2017年天津市中考数学试卷(含答案)

2024年4月16日发(作者：俄国数学试卷难吗知乎答案)

2017年天津市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）计算（﹣3）+5的结果等于（ ）

A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8

2．（3分）cos60°的值等于（ ）

A． B．1 C． D．

3．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看

作是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

4．（3分）据《天津日报》报道，天津市社会保障制度更加成熟完善，截止2017

年4月末，累计发放社会保障卡12630000张．将12630000用科学记数法表示为

（ ）

A．0.1263×10

8

B．1.263×10

7

C．12.63×10

6

D．126.3×10

5

5．（3分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）

A． B． C． D．

6．（3分）估计的值在（ ）

A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间

7．（3分）计算

A．1 B．a

的结果为（ ）

C．a+1 D．

8．（3分）方程组的解是（ ）

A． B． C． D．

9．（3分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好

落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（ ）

A．∠ABD=∠E B．∠CBE=∠C C．AD∥BC D．AD=BC

10．（3分）若点A（﹣1，y

1

），B（1，y

2

），C（3，y

3

）在反比例函数y=﹣的图

象上，则y

1

，y

2

，y

3

的大小关系是（ ）

A．y

1

＜y

2

＜y

3

B．y

2

＜y

3

＜y

1

C．y

3

＜y

2

＜y

1

D．y

2

＜y

1

＜y

3

11．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD

上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（ ）

A．BC B．CE C．AD D．AC

12．（3分）已知抛物线y=x

2

﹣4x+3与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），

顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后的对应点M\'落在x轴上，点B平移后

的对应点B\'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（ ）

A．y=x

2

+2x+1

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．（3分）计算x

7

÷x

4

的结果等于 ．

14．（3分）计算的结果等于 ．

B．y=x

2

+2x﹣1 C．y=x

2

﹣2x+1 D．y=x

2

﹣2x﹣1

15．（3分）不透明袋子中装有6个球，其中有5个红球、1个绿球，这些球除颜

色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ．

16．（3分）若正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，则

k的值可以是 （写出一个即可）．

17．（3分）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分

别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为 ．

18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点

上．

（1）AB的长等于 ；

（2）在△ABC的内部有一点P，满足S

△

PAB

：S

△

PBC

：S

△

PCA

=1：2：3，请在如图所

示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的

．．．

（不要求证明） ．

三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推

理过程）

19．（8分）解不等式组

请结合题意填空，完成本题的解答．

（1）解不等式①，得 ；

（2）解不等式②，得 ；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（4）原不等式组的解集为 ．

20．（8分）某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据跳水

运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，

解答下列问题：

（1）本次接受调查的跳水运动员人数为 ，图①中m的值为 ；

（2）求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数．

21．（10分）已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT=50°，BT交⊙O

于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．

（1）如图①，求∠T和∠CDB的大小；

（2）如图②，当BE=BC时，求∠CDO的大小．

22．（10分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向，距离灯塔120海里

的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的

B处，求BP和BA的长（结果取整数）．

参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，取1.414．

23．（10分）用A4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1

元．在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；

一次复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元．

设在同一家复印店一次复印文件的页数为x（x为非负整数）．

（1）根据题意，填写下表：

一次复印页数（页）

甲复印店收费（元）

乙复印店收费（元）

5

0.5

0.6

10

20

30

…

2

2.4

…

…

（2）设在甲复印店复印收费y

1

元，在乙复印店复印收费y

2

元，分别写出y

1

，y

2

关于x的函数关系式；

（3）当x＞70时，顾客在哪家复印店复印花费少？请说明理由．

24．（10分）将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点，

点B（0，1），点O（0，0）．P是边AB上的一点（点P不与点A，B重合），沿

着OP折叠该纸片，得点A的对应点A\'．

（1）如图①，当点A\'在第一象限，且满足A\'B⊥OB时，求点A\'的坐标；

（2）如图②，当P为AB中点时，求A\'B的长；

（3）当∠BPA\'=30

°

时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．

25．（10分）已知抛物线y=x

2

+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．

（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P\'．

①当点P\'落在该抛物线上时，求m的值；

②当点P\'落在第二象限内，P\'A

2

取得最小值时，求m的值．

2017年天津市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）（2017•天津）计算（﹣3）+5的结果等于（ ）

