

BCFE左边的部分是四棱柱ABEA

－DCFD

，其中四边形ABEA

和四边形DCFD

是底面．

12. 如图所示，正三棱柱ABC－A

中，AB＝3，AA

＝4，M为AA

的中点，P是BC

上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC

到M的最短路线长为29，设这条最短路线与CC

的交点为N，求：

(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；

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(2)PC和NC的长．

解：(1)正三棱柱ABC－A

的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，如图所示，

其对角线长为9

＋4

＝97.

(2)由P沿棱柱侧面经过棱CC

到M的最短路线，即侧面展开图中的线段MP，设PC

的长为x，则在Rt△AMP中，AM＝2，MP＝29，∴AP

＝PM

－AM

＝25，

即(x＋3)

＝25，

∴x＝2，即PC＝2.

∵

＝

，

又MA＝2，∴NC＝

，

故PC和NC的长分别为2，

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1．下列说法正确的是( )

A．圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的

B．圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的

C．圆柱不是旋转体

D．圆台可以看成是用平行于底面的平面截一个圆锥而得到的

解析：选D.A错误，这里需指明绕直角梯形与底边垂直的一腰旋转．B错误，圆锥是

直角三角形绕一条直角边旋转而成．C错误，圆柱是旋转体．

2．一条直线绕着与它相交但不垂直的直线旋转一周所得的几何图形是( )

A．旋转体 B．两个圆锥

C．圆柱 D．旋转面

答案：D

3．一个等腰梯形绕着它的对称轴旋转半周所得的几何体是( )

A．圆柱 B．圆锥

C．圆台 D．以上都不对

答案：C

4．一个圆柱的母线长为15 cm，底面半径为12 cm，则圆柱的轴截面面积是________．

答案：360 cm

5．有下列说法：

①球的半径是连接球心和球面上任意一点的线段；

②球的直径是连接球面上两点的线段；

③不过球心的截面截得的圆叫做小圆．

其中正确说法的序号是________．

解析：利用球的结构特征判断：①正确；②不正确，因为直径必过球心；③正确．

答案：①③

1．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是( )

A．两个圆台组合成的

B．两个圆锥组合成的

C．一个圆锥和一个圆台组合成的

D．一个圆柱和一个圆锥组合成的

解析：选B.如图△ABO与△CBO绕AC旋转，分别得到一个圆锥．

2．边长为5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点

G的最短距离是( )

A．10 cm B．52 cm

C．5π

＋1 cm D.

＋4 cm

解析：选D.圆柱的侧面展开图如图所示，

155

展开后E′F＝

·2π·(

)＝

π，

222

∴E′G＝ 5

＋

π

＝

＋4(cm)．

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3．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是( )

A．4S B．4πS

C．πS D．2πS

解析：选C.由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R，则2R·2R＝4S，得R

＝S.所以

底面面积为πR

＝πS.

4．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1∶3，这截面把

圆锥母线分为两段的比是( )

A．1∶3 B．1∶9

C．1∶(3－1) D.3∶2

解析：选C.由圆锥的截面性质可知，截面仍是圆，设r

、r

分别表示截面与底面圆的半

径．而l

与l

表示母线被截得的线段．则＝＝＝，∴l

∶l

＝1∶(3－1)．

＋l

5．设M、N是球O半径OP上的两点，且NP＝MN＝OM，分别过N、M、O作垂直于

OP的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为( )

A．3∶5∶6 B．3∶6∶8

C．5∶7∶9 D．5∶8∶9

解析：选D.作出球的轴截面图如图，

设球的半径为3R，

则MM′＝9R

－R

＝8R，

NN′＝9R

－4R

＝5R.

所截三个圆的面积之比为：

π·(5R)

∶π·(8R)

∶π·(3R)

＝5∶8∶9.故选D.

6．已知一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面不可能是( )

解析：选D.过球心的任何截面都不可能是圆的内接正方形．

7．一圆锥的轴截面的顶角为120°，母线长为1，过顶点作圆锥的截面中，最大截面的

面积为________．

解析：当截面顶点为90°时，截面面积最大，为×1×1＝.

答案：

8. 如图所示，在透明塑料制成的长方体容器ABCD－A

中灌进一些水，将固定

容器底面的一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，以下命题：①水的

形状成棱柱形；②水面EFGH的面积不变；③A

始终与水面EFGH平行．其中正确的

序号是________．

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解析：在倾斜的过程中，因为前后两面平行，侧面(上下、左右)为平行四边形，所以是

棱柱．故填①③.

答案：①③

9．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，则此圆的半径为________．

解析：设圆柱底面半径为r，母线为l，则由题意得





2r＝l，



，解得r＝.



2r·l＝Q



10．圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，

求圆台的高被截面分成的两部分的比．

解：

答案：

将圆台还原成圆锥，如图所示．O

、O

、O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，



h＋h

＝

V是圆锥的顶点，令VO＝h, OO＝h，OO＝h则



h＋h＋h



＝

221112

49＋1

，





＝4h，

所以



即h

∶h

＝2∶1.



＝2h，



11. 如图是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面

直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？

解：因为圆锥形铅锤的体积为×π×()×20＝60π(cm

)．

设水面下降的高度为x cm，

则小圆柱的体积为

π(

)

x＝100πx (cm

)．

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所以有60π＝100πx，

解此方程得x＝0.6.

故杯里的水下降了0.6 cm.

12．用一张4 cm×8 cm的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，求圆柱轴截面的面积(接头忽略不

计)．

解：分两种情况：

(1)以矩形8 cm的边为母线长，把矩形硬纸卷成圆柱侧面(如图(1))轴截面为矩形A

ABB

，

根据题意可知底面圆的周长为：2π·OA＝4，则OA＝，于是AB＝.

ππ

根据矩形的面积公式得：

432

截面

＝A

A·AB＝8·＝(cm

)．

ππ

(2)以矩形4 cm的边长为母线长，把矩形硬纸卷成圆柱侧面(如图(2))，轴截面为矩形

ABB

，根据题意可知底面圆的周长为：2π·OA＝8，则OA＝，于是AB＝.

ππ

83232

根据矩形的面积公式得：S

截面

＝A

A·AB＝4·＝(cm

)．综上所述，轴截面的面积为

πππ

cm.

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1．直线的平行投影可能是( )

A．点 B．线段

C．射线 D．曲线

答案：A

2．在灯光下，圆形窗框在与窗框平行的墙面上的影子的形状是( )

A．平行四边形 B．椭圆形

C．圆形 D．菱形

解析：选C.由点光源的中心投影的性质可知影子应为圆形．

3．如图所示的是水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边上的一

点，且D′离C′比D′离B′近，又A′D′∥y′轴，那么原△ABC的AB、AD、AC三

条线段中( )

A．最长的是AB，最短的是AC

B．最长的是AC，最短的是AB

C．最长的是AB，最短的是AD

D．最长的是AD，最短的是AC

答案：C

4．已知有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其斜二测直观图的面积为________．

解析：由于该矩形的面积为S＝5×4＝20(cm

)．

所以其斜二测直观图的面积为S′＝S＝52(cm

)．

答案：52 cm

5．长度相等的两条平行线段的直观图的长度________．

答案：相等

1．放晚自习后，小华走路回家，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影( )

A．变长 B．变短

C．先变长后变短 D．先变短后变长

答案：D

2．下列关于直观图画法的说法中，不正确的是( )

A．原图中平行于x轴的线段，其对应线段仍平行于x′轴，长度不变

B．原图中平行于y轴的线段，其对应线段仍平行于y′轴，长度不变

C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可以等于135°

D．画直观图时，由于选轴不同，所画的直观图可能不同

解析：选B.平行于y轴的线段其长度变为原来的.

3. 如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD的直观图，若A′D′∥O′y′，

A′B′∥C′D′，A′B′＝C′D′＝2，A′D′＝1，则四边形ABCD的面积是( )

A．10 B．52

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C．5 D．102

解析：选C.还原后的四边形ABCD为直角梯形，AD为垂直底边的腰，AD＝2，AB＝2，

CD＝3，S

四边形

ABCD

＝5，故正确答案为C.

4．如图，在正方体ABCD－A

中，M，N分别是BB

，BC的中点，则图中阴影

部分在平面ADD

上的射影为( )

答案：A

5．如果图形所在的平面不平行于投射线，那么下列说法正确的是( )

A．矩形的平行投影一定是矩形

B．梯形的平行投影一定是梯形

C．正方形的平行投影一定是矩形

D．正方形的平行投影一定是菱形

解析：选B.因为梯形两底的平行投影仍然平行，故选B.

6．如下图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )

解析：选C.根据斜二测画法的规则：平行于x轴或在x轴上的线段的长度在新坐标系

中不变，在y轴上或平行于y轴的线段的长度在新坐标中变为原来的，并注意到∠xOy＝90°，

∠x′O′y′＝45°，因此由直观图还原成原图形为选项C.

7. 如图所示，已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图△A′B′C′是边长为a的正

三角形，那么原△ABC的面积为________．

解析：过C′作y′轴的平行线C′D′与x′轴交于D′，

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则C′D′＝＝a.

sin45°2

又∵C′D′是原△ABC的高CD的直观图，

∴CD＝6a.

116

∴S

△

ABC

＝AB·CD＝a·6a＝a

222

答案：a

8．给出下列说法：①正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1∶2，

有一内角为45°；②水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一

半的三角形；③不等边三角形水平放置的直观图是不等边三角形；④水平放置的平面图形的

直观图是平面图形．

写出其中正确说法的序号________．

解析：对于①，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x轴、y轴，则结论正确；但若

以该正方形的两条对角线所在的直线为x轴、y轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴

上或与坐标轴平行，则其直观图中相邻两边长不一定符合“横不变，纵减半”的规则；对于

②，水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角

形；对于③，只要坐标系选取的恰当，不等边三角形的水平放置的直观图可以是等边三角形．

答案：④

9. 水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB

边上的中线的实际长度为________．

解析：在直观图中，∠A′C′B′＝45°，则在原图形中∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，

则斜边AB＝5，故斜边的中线长为.

答案：

10．在有太阳的某时刻，一个大球放在水平地面上，球的影子伸到距离球与地面接触点

10 m处，同一时刻一根长3 m的木棒垂直于地面，且影子长1 m，求此球的半径．

解：由题设知BO′＝10，设∠ABO′＝2α(0°<α<45°)(如图)，由题意知tan 2α＝

即2α＝60°，∴α＝30°，

∴tan α＝.

在Rt△OO′B中，tan α＝，

BO′

103

∴R＝BO′·tan α＝ m.

第16页共122页

＝3，

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103

即此球的半径为 m.

11. 如图所示，一建筑物A高为BC，眼睛位于点O处，用一把长为22 cm的刻度尺EF

在眼前适当地运动，使眼睛刚好看不到建筑物A，这时量得眼睛和刻度尺的距离MN为10

cm，眼睛与建筑物的距离MB为20 m，求建筑物A的高．(假设刻度尺与建筑物平行)

解：由题意可知O，F，C三点共线，O，E，B三点共线．

EFOEMN

因为EF∥BC，所以＝＝.

BCOBMB

2210

把EF＝22 cm，MN＝10 cm，MB＝2000 cm代入上式，得＝，

BC2000

解得BC＝4400 cm＝44 m.

即建筑物A高44 m.

12. 某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成60°角，房屋向南的窗

户AB高1.6米，现要在窗子外面的上方安装一个水平遮阳蓬AC，如图所示，求：

(1)当遮阳蓬AC的宽度在什么范围内时，太阳光线直接射入室内？

(2)当遮阳蓬AC的宽度在什么范围内时，太阳光线不能直接射入室内(精确到0.01米)?

解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，AB＝1.6米，

AB3AB

则AC＝＝，

tan∠ACB

1.6

∴AC＝≈0.92(米)．

当0

(2)当AC＞0.92米时，太阳光不能直接射入室内．

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1．下列说法中正确的是( )

A．任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关

B．任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关

C．有的物体的三视图与物体的摆放位置无关

D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形

解析：选C.球的三视图与它的摆放位置无关，从任何方向看都是圆．

2．如图所示，桌面上放着一个圆锥和一个长方体，其俯视图是( )

答案：D

3．(2011年高考山东卷)下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存

在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；

③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是( )

A．3 B．2

C．1 D．0

解析：选A.对于①，可以是放倒的三棱柱；容易判断②③可以．

4．一件物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的________，长度与主视图一

样，左视图放在主视图的______，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．

答案：下面右面

5．某个几何体的三视图如图，这个几何体是________．

答案：圆锥

1. 如图所示的是水平放置的圆柱形物体，其三视图是( )

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解析：选A.此题主要研究从物体到三视图的转化过程，主视图是从正面观察物体的形

状；左视图是从左侧面观察物体的形状；俯视图是从上往下观察物体的形状．从正面看是个

矩形，从左面看是个圆，从上往下看是一个矩形，对照图中的A，B，C，D，可知A是正

确的．

2．图中三图顺次为一个建筑物的主视图、左视图、俯视图，则其为________的组合

体．( )

A．圆柱和圆锥 B．正方体和圆锥

C．正四棱柱和圆锥 D．正方形和圆

解析：选C.直接画出符合条件的组合体，可以得解．

3．如图所示，有且仅有两个视图相同的几何体是( )

A．(1)(2) B．(1)(3)

C．(1)(4) D．(2)(4)

解析：选D.在这四个几何体中，图(2)与图(4)均只有主视图和左视图相同．

4．如图(1)所示是物体的实物图，在图(2)四个选项中是其俯视图的是( )

答案：C

5．一个几何体由一些小正方体摆成，其主视图与左视图如图所示，其俯视图不可能是

( )

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解析：选C.通过分析主视图第一列有两个，而左视图第二列有两个，所以俯视图是选

项C时，不符合要求．

6. 把10个相同的小正方体按如图所示位置堆放，它的表面有若干个小正方形，如果将

图中标了字母A的一个小正方体搬走，这时表面的小正方形个数与搬动前相比( )

A．不增不减

C．减少2个

答案：A

7．欣赏下列物体的三视图，并写出它们的名称．

B．减少1个

D．减少3个

答案：(1)主视图 (2)左视图 (3)俯视图 (4)主视图 (5)左视图 (6)俯视图

8．下图是某个圆锥的三视图，根据主视图中所标尺寸，则俯视图中圆的面积为________，

圆锥母线长为________．

解析：由主视图的底边可知俯视图的半径为10，则面积为100π.由主视图知圆锥的高为

30，又底面半径为10，则母线长为10

＋30

＝1010.

答案：100π 1010

9．一个几何体由几个相同的小正方体组合而成，它的主视图、左视图、俯视图如图所

示，则这个组合体包含的小正方体的个数是________．

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解析：由三视图画出几何体如图．观察知，包含小正方体个数为5个．

答案：5

10．如图所示是一些立体图形的视图，但是观察的方向不同，试说明下列各图可能是哪

一种立体图形的视图．

解：从柱、锥、台、球的三视图各方面综合考虑．

图(1)可能为球、圆柱，如图(4)所示．

图(2)可能为棱锥、圆锥、棱柱，如图(5)所示．

图(3)可能为正四棱锥，如图(6)所示．

11. 如图是根据某一种型号的滚筒洗衣机抽象出来的几何体，数据如图所示(单位：cm)，

试画出它的三视图．

解：这个几何体是由一个长方体和一个圆柱体构成的．三视图如下图所示．

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12．如图，BC⊥CD，且CD⊥MN，ABCD绕AD所在直线MN旋转，在旋转前，点A

可以在DM上选定．当点选在射线上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，分别

画出它的三视图并比较异同．

解：(1)当点A在下图(a)中射线DM的位置时，绕MN旋转一周所得几何体为底面半径

为CD的圆柱和圆锥叠加而成，其三视图如下图(a)．

(2)当点A在下图(b)中射线DM的位置时，即B到MN作垂线的垂足时旋转后的几何体

为圆柱，其三视图如下图(b)．

(3)当点A在下图(c)中所示位置时，其旋转所得几何体为圆柱中挖去同底的圆锥，其三

视图如下图(c)．

(4)当点A位于点D时，如下图(d)中，旋转体为圆柱中挖去同底等高的圆锥，其三视图

如下图(d)．

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1．一正四棱锥各棱长均为a，则其表面积为( )

A.3a

B．(1＋3)a

C．22a

D．(1＋2)a

解析：选B.正四棱锥的底面积为S

底

＝a

，侧面积为S

侧

＝4××a×a＝3a

，故表

面积为S

表

＝S

底

＋S

侧

＝(1＋3)a

2．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为2，体对角线长为6，则这个棱柱的

侧面积是( )

A．2 B．4

C．6 D．8

答案：D

3．若球的大圆周长为C，则这个球的表面积是( )

A. B.

4π2π

C. D．2πC

答案：C

4．一个圆锥的底面半径为2，高为23，则圆锥的侧面积为________．

解析：S

侧

＝πRl＝π×2×2

＋23

＝8π.

答案：8π

5．已知棱长为1，各面都是正三角形的四面体，则它的表面积是________．

答案：3

a，则此棱锥的侧面积等于( )

B.a

D.a

1．正三棱锥的底面边长为a，高为

A.a

C.a

解析：选A.斜高h′ ＝ 

a＋＝a，

662

113

则S

侧

＝·3a·a＝a

224

2．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积是( )

A．48(3＋3) B．48(3＋23)

C．24(6＋2) D．144

解析：选A.S

两底

＝×4

×6×2＝483，

侧

＝6×4×6＝144.∴S

全

＝144＋483＝48(3＋3)．

3．正四棱台两底面边长分别为3 cm和5 cm，那么它的中截面面积为( )

A．2 cm

B．16 cm

C．25 cm

D．4 cm

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解析：选B.如图，设A′A、B′B的中点分别为E、F，连接EF，

∴EF＝×(3＋5)＝4(cm)．

∴S

截

＝4

＝16(cm

)．

4．正四棱锥底面外接圆半径为10 cm，斜高为12 cm，下面数据正确的是( )

A．高h＝211 cm

B．侧棱长l＝12 cm

C．侧面积S＝602 cm

D．对角面面积S＝1094 cm

答案：D

5．已知底面是菱形的直棱柱，底面的对角线的长分别是6和8，棱柱的高是15，则这

个棱柱的侧面积是( )

A．75 B．250

C．150 D．300

解析：选D.由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得菱形的边长为5，

所以侧面积为S

侧

＝4×5×15＝300.

6．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图的圆心角为( )

A．120° B．150°

C．180° D．240°

解析：选C.设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S

侧

＝πrl，S

底

＝πr

又∵S

全

＝S

侧

＋S

底

＝3S

底

，∴πrl＋πr

＝3πr

，∴＝.

根据侧面展开图的圆心角公式，得α＝×360°＝×360°＝180°.

7．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一

个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为________．

解析：该几何体是底面直径为1，母线长为1的圆柱，则其全面积是2π××1＋2π×()

3π

＝.

3π

答案：

8．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是2 cm，则球的表面积是________．

答案：12π cm

9．一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为4∶9，则此棱锥

的侧棱被分成的上、下两部分之比为________．

四边形

′

A′B′

解析：设该棱锥为S－ABCD，截面为A′B′C′D′，则＝.∴＝

9AB

四边形

ABCD

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SA′SA′

＝.∴＝.

3SA

A′A

答案：2∶1

10．已知五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是8 cm和18 cm，侧面是全等

的等腰梯形，侧棱长是13 cm，求它的侧面积．

解：如图所示的是五棱台的一个侧面，它是一个上、下底的边长分别为8 cm和18 cm，

且腰长为13 cm的等腰梯形，由点A向BC作垂线，垂足为点E；由点D向BC作垂线，垂

足为点F.

∵四边形ABCD为等腰梯形，

∴BE＝CF＝(BC－AD)

＝(18－8)＝5 cm.

在Rt△ABE中，

AB＝13 cm，

BE＝5 cm，

∴AE＝12 cm，

∴S

四边形

ABCD

＝(AD＋BC)·AE＝×(8＋18)×12＝156(cm

)．

∴S

五棱台侧

＝5×156＝780(cm)．

即此五棱台的侧面积为780 cm

11．求棱长为a的正四面体外接球的半径．

解：设正四面体ABCD的高为AO

，外接球球心为O，半径为R，如图所示，

∵正四面体的棱长为a，

323

∴O

B＝a×＝a，

233

在Rt△AO

B中，AO

＝AB

－BO

＝ a

－

a＝a，

中，OO

＝R－(

a)＝R－，

－＝a.

在Rt△OO

∴AO

＝R＋O

O＝R＋

∴R＝

a，

12. 如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中有一个高为3的内接圆柱，求圆柱的

表面积．

即外接球半径为

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h－3

解：设圆柱的底面半径为r，高为h′＝3，圆锥的高为h，则＝

－2

－3

＝＝，所以r＝1，所以圆柱的表面积S＝2πr

＋2πrh′＝2π(1

＋1×3)

4－2

2(3＋1)π.

第26页共122页

＝

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1．已知长方体过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，体对角线的长为214，则这个

长方体的体积是( )

A．6 B．12

C．24 D．48

答案：D

2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是

( )

A．16π B．20π

C．24π D．32π

解析：选C.由V＝Sh，得S＝4，即正四棱柱底面边长为2.因为该正四棱柱的对角线即

为球的直径，所以球的表面积S′＝4πR

＝4π()

＝D

π＝(2

＋2

＋4

)π＝24π，故选C.

3．若圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则其体积是( )

A．955π B．955

C．355π D．355

答案：C

4．若圆柱的侧面积为18，底面周长为6π，则其体积是________．

答案：27

5．正四棱台的两底面边长分别为1 cm和2 cm，它的侧面积是35 cm

，那么它的体

积是________cm

解析：设正四棱台的斜高为h′，由侧面积公式S

正棱台侧

＝(c＋c′)h′＝(1×4＋

2×4)h′＝35，解得h′＝.再根据两底中心的连线与上、下底边的一半及斜高组成的直

角梯形，可以求出高h＝1，那么V

正棱台

＝(S

上

＋S

下

＋S

上

·S

下

)h＝.

答案：

1．两个球的体积之和为12π，它们的大圆周长之和为6π，则两球的半径之差为( )

A．1 B．2

C．3 D．4

333

解析：选A.可设出两球的半径r

，r

，则有

π(r

＋r

)＝12π，即r

＋r

＝9.

又∵2π(r

＋r

)＝6π，∴r

＋r

＝3.

由r

＋r

＝(r

＋r

)[(r

＋r

)－3r

]，可得r

＝2，

从而|r

－r

|＝r

＋r



－4r

＝1.

2．一圆锥的底面半径为4，在距圆锥顶点高线的处，用平行于底面的平面截圆锥得到

一个圆台，得到圆台是原来圆锥的体积的( )

631

A. B.

6416

C. D.

464

解析：选A.∵在距圆锥顶点高线的处，用平行于底面的平面截圆锥，圆锥底面半径为

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4，∴截面圆半径为1.

设截去的底面半径为1的小圆锥的高为h，体积为V

，底面半径为4的圆锥的高为4h，

体积为V

，

π×4

×4h－

π×1

×h

圆台

－V

则＝＝＝.

164

π×4

×4h

3．把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为

( )

A．3 cm B．6 cm

C．8 cm D．12 cm

44648410

解析：选B.设大铁球的半径为R，则有

πR

＝

π·(

)

＋

π·(

)

＋

π·(

)

，

3323232

解得R＝6.

4．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若将△ABC绕直线BC旋转

一周，则所形成的旋转体的体积是( )

9π7π

A. B.

5π3π

C. D.

解析：选D.如图，该旋转体的体积是以AD为半径，CD和BD为高的两个圆锥的体积

之差，因为∠ABC＝120°，所以∠ABD＝60°.又因为AB＝2，所以DB＝1，AD＝3.

111

3π

所以V＝

π·AD

·CD－

π·AD

·BD＝

π·AD

·(CD－BD)＝.

3332

5．已知高为3的直棱柱ABC－A′B′C′的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B′

－ABC的体积为( )

A. B.

C. D.

解析：选D.由题意，得V

′－

ABC

＝V

ABC

－

′

1133

＝×××1×1×3＝.

3224

6．如图所示，圆锥的高为h，圆锥内水面的高为h

，且h

＝h.若将圆锥倒置，水面高

为h

，则h

等于( )

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A.h

C.h

解析：选C.V

圆台

B.h

1119

＝·h[π(2r)

＋π2r

·π3r

＋π(3r)

]＝

πhr

.圆锥倒置时，水形成了

339

3rh

13rh

3πr

圆锥．设圆锥底面半径为x，则＝，于是x＝，则V

圆锥

＝

π(

＝

.所以

πhr

3rhh3hh9

3πr

＝

⇒h

＝h.

7．半径为r的球放置于倒置的等边圆锥容器内，再将水注入容器内到水与球面相切为

止，取出球后水面的高度是________．

解析：设球未取出时PC＝b，球取出后，水面高PH＝x，如图所示，因为AC＝3r，

PC＝3r，所以以AB为底面直径的圆锥形容器的容积V

圆锥

＝

πAC

·PC＝

π(3r)

·3r＝3πr

，

4111

球

＝

πr

.球取出后水面下降到EF，水的体积V

水

＝

πEH

·PH＝

π(PHtan30°)

·PH＝

πx

，

3339

而V

水

＝V

圆锥

－V

球

，即

πx

＝3πr

－

πr

.所以x＝15r.

故球取出后水面的高为15r.

答案：15r

8．正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14 cm

，则棱台的高为

________．

解析：

如图所示，设正四棱台AC′的上底面边长为2a，则斜高EE′和下底面边长分别为5a、

8a.高OO′＝5a

－4a－a

＝4a.

又∵×4a×(64a

＋4a

×64a

)＝14，

∴a＝，即高为2 cm.

答案：2 cm

9．(2010年高考湖北卷) 圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球

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的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是

________cm.

解析：设球的半径为r，则由3V

球

＋V

水

＝V

柱

，得6r·πr

＝8πr

＋3×

πr

，解得r＝4.

答案：4

10．圆台上底的面积为16π cm

，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么，圆台的侧

面积和体积各是多少？

解：

首先，圆台的上底的半径为4 cm，

于是S

圆台侧

＝π(r＋r′)l＝100π(cm

)．

其次，如图，圆台的高h＝BC

＝BD

－OD－AB

＝10

－6－4

＝46(cm)，

所以V

圆台

＝h(S＋SS′＋S′)

＝×46×(16π＋16π×36π＋36π)

3046π

＝(cm

)．

11. 如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，

求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．

解：已知长方体可看成直四棱柱ADD′A′－BCC′B′，设它的底面ADD′A′的面

积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh，因为棱锥C－A′DD′的底面面积为，高是h，所

11 115

以棱锥C－A′DD′的体积V

－

′

＝××Sh＝Sh，余下的体积是Sh－Sh＝Sh.所以

32666

棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.

12．如图，三棱锥A－BCD的两条棱AB＝CD＝6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内

切球的体积．

第30页共122页

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解：

如图，取CD的中点E，连接AE，BE.

∵AC＝AD，BC＝BD，

∴CD⊥AE，CD⊥BE，

∴CE和DE是三棱锥C－ABE和D－ABE的高．

∵AD＝5，DE＝3，

∴AE＝BE＝4，

∴S

△

ABE

＝37.

∴V

－

BCD

＝V

－

ABE

＋V

－

ABE

＝·S·CD＝67.

△

ABE

∵该三棱锥的四个面全等，面积均为12，设内切球半径为r，

∴V

－

BCD

＝(S

△

ABC

＋S

△

BCD

＋S

△

ACD

＋S

△

ABD

)·r

＝·48·r＝16r，

∴r＝7，

4637

∴V

球

＝

πr

＝

π.

3128

637

即三棱锥的内切球的体积为

π.

128

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1．下列命题：

①公理1可用集合符号叙述为：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则必有l∈α；

②四边形的两条对角线必相交于一点；

③用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四条边作为平面边界线；

④梯形是平面图形．

其中，正确的命题个数为( )

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选A.①中应为l⊂α；②中空间四边形对角线异面；③中平面没有界线．

2．空间中可以确定一个平面的条件是( )

A．两条直线 B．一点和一直线

C．一个三角形 D．三个点

答案：C

3．点M在直线a上，直线a在平面α内，可记为( )

A．M⊂a⊂α B．M∈a⊂α

C．M∈a∈α D．M⊂a∈α

答案：B

4．空间两两相交的三条直线，可以确定的平面的个数是________．

答案：1个或3个

5．假设一块木板斜立在地面上，当用一根木棒在后面撑住时，能使板面固定，这个道

理是________．

答案：过直线和直线外一点有且只有一个平面

1．如图，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，且C∉l，则平面ABC

与平面β的交线是( )

A．直线AC

B．直线BC

C．直线AB

D．直线CD

解析：选D.由题意知平面ABC与平面β有公共点C，根据基本性质3，这两平面必定

相交，有且只有一条经过点C的交线．由于两点确定一条直线，所以只要再找到两平面的

另一个公共点即可．显然点D在直线AB上，从而它在平面ABC内；而D在直线l上，所

以它又在平面β内，这样D也是平面ABC与平面β的公共点．因此平面ABC与平面β的交

线是直线CD.

2．如图所示，AA

是长方体的一条棱，这个长方体中与AA

异面的棱共有( )

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A．3条

B．4条

C．5条

D．6条

解析：选B.依据异面直线的判定定理找与AA

异面的棱．∵AA

在面A

ABB

内，B

在

面A

ABB

内，C

不在面A

ABB

内，∴C

是与AA

异面的棱．同理，BC，CD，C

都

是与AA

异面的棱，故正确答案为B.

3．如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直

线PQ与RS是异面直线的是( )

解析：选C.选项A、B中RS与PQ平行；选项D中RS与PQ的延长线相交，选项C

中的PQ与下底面平行，它与下底面中的RS不平行，不相交．

4．空间三条不重合的直线a、b、c能确定的平面的个数是( )

A．0,1或2 B．0,2或3

C．1,2或3 D．0,1,2或3

解析：选D.若a、b、c两两异面，不能确定平面，为0个；若三线共面，为1个；若

其中两条是异面直线，第3条与它们都相交，确定2个平面；若两两平行不共面，或三线交

于一点且不共面，则确定3个平面．

5．下列四种叙述：

①空间四点共面，则其中必有三点共线；

②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；

③空间四点中有三点共线，则此四点必共面；

④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．

其中正确说法的序号是( )

A．②③④ B．②③

C．①②③ D．①③

解析：选B.四棱柱中每个面都有四个点，但这四个点中没有三点是共线的，所以①错；

对于④，三点不共线但四点可以共面．

6．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( )

A．5部分 B．6部分

C．7部分 D．8部分

解析：选C.作出这三个平面的截面，如图所示，把空间分为7部分，本题考查了学生

的空间想象能力．顺利作出截面是解决本题的关键，其中l

，l

是截线．

7．已知点A，直线a，平面α.

①A∈a，a∈α⇒A∈α；②A∉a，a⊂α⇒A∉α；③A∈a，a⊂α⇒A⊂α.

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以上命题正确的个数为________．

解析：①中“a∈α”符号不对；②中A可以在α内，也可以在α外，故不正确；③中

“A⊂α”符号不对．

答案：0

8．空间2条直线，最多确定1个平面，空间3条直线最多确定3个平面，空间4条直

线最多确定________个平面„„空间n条直线，最多确定________个平面．

2×13×24×3

解析：2条直线最多确定1＝个平面；3条最多确定3＝个；4条最多确定

222

nn－1

＝6个；„；猜想n条最多确定个平面．

nn－1

答案：6

9．如图是正方体或正四面体，其中P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点共

面的图形是________．

解析：题图①，③中的PS∥QR，所以P，Q，R，S共面，而题图②，④中的PS与QR

是异面直线，所以这四个点不共面．

答案：①③

10．用符号表示下列语句，并画出图形．

(1)点A在直线l上，点B不在直线l上；

(2)直线l在平面α内，直线m与平面α有且只有一个公共点M；

(3)平面α与平面β相交于过点A的直线l.

解：(1)符号：A∈l，B∉l，如图①所示．

(2)符号：l⊂α，m∩α＝M，如图②所示．

(3)符号：α∩β＝l，A∈l，如图③所示．

11. 如图所示，已知直线a与b不共面，直线c∩a＝M，直线b∩c＝N.又a∩平面α＝A，

b∩平面α＝B，c∩平面α＝C，求证A，B，C三点不共线．

证明：假设A，B，C三点共线，设都在直线l上．

∵A，B，C∈α，∴l⊂α，c∩l＝C，

∴c与l可确定一个平面β.

∵c∩a＝M，∴M∈β.又A∈β，

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∴a⊂β，同理可证b⊂β.

∴直线a，b共面，

这与已知a与b不共面矛盾，

∴A，B，C三点不共线．

12．求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．

已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C.求证：直线AB、BC、AC共面．

证明：法一：∵AC∩AB＝A，

∴直线AB、AC确定一个平面α.

∵B∈AB，C∈AC，∴B∈α，C∈α.

故BC⊂α.

因此直线AB、BC、CA都在平面α内，

∴AB、BC、AC共面．

法二：∵A、B、C三点不在一条直线上，

∴过A、B、C三点可以确定平面α.

∵A∈α，B∈α，∴AB⊂α，

同理，BC⊂α，AC⊂α，

∴AB、BC、AC共面．

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1．设直线l⊄平面α，则过l作平面β，使β∥α，这样的β( )

A．只能作一个 B．至多可作一个

C．不存在 D．至少可作一个

解析：选B.当l与平面α相交时，平面β不存在，当l∥α时，可作一个平面．

2．两个平面平行的条件是( )

A．一个平面内一条直线平行于另一个平面

B．一个平面内两条直线平行于另一个平面

C．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面

D．两个平面都平行于同一条直线

答案：C

3．若三条直线，a，b，c满足a∥b∥c，且a⊂α，b⊂β，c⊂β，则两个平面α、β的位

置关系是( )

A．平行 B．相交

C．平行或相交 D．不能确定

答案：C

4．平面α∥平面β，直线a⊂α，则直线a和平面β的位置关系是________．

答案：a∥β

5．过正方体ABCD－A

的三顶点A

、C

、B的平面与底面ABCD所在平面的交

线为l，则l与A

的位置关系是________．

解析：∵平面ABCD∥平面A

，

平面ABCD∩平面A

B＝l，

平面A

∩平面A

B＝A

，

∴l∥A

(面面平行的性质定理)．

答案：平行

1．已知m、n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，有下列命题，其中正确的命题

的个数是( )

①若m⊂α，n∥α，则m∥n

②若m∥α，m∥β，则α∥β

③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α，m∥β

A．0 B．1

C．2 D．3

解析：选A.①不正确，n∥α，过n作平面β与α相交，n与其交线平行，m⊂α，m不

一定与其交线平行；

②不正确，设α∩β＝l，m∥l，也可有m∥α，且m∥β；

③不正确，有m⊂α或m⊂β的可能．

2．已知m、n表示两条直线，α、β、γ表示三个平面，则下列命题中正确的个数是( )

①若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β；

②若m、n相交且都在平面α、β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；

③若m∥α，m∥β，则α∥β；

④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选A.①错，可考虑三棱柱模型，三棱柱的三个侧面中任意两个与第三个侧面相

交，两条交线即侧棱相互平行，但这两个侧面不平行；②正确，由判定定理可知，由m、n

两条相交直线所确定的平面既与α平行，也与β平行，因而α∥β；③错；④错．故选A.

3．在正方体ABCD－A

中，下列四对截面中彼此平行的一对截面是( )

A．A

和ACD

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B．BDC

和B

C．B

D和BDA

D．ADC

和AD

解析：选A.由A

B∥D

C，A

∥AC，可得平面A

∥平面ACD

4．若命题“如果平面α内有三点到平面β的距离相等，那么α∥β”是正确的，则这三

点必须满足的条件是( )

A．这三点不共线

B．这三点不共线且在β的同侧

C．这三点不在β的同侧

D．这三点不共线且在β的异侧

答案：B

5．若平面α∥平面β，直线a∥α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )

A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．存在唯一一条与a平行的直线

解析：选A.若a在β内且B在a上，则不存在直线与a平行．

6．若不共线的三点到平面α的距离相等，则该三点确定的平面β与α之间的关系为( )

A．平行 B．相交

C．平行或相交 D．无法确定

解析：选C.若三点在平面α的同侧，则三点确定的平面与已知平面平行，若三点分别

在α的异侧时，则三点确定的平面与已知平面相交．

7．α、β、γ是三个两两平行的平面，且α与β之间的距离是3，α与γ之间的距离是4，

则β与γ之间的距离是________．

解析：β与γ位于α的两侧时，β与γ间的距离等于7；β与γ位于α同侧时，β与γ间

的距离等于1.

答案：1或7

8．几何体ABCD－A

是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A

、B

的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P、M、N三点的平面交上底面于PQ，

Q在CD上，则PQ等于________．

解析：取CD上一点Q，使CQ＝，又由AP＝，∴PQ∥AC.而由正方体的性质知：AC

∥A

，M、N分别为A

、B

的中点，∴MN∥A

，∴MN∥AC，∴MN∥PQ，

∴面MNPQ为过点P、M、N的平面，

a22

在△DAC中，AP＝CQ＝，∴PQ＝2DQ＝a.

答案：a

9. 如图所示，α∥β，P为α，β外一点，且直线PAB，PCD分别与α，β相交于A，B，

C，D，若PA＝2，AB＝1，AC＝，则BD＝________.

PAAC

解析：∵α∥β，∴AC∥BD，∴＝，

PBBD

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×3

AC·PB

∴BD＝＝＝.

PA24

答案：

10. 如图，A、B、C为不在同一直线上的三点，AA

綊BB

，CC

綊BB

，求证：平面

ABC∥平面A

证明：∵AA

綊BB

，

∴四边形ABB

是平行四边形．

∴A

∥AB.

∴A

∥平面ABC.

同理可证B

∥平面ABC.

又A

⊂平面A

，B

⊂平面A

，A

∩B

＝B

，

∴平面ABC∥平面A

11．如图，已知长方体ABCD－A

，求证：平面A

BD∥平面CB

证明：在长方体

ABCD－A

中，

∵A

B∥D

C，

C⊂平面CB

，

∴A

B∥平面CB

，

同理可证A

D∥平面CB

，

又∵A

B⊂平面A

BD，A

D⊂平面A

BD，

B∩A

D＝A

，

∴平面A

BD∥平面CB

12. 如图，在长方体ABCD－A

中，AD＝AA

＝3，AB＝6，E、F分别为AB和

D的中点．

求证：AF∥平面A

EC.

证明：如图，在长方体AC

中，取A

C的中点O，连接OF、OE.在△A

CD中，因为F、

O分别是

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D、A

C中点，所以FO∥DC，且FO＝DC，则FO∥AE.又因为E是AB中点，且

AB＝DC.所以FO＝AE.故四边形AEOF是平行四边形，则AF∥OE.又OE⊂平面A

EC，AF⊄

平面A

EC，于是AF∥平面A

EC.

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1．如果两条直线a和b没有公共点，那a和b( )

A．共面 B．平行

C．异面 D．平行或异面

答案：D

2．能得出直线a与平面α平行的条件是( )

A．a⊄α，b⊂α，a∥b

B．b⊂α，a∥b

C．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c

D．b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BD

答案：A

3．在空间中，下列说法正确的个数为( )

①有两组对边相等的四边形是平行四边形；②四边相等的四边形是菱形；③平行于同一

直线的两直线平行；④有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选B.有两组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可能是空间四边形，故①

不对，同理，②也可能是空间四边形，只有③④正确．

4．过平面外一点可以作________条直线与已知平面平行．

答案：无数

5．两直线a∥b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．

答案：b∥α或b⊂α

1．直线a∥平面α，平面α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的

( )

A．至少有一条 B．至多有一条

C．有且只有一条 D．不可能有

答案：B

2．a，b是两条异面直线，P是空间一点，过P作平面与a，b都平行，这样的平面( )

A．只有一个 B．至多有两个

C．不一定有 D．有无数个

答案：C

3．一条直线和两条异面直线的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )

A．平行 B．相交

C．异面 D．相交或异面

答案：D

4．对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是( )

A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥α

B．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交

C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n

D．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n

解析：选C.如果m⊂α，n∥α，m、n共面，根据线面平行的性质定理，则m∥n，故选

项C正确．在选项A中，n与α可能相交，在选项B中，n与α可能异面．在选项D中，m

与n可能相交．

5．已知m、n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β＝l，则l( )

A．与m、n都相交

B．与m、n中至少一条相交

C．与m、n都不相交

D．至多与m、n中的一条相交

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解析：选B.从反面考虑，若l与m、n均不相交，从而l∥m，l∥n，则m∥n，与已知m、

n异面矛盾，则l与m、n中至少一条相交．

6．过平行六面体ABCD－A

任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB

平

行的直线共有( )

A．4条 B．6条

C．8条 D．12条

答案：D

7．下列说法中正确的是________．

①一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；

②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；

③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；

④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．

解析：由线面平行的性质定理知①④正确；由直线与平面平行的定义知②正确．因为经

过直线外一点可作一条直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面．故③错误．

答案：①②④

8．如右图在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，则四面体的四

个面中与MN平行的是________．

解析：连接DM并延长交AC于E点，E为AC中点．

连接DN并延长交BC于F点，F为BC中点．

DMDN

∴＝，

MENF

∴MN∥EF，

∴MN∥平面ABC，同理MN∥平面ABD.

答案：平面ABC，平面ABD

9. 如图所示，直线a∥平面α，点B、C、D∈a，点A与a在α的异侧．线段AB、AC、

AD交α于点E、F、G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG等于________．

解析：∵a∥α，EG＝α∩平面ABD，

∴a∥EG，又点B、C、D∈α，

∴BD∥EG.

EFFGAF

EF＋FG

EGAF

∴＝＝＝＝＝，

BCCDAC

BC＋CD

AF＋FC

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AF·BD

5×4

＝＝.

AF＋FC5＋4

答案：

10. 在正方体ABCD－A

中，AE＝A

，AF＝A

，P∈E

，如图．

(1)过P作一条直线与棱CD平行，说明怎样作这条直线；

(2)求证：EF綊E

∴EG＝

解：如图．(1)在平面A

内过点P作直线l∥C

∵C

∥CD，∴l∥CD，

即l为所要求作的直线．

(2)证明：连接EF、FF

、EE

，

∵AE綊A

，

∴四边形AEE

为平行四边形．

∴A

A綊E

E，同理A

A綊F

∴E

E綊F

∴四边形EFF

为平行四边形，∴EF綊E

11. 如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中

点．求证：AM∥平面BDE.

证明：设AC与BD的交点为O，连接OE.

∵O、M分别是AC、EF的中点，四边形ACEF是矩形，

∴四边形AOEM是平行四边形．

∴AM∥OE.

又∵OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，

∴AM∥平面BDE.

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12．有一块木料如图所示，已知棱BC平行于面A′C′，要经过木料表面A′B′C′D′

内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？所画的线和面AC有什么关系？

解：(1)∵BC∥平面A′B′C′D′，面BC′经过BC和平面A′B′C′D′交于

B′C′，∴BC∥B′C′.

如图，在面A′C′过P作线段EF∥B′C′，依基本性质4知EF∥BC，

∴EF⊂平面BF，BC⊂平面BF.

连接BE和CF，则BE、CF、EF就是所要画的线．

(2)∵EF∥BC，依线面平行性质定理，则EF∥平面AC，EF与平面AC平行，BE、CF

显然和平面AC相交．

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1．对于直线m、n和平面α、β，能得出α⊥β的一个条件是( )

A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂α

C．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β

解析：选C.

m∥n







⇒m⊥β



n⊥β



⇒α⊥β.

m⊂α







2．若两个平面α与β垂直，在第一个平面α内的一条直线a垂直于第二个平面β内的

一条直线b，则( )

A．a⊥β

B．b⊥α

C．a不一定垂直于β

D．过a的平面必垂直于过b的平面

答案：C

3．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面有( )

A．1个 B．2个

C．无数个 D．不存在

答案：C

4．在正方体ABCD－A

中，平面ACD

与平面BB

D的位置关系是________．

解析：如图所示，

AC⊥BD







⇒AC⊥平面BB



AC⊥BB



⇒平面AD

C⊥平面BB

AC⊂平面AD







答案：垂直

5．如图，已知PA垂直于圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则图中

面面垂直的共有________对．

答案：3

1．不同直线m、n和不同平面α、β，给出下列命题，其中假命题有( )

α∥β



m∥n







⇒m∥β ②



⇒n∥β ①



m⊂α



m∥β



m⊂α



α⊥β







⇒m⊥β ③⇒m，n异面 ④



n⊂β



m∥α



A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

解析：选D.命题①正确，面面平行的性质；命题②不正确，也可能n⊂β；命题③不正

确，如果m、n有一条是α、β的交线，则m、n共面；命题④不正确，m与β的关系不确定．

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2．在空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断

正确的是( )

A．平面ABD⊥平面BDC B．平面ABC⊥平面ABD

C．平面ABC⊥平面ADC D．平面ABC⊥平面BED

解析：选D.如图所示，连接BE、DE.

BE⊥AC







⇒AC⊥平面BDE



DE⊥AC



⇒平面ABC⊥平面BDE.

AC⊂平面ABC







3．下列命题正确的是( )

①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②如果一条直线和两个垂直平面

中的一个垂直，它必和另一个平面平行 ③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知

平面垂直 ④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个

平面内

A．①③ B．②③

C．②③④ D．④

解析：选D.过平面外一点可作一条直线与平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已

知平面垂直，所以①不对；若α⊥β，a⊥α，则a⊂β或a∥β，所以②不对；当平面外的直线

是平面的垂线时，能作无数个平面与已知平面垂直，否则只能作一个，所以③也不对．

4．下列关于直线l，m与平面α，β的命题中，是真命题的为( )

A．若l⊂β且α⊥β，则l⊥α

B．若l⊥β且α∥β，且l⊥α

C．若l⊥β且α⊥β，则l∥α

D．若α∩β＝m且l∥m，则l∥α

解析：选B.由题意知C，D选项中均有l⊂α的可能；A选项中l⊂β，如果l与α，β的

交线垂直，则有l⊥α，故A选项不正确．

5．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中

不成立的是( )

A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面ABC

D．平面PAE⊥平面ABC

解析：选C.可画出对应图形(图略)，

则BC∥DF，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，

∴BC∥平面PDF，故A成立；

由AE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，

∴DF⊥平面PAE，故B成立；

又DF⊂平面ABC，

∴平面ABC⊥平面PAE，故D成立．

6．设平面α⊥平面β，且α∩β＝l，直线a⊂α，直线b⊂β，且a不与l垂直，b不与l

垂直，那么a与b( )

A．可能垂直，不可能平行

B．可能平行，不可能垂直

C．可能垂直，也可能平行

D．不可能垂直，也不可能平行

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高中数学人教B版必修2同步练习

解析：选B.若a∥l，b∥l，则a∥b ，但a与b不可能垂直．

7．将直角三角形ABC沿斜边上的高CD折成互相垂直的两个平面ACD和BCD，所得

图形中互相垂直的平面共有________对．

解析：平面ADC⊥平面BDC.

平面ADC⊥平面ADB.

平面BCD⊥平面ADB.

答案：3

8．三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O，且点P到三个平面的距离分别为3、4、

5，则OP的长为________．

答案：52

9．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：

①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；

②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；

③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直．

上面命题中，真命题的序号是是________．

解析：

①由面面平行的判定定理可得，该命题正确．

②由线面平行的判定定理可得，该命题正确．

③如图(举反例)，a⊂α，α∩β＝l，a⊥l，但α与β不垂直．

答案：①，②

10．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，

E、F分别是AP、AD的中点，求证：

(1)直线EF∥平面PCD；

(2)平面BEF⊥平面PAD.

证明：(1)因为E、F分别是AP、AD的中点，∴EF∥PD，

又∵P，D∈面PCD，E，F∉面PCD，

∴直线EF∥平面PCD.

(2)∵AB＝AD，∠BAD＝60°，F是AD的中点，

∴BF⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，

∴BF⊥面PAD，∴平面BEF⊥平面PAD.

11. 如图，立体图形P－ABCD的侧面PAD是正三角形，且垂直于底面，底面ABCD是

矩形，E是PD的中点，求证：平面ACE⊥平面PCD.

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证明：∵△PAD为正三角形，E为PD的中点，∴AE⊥PD.

又∵平面PAD⊥平面AC，平面PAD与平面ABCD交于AD，DC⊥AD，

∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥AE.

∴AE⊥平面PCD.

又∵AE⊂平面ACE，

∴平面ACE⊥平面PCD.

12．等边三角形ABC的边长为a，沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平

面PBCQ，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为d.x为何值时，d

取得最小值，最小值

是多少？

解：下图(1)为折叠前对照图，下图(2)为折叠后空间图形．

∵平面APQ⊥平面PBCQ，

又∵AR⊥PQ，

∴AR⊥平面PBCQ，∴AR⊥RB.

在Rt△BRD中，







＝BD

＋RD

＝







＋



a－x



，

＝x

故d

＝BR

＋AR

＝2x

－3ax＋a

＝2(x－a)

＋a



0＜x＜a



，





∴当x＝a时，d

取得最小值a

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高中数学人教B版必修2同步练习

人教B版必修2同步练习

1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是

( )

A．平行 B．垂直

C．相交不垂直 D．不确定

解析：选B.一条直线垂直于三角形的两条边，那么这条直线必垂直于这个三角形所在

的平面，因而必与第三边垂直．

2．在一个平面内，和这个平面的一条斜线垂直的直线有( )

A．无数条 B．0条

C．1条 D．2条

答案：A

3．(2011年高考四川卷)l

，l

是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )

A．l

⊥l

，l

⊥l

⇒l

∥l

B．l

⊥l

，l

∥l

⇒l

⊥l

C．l

∥l

⇒l

，l

共面

D．l

，l

共点⇒l

，l

共面

解析：选B.A答案还有异面或者相交，C、D不一定．

4．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD一定

是________．

解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.

又∵PC⊥BD，PA∩PC＝P，

∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，

∴平行四边形ABCD一定是菱形．

答案：菱形

5．点P是等腰三角形ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，PA＝8，在△ABC中，

AB＝AC＝5，BC＝6，则点P到BC的距离是________．

答案：45

1．在正方体ABCD－A

中，与AD

垂直的平面是( )

A．平面DD

C B．平面A

C．平面A

D．平面A

解析：选B.由直线与平面垂直的判定定理可以证明与AD

垂直的平面是平面A

2．已知直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系为( )

A．a⊥b，且a与b相交 B．a⊥b，且a与b不相交

C．a⊥b D．a与b不一定垂直

解析：选C.过b作平面β，β∩α＝b′，则b∥b′，

∵a⊥平面α，∴a⊥b′，∴a⊥b.

3．PO垂直于△ABC所在平面α，垂足为O，若点P到△ABC的三边的距离相等，且

点O在△ABC内部，则点O是△ABC的( )

A．重心 B．垂心

C．外心 D．内心

解析：选D.如图所示，∵PO⊥平面ABC，

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高中数学人教B版必修2同步练习

∴PO⊥AB.

又∵PD⊥AB，PO∩PD＝P，

∴AB⊥平面POD，

∴AB⊥OD.

同理，OE⊥BC，OF⊥AC.

又∵PD＝PE＝PF，∴OD＝OE＝OF.

∴O为△ABC的内心．

4．如图(1)所示，在正方形SG

中，E，F分别是G

及G

的中点，D是EF的

中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G

，G

三点重合，重合

后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体S－EFG中必有( )

A．SG⊥△EFG所在平面

B．SD⊥△EFG所在平面

C．GF⊥△SEF所在平面

D．GD⊥△SEF所在平面

解析：选A.∵四边形SG

是正方形，∴SG

⊥G

E，EG

⊥G

F，FG

⊥SG

.当正方

形折成四面体之后，上述三个垂直关系仍保持不变，EG，GF成为四面体的面EGF的相邻

两条边．因此，在四面体S－EFG中侧棱SG⊥GE，SG⊥GF，∴SG⊥平面EFG.

5．设a、b是异面直线，下列命题正确的是( )

A．过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交

B．过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直

C．过a一定可以作一个平面与b垂直

D．过a一定可以作一个平面与b平行

解析：选D.过a上一点作直线b′使b′∥b.则a与b′确定的平面与直线b平行．

6．一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况中：①三角形的两条边；②梯形的两条

边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．不能保证该直线与平面垂直的是( )

A．①③ B．②

C．②④ D．①②④

解析：选C.②④中不能确定两条边是否相交，故不能保证该直线与平面垂直．

7. 如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥平面⊙O，C为圆周上一点，AB＝5 cm，AC＝2 cm，

则B到平面PAC的距离为________．

解析：连接BC.

∵C为圆周上的一点，AB为直径，∴BC⊥AC.

又∵PA⊥平面⊙O，BC⊂平面⊙O，

∴PA⊥BC，又∵PA∩AC＝A，

∴BC⊥平面PAC，C为垂足，

∴BC即为B到平面PAC的距离．

在Rt△ABC中，

BC＝AB

－AC

＝5

－2

＝21(cm)．

答案：21 cm

8．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：

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高中数学人教B版必修2同步练习

①m∥n； ②α∥β； ③m⊥α； ④n⊥β.

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：

________.

答案：

m∥n





α∥β



⇒n⊥β

m⊥α





9．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在

一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数

是________．

解析：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；

而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交

线面对”，所以共有36个“正交线面对”．

答案：36

10．已知△ABC，AC＝BC＝1，AB＝2，又知△ABC所在平面外一点S，SA＝SB＝2，

SC＝5，点P是SC的中点，求点P到平面ABC的距离．

解：如图，连接PA、PB.

易知△SAC、△ACB是直角三角形，且SA⊥AC，BC⊥AC.

取AB、AC的中点E、F，连接PF、EF、PE，则EF∥BC，PF∥SA，

所以EF⊥AC，PF⊥AC.

因为PF∩EF＝F，所以AC⊥平面PEF.

因为PE⊂平面PEF，所以PE⊥AC，易证△SAC≌SBC，所以PA＝PB.

因为E为AB的中点，所以PE⊥AB.

因为AB∩AC＝A，所以PE⊥平面ABC.

所以PE的长就是点P到平面ABC的距离．

1512

在Rt△APE中，AP＝SC＝，AE＝AB＝，

2222

513

所以PE＝AP

－AE

＝－＝.

422

即点P到平面ABC的距离是.

11. 如图，已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC.

证明：过P作PO⊥平面ABC于O，连接OA、OB、OC.

∵BC⊂平面ABC，∴PO⊥BC.

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高中数学人教B版必修2同步练习

又∵PA⊥BC，PA∩PO＝P，

∴BC⊥平面PAO.

又∵OA⊂平面PAO，

∴BC⊥OA.

同理，可证AB⊥OC.

∴O是△ABC的垂心．∴OB⊥AC.

又∵PO⊥AC，OB∩PO＝O，∴AC⊥平面PBO.

又PB⊂平面PBO，∴PB⊥AC.

12．在△ABC中，∠BAC＝60°，P是△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC，∠APB＝

∠APC＝90°.

(1)求证：PB⊥面PAC；

(2)若H是△ABC的重心，求证：PH⊥面ABC.

证明：(1)如图，由题设易得AB＝AC，∵∠BAC＝60°，

∴△ABC为等边三角形，∴AB＝BC.

∵PA＝PB＝PC，

∴△PAB≌△PBC，

∴∠BPC＝∠APB＝90°，即PB⊥PC.

又PB⊥PA，∴PB⊥面PAC.

(2)取BC中点D，∵PB＝PC，∴PD⊥BC.

同理可得AD⊥BC，∴BC⊥面PAD.

∵AD是△ABC的边BC上的中线，

∴△ABC的重心H在AD上，

∴BC⊥PH，同理可得AB⊥PH.

又AB∩BC＝B，∴PH⊥面ABC.

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人教B版必修2第1章章末综合检测

(时间：120分钟；满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的)

1．下列命题中，正确的是( )

A．经过不同的三点有且只有一个平面

B．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线

C．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线

D．垂直于同一个平面的两个平面平行

解析：选C.A中，可能有无数个平面，B中，两条直线还可能平行，相交，D中，两个

平面可能相交．

2．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积及体积为

( )

A．24π cm

12π cm

B．15π cm

12π cm

C．24π cm

36π cm

D．以上都不正确

解析：选A.由三视图知该几何体为一个圆锥，其底面半径为3 cm，母线长为5 cm，高

为4 cm，求表面积时不要漏掉底面积．

3．若正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高与底面边长之比为( )

A．1∶2 B．2∶1

C．1∶2 D.2∶1

2,32,

解析：选C.设正四棱锥底边长为a，则斜高为

∴高与底边长之比为

a，高h＝



a－a＝a

222

a∶a＝1∶2.

4．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)

是( )

A．30° B．45°

C．60° D．90°

解析：选C.本题主要考查圆锥侧面展开图的有关性质及侧面展开图中心角公式．设圆

锥底面半径为r，母线长为l，依条件则有2πr＝πl，如图所示，∴＝，即∠ASO＝30°，

∴圆锥顶角为60°.

5．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是( )

A．2πR

πR

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高中数学人教B版必修2同步练习

解析：选B.如图所示，设圆柱底面半径为r，则其高为3R－3r，全面积S＝2πr

＋2πr(3R

3939

－3r)＝6πRr－4πr

＝－4π(r－R)

＋

πR

，故当r＝R时全面积有最大值

πR

4444

6．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不

成立的是( )

A．BC∥面PDF

B．DF⊥面PAE

C．面PDE⊥面ABC

D．面PAE⊥面ABC

解析：选C.因为BC∥DF，所以BC∥面PDF，即A正确；由中点有BC⊥PE，BC⊥

AE，所以BC⊥平面PAE，所以DF⊥平面PAE，即B正确；由BC⊥平面PAE可得平面PAE

⊥平面ABC，即D正确．

7．在纬度为α的纬线圈上有A，B两点，这两点间的纬线圈上的弧长为πRcosα，其中

R为地球半径，则这两点间的球面距离是( )



－α



－2α



R A.









C．(π－2α)R D．(π－α)R

解析：选C.由题意易求得球心角为π－2α，所以球面距离为(π－2α)R.

8．正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S

和S

则( )

A．S

＝2S

B．S

＝3S

C．S

＝4S

D．S

＝23S

解析：选B.不妨设正方体的棱长为1，则外接球直径为正方体的体对角线长为3，而

内切球直径为1，所以＝()

＝3，所以S

＝3S

9．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相

应的截面面积分别为S

、S

，则( )

A．S

B．S

C．S

D．S

解析：选A.设底面积为S，由截面性质可知．

S21

＝()

⇒S

＝S；

S21

＝⇒S

＝S；

( )＝⇒S

＝S.

可知S

，故选A.

10．平行六面体ABCD－A

的所有棱长都相等，且∠A

AB＝∠A

AD＝∠BAD＝

60°，则对角面B

BDD

是( )

A．平行四边形 B．菱形

C．矩形 D．正方形

解析：选

在面ABCD内的射影在底面的一条对角线上，∵AC⊥BD，

∴AA

⊥BD，∴BB

⊥BD.

又∵∠BAD＝60°，∴BD＝AB＝BB

，

∴B

BDD

是正方形．

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高中数学人教B版必修2同步练习

11．一个正四棱台(上、下底面是正方形，各侧面均为全等的等腰梯形)的上、下底面的

边长分别为a，b，高为h，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系正确的是( )

11111

A.＝＋ B.＝

habh

a＋b

111111

C.＝＋ D.＝＋

abhbah

b－a

a＋b

解析：选A.S

侧

＝4×h

＋×＝a＋b

，

b－a

即4[h

＋()]·(a＋b)

＝(a

＋b

)

，

化简得h(a＋b)＝ab，

111

∴＝＋.

hab

12. 如图所示，三棱锥P－ABC的高PO＝8，AC＝BC＝3，∠ACB＝30°，M、N分别在

BC和PO上，且CM＝x，PN＝2x(x∈[0,3])，下列四个图象大致描绘了三棱锥N－AMC的

体积V与x的变化关系，其中正确的是( )

1111

解析：选A.V＝S

△

AMC

·NO＝(×3x×sin30°)·(8－2x)＝－(x－2)

＋2，x∈[0,3]，故选

3322

二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上)

13．若一个底面边长为，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此

球的体积为________．

解析：球的直径等于正六棱柱的体对角线的长．设球的半径为R，由已知可得2R＝

4π

×2

＋6

＝23，R＝3.所以球的体积为

πR

＝×(3)

＝43π.

233

答案：43π

14．一根细金属丝下端挂着一个半径为1 cm的金属球，将它浸没在底面半径为2 cm的

圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球全部被提出水面时，容器内的水面下

降的高度是________cm.

4π

解析：由题意知，金属球的体积等于下降的水的体积，设水面下降h cm，则有＝

π×2

×h，解得h＝.

答案：



第54页共122页

高中数学人教B版必修2同步练习

15．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z叫做x、y、z关于等量关系具有传递性，那么空间

三直线a、b、c关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系具有传递性的是________．

答案：平行

16．点M是线段AB的中点，若点A、B到平面α的距离分别为4 cm和6 cm，则点M

到平面α的距离为________．

解析：(1)如图(1)，当点A、B在平面α的同侧时，分别过点A、B、M作平面α的垂线

AA′、BB′、MH，垂足分别为A′、B′、H，则线段AA′、BB′、MH的长分别为点A、

AA′＋BB′4＋6

B、M到平面α的距离．由题设知AA′＝4 cm，BB′＝6 cm.因此MH＝＝

＝5(cm)．

(2)如图(2)，当点A、B在平面α的异侧时，设AB交平面α于点O，

∵AA′∶BB′＝4∶6，∴AO∶OB＝4∶6.

又∵M为AB的中点，

∴MH∶AA′＝1∶4，

即MH＝1(cm)．

故点M到平面α的距离为5 cm或1 cm.

答案：5 cm或1 cm

三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．已知正方体ABCD－A

中，E，F分别为D

，C

的中点，AC∩BD＝P，

∩EF＝Q.求证：

(1)D，B，E，F四点共面；

(2)若A

C交平面BDEF于R点，则P，Q，R三点共线．

证明：

如图所示．(1)连接B

.∵E，F分别为D

，C

的中点，∴EF∥B

，

又∵B

∥BD，

∴EF∥BD，

∴EF与BD共面，

∴E，F，B，D四点共面．

(2)∵AC∩BD＝P，

∴P∈平面AA

C∩平面BDEF.同理，Q∈平面AA

C∩平面BDEF.

∵A

C∩平面DBFE＝R，

∴R∈平面AA

C∩平面BDEF，

∴P，Q，R三点共线．

18．一球内切于圆锥，已知球和圆锥的底面半径分别为r，R，求圆锥的体积．

解：

第55页共122页

高中数学人教B版必修2同步练习

如图，设圆锥的高AD＝h，

AOOE

由△AOE∽△ACD，可得＝，

ACCD

h－r

r2rR

即

＝

，解得h＝

－r

，

h＋R

2πrR

所以圆锥的体积为V＝R·h＝

3R－r

19．在正方体ABCD－A

中，E、F分别是BB

、CD的中点，设AA

＝2，求三

棱锥F－A

的体积．

解：如图，连接AE，容易证明AE⊥D

又∵A

⊥AE，

∴AE⊥平面A

∵A

∥AD，A

∥平面ABCD，

设平面A

∩平面ABCD＝FG，

则A

∥FG且G为AB的中点，

∴AE⊥平面A

GFD

，AE⊥A

G，

设垂足为点H，则EH即为点E到平面A

的距离，

∵A

A＝2，∴AE＝5，AH＝，∴EH＝.

又∵S

△

＝S

▱

GFD

＝5，

∴V

－

AED

＝×5×＝1，

故三棱锥F－A

的体积为1.

20. 如图△ABC中，AC＝BC＝AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED

⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．

(1)求证：GF∥平面ABC；

(2)求证：平面EBC⊥平面ACD；

(3)求几何体ADEBC的体积V.

解：

第56页共122页

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(1)证明：如图，取BE的中点H，连接HF，GH.

∵G，F分别是EC和BD的中点，

∴HG∥BC，HF∥DE.

又∵四边形ADEB为正方形，

∴DE∥AB，从而HF∥AB.

∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC.

∴平面HGF∥平面ABC.

∴GF∥平面ABC.

(2)证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB.

又∵平面ABED⊥平面ABC，

∴BE⊥平面ABC.

∴BE⊥AC.

又∵CA

＋CB

＝AB

，∴AC⊥BC.

∴AC⊥平面BCE.

从而平面EBC⊥平面ACD.

(3)取AB的中点N，连接CN，∵AC＝BC，

∴CN⊥AB，且CN＝AB＝a.

又平面ABED⊥平面ABC，

∴CN⊥平面ABED.

∵C－ABED是四棱锥，

1111

∴V

－

ABED

＝S

ABED

·CN＝a

·a＝a

3326

21．如图是一个直三棱柱(以A

为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为ABC.

已知A

＝B

＝1，∠A

＝90°，AA

＝4，BB

＝2，CC

＝3.设点O是AB的中点，求

证：OC∥平面A

证明：作OD∥AA

交A

于点D，连接C

D，则OD∥BB

∥CC

因为O是AB的中点，所以OD

＝(AA

＋BB

)＝3＝CC

，

则四边形ODC

C是平行四边形，因此有OC∥C

D.因为C

D⊂平面C

且OC⊄平面

第57页共122页

高中数学人教B版必修2同步练习

，所以OC∥平面A

22．如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的

正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．

(1)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；

(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；

(3)在所给直观图中连接BC′，求证：BC′∥面EFG.

解：(1)如图所示．

(2)所求多面体体积

V＝V

长方体

－V

正三棱锥

11284

＝4×4×6－×(×2×2)×2＝(cm

)．

323

(3)证明：如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，

连接AD′，则AD′∥BC′.

因为E，G分别为AA′，A′D′的中点，

所以AD′∥EG，从而EG∥BC′.

又BC′⊄平面EFG，所以BC′∥面EFG.

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高中数学人教B版必修2同步练习

人教B版必修2同步练习

1．数轴上A、B、C的坐标分别为－7、2、3，则AB＋CA的值为( )

A．1 B．19

C．－1 D．－19

解析：选＋CA＝x

－x

＋x

－x

＝x

－x

＝2－3＝－1.

2．已知在数轴上画点，确定下列各组中，哪组的点M位于点N的右侧( )

A．M(－1)和N(2) B．M(－1)和N(－2)

C．M(1)和N(2) D．M(－2)和N(－1)

答案：B

3．对于数轴上任意三点A、B、O，在如下向量的坐标关系中，不恒成立的是( )

A．AB＝OB－OA B．AO＋OB＋BA＝0

C．AB＝AO＋OB D．AB＋AO＋BO＝0

答案：D

4．数轴上A、B两点间的距离是5，点A的坐标是1，则点B的坐标是________．

答案：6或－4

5．已知A(3)、B(－2)两点，则AB＝________，|AB|＝________.

解析：AB＝x

－x

＝－2－3＝－5，

|AB|＝|－2－3|＝5.

答案：－5 5

1．若在直线坐标系中，有两点A(5)，B(－2)，且AB＋CB＝0，则C点的坐标为( )

A．(－5) B．(－9)

C．(－3) D．(3)

解析：选B.设C(x)，则AB＝－7，CB＝－2－x.

∵AB＝BC，∴－7＝x＋2.∴x＝－9.

2．下列说法正确的个数为( )

①数轴上的向量的坐标一定是一个实数；②向量的坐标等于向量的长度；③向量AB与

向量BA的长度是一样的；④如果数轴上两个向量的坐标相等，那么这两个向量相等．

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选C.向量坐标的绝对值等于向量的长度，故②不正确．

|AB|

3．若数轴上两点A(8)，B(3)，则等于( )

|BA|

A. B.

C．1 D．－1

|AB|

解析：选C.∵|AB|＝|BA|，∴＝1.

|BA|

4．当数轴上的三点A、B、O不重合时，它们的位置关系有六种不同的情形，其中使

AB＝OB－OA和|AB|＝|OB|－|OA|同时成立的情况有( )

A．1种 B．2种

C．3种 D．4种

答案：B

5．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距1个单位，点A、B、C、D对应的

数分别是整数a，b，c，d，且d－2a＝10，那么数轴的原点应是( )

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→

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A．A点 B．B点

C．C点 D．D点

解析：选B.由题意知d－2a＝10，又因为d－a＝7，

∴a＝－3，∴B点为原点．

6．数轴上任取三个不同点P，Q，R，则一定为零值的是( )

A．PQ＋PR B．PQ＋RQ

C．PQ＋QR＋PR D．PQ＋QR＋RP

解析：选D.若几个向量的和为零，则一定存在相反方向的向量．A中为同向向量，和

不可能为零；B中无法判定方向是否相同；C中若P，Q，R自左至右也为同向，选D.

7．已知点M(2a＋1)在点N(3a)的左侧，则a的取值范围是________．

答案：a>1

8．数轴上的一点P(x)到点A(－8)的距离是它到点B(－4)距离的2倍，则x＝________.

解析：由题意可得|x＋8|＝2|x＋4|，解得x＝0或x＝－.

答案：0或－

111

9．a、b、c在数轴上的位置如图所示，则，，中最大的是________．

a－bc－ba－c

解析：由图知，a

1111111

∴<0，<0，>0，∴，，中最大的为.

a－ba－cc－ba－bc－ba－cc－b

答案：

c－b

10．已知数轴x上的点A、B、C的坐标分别为－1、3、5.

(1)求AB、BA、|AB|、BC、|AC|；

(2)若x轴上还有两点E、F，且AE＝8，CF＝－4，求点E、F的坐标．

解：(1)AB＝x

－x

＝3－(－1)＝4；

BA＝－AB＝－4；|AB|＝4；

BC＝x

－x

＝5－3＝2；

|AC|＝|x

－x

|＝|5－(－1)|＝6.

(2)设E、F点的坐标分别为x

，x

，

∵AE＝8，∴x

－x

＝8，x

＝8＋x

＝8－1＝7.

又∵CF＝－4，∴x

－x

＝－4，

∴x

＝－4＋x

＝－4＋5＝1.

∴E、F两点的坐标分别为7,1.

11．在数轴上，运用两点间距离的概念和计算公式，解方程|x＋3|＋|x－1|＝5.

解：∵－3到1的距离等于4，如图所示，到两个定点A(－3)和B(1)的距离之和等于5

的点为C(1.5)或C(－3.5)，

∴x＝－3.5或x＝1.5.

AC1

12．已知数轴上有点A(－2)，B(1)，D(3)，点C在直线AB上，且有＝，问在线段

BC2

dC，E

DC上是否存在点E，使＝？若存在，求出E点的坐标；若不存在，说明理由．

dE，D

解：存在点E.

x－－2

设C(x)，E(x′)，则＝＝，

BC2

x－1

即x＝－5，∴C(－5)．

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dC，E

＝，

dE，D

dC，E

x′－－5

则＝＝＝，

dE，D

3－x′

即4x′＋20＝3－x′，解得x′＝－∈(－5,3)．

∴在线段DC上存在符合条件的点E(－)，

dC，E

使＝.

dE，D

设线段DC上存在点E，使

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平面,直线,平行

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