A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8

【分析】依据有理数的加法法则计算即可．

【解答】解：（﹣3）+5=5﹣3=2．

故选：A．

【点评】本题主要考查的是有理数的加法法则，掌握有理数的加法法则是解题的

关键．

2．（3分）（2017•天津）cos60°的值等于（ ）

A． B．1 C． D．

【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．

【解答】解：cos60°=，

故选：D．

【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．

3．（3分）（2017•天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉

字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A、不可以看作是轴对称图形，故本选项错误；

B、不可以看作是轴对称图形，故本选项错误；

C、可以看作是轴对称图形，故本选项正确；

D、不可以看作是轴对称图形，故本选项错误．

故选C．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形

两部分折叠后可重合．

4．（3分）（2017•天津）据《天津日报》报道，天津市社会保障制度更加成熟完

善，截止2017年4月末，累计发放社会保障卡12630000张．将12630000用科

学记数法表示为（ ）

A．0.1263×10

8

B．1.263×10

7

C．12.63×10

6

D．126.3×10

5

【分析】科学记数法的表示形式为a×10

n

的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确

定n的值是易错点，由于12630000有8位，所以可以确定n=8﹣1=7．

【解答】解：12630000=1.263×10

7

．

故选：B．

【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．

5．（3分）（2017•天津）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的

主视图是（ ）

A． B． C． D．

【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视

图中．

【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层中间有一个正方形．

故选D．

【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．

6．（3分）（2017•天津）估计的值在（ ）

A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间

【分析】利用二次根式的性质，得出

【解答】解：∵

∴6＜

∴

＜7，

的值在整数6和7之间．

＜＜，

＜＜，进而得出答案．

故选C．

【点评】此题主要考查了估计无理数的大小，得出

7．（3分）（2017•天津）计算

A．1 B．a C．a+1 D．

＜＜是解题关键．

的结果为（ ）

【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．

【解答】解：原式=

故选（A）

【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本

题属于基础题型．

8．（3分）（2017•天津）方程组

A． B． C． D．

的解是（ ）

=1，

【分析】利用代入法求解即可．

【解答】解：

①代入②得，3x+2x=15，

解得x=3，

将x=3代入①得，y=2×3=6，

所以，方程组的解是

故选D．

【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可

用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．

．

，

9．（3分）（2017•天津）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C

的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（ ）

A．∠ABD=∠E B．∠CBE=∠C C．AD∥BC D．AD=BC

【分析】由旋转的性质得到∠ABD=∠CBE=60°，AB=BD，推出△ABD是等边三角

形，得到∠DAB=∠CBE，于是得到结论．

【解答】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，

∴∠ABD=∠CBE=60°，AB=BD，

∴△ABD是等边三角形，

∴∠DAB=60°，

∴∠DAB=∠CBE，

∴AD∥BC，

故选C．

【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，熟

练掌握旋转的性质是解题的关键．

10．（3分）（2017•天津）若点A（﹣1，y

1

），B（1，y

2

），C（3，y

3

）在反比例函

数y=﹣的图象上，则y

1

，y

2

，y

3

的大小关系是（ ）

A．y

1

＜y

2

＜y

3

B．y

2

＜y

3

＜y

1

C．y

3

＜y

2

＜y

1

D．y

2

＜y

1

＜y

3

【分析】根据反比例函数的性质判断即可．

【解答】解：∵k=﹣3＜0，

∴在第四象限，y随x的增大而增大，

∴y

2

＜y

3

＜0，

∵y

1

＞0，

∴y

2

＜y

3

＜y

1

，

故选：B．

【点评】本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关

键．

11．（3分）（2017•天津）如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条

中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（ ）

A．BC B．CE C．AD D．AC

【分析】如图连接PC，只要证明PB=PC，即可推出PB+PE=PC+PE，由PE+PC≥CE，

推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度．

【解答】解：如图连接PC，

∵AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC，

∴PB=PC，

∴PB+PE=PC+PE，

∵PE+PC≥CE，

∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，

故选B．

【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的

性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

12．（3分）（2017•天津）已知抛物线y=x

2

﹣4x+3与x轴相交于点A，B（点A在

点B左侧），顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后的对应点M\'落在x轴上，

点B平移后的对应点B\'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（ ）

A．y=x

2

+2x+1 B．y=x

2

+2x﹣1 C．y=x

2

﹣2x+1 D．y=x

2

﹣2x﹣1

【分析】直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出A，B，

M点坐标，进而得出平移方向和距离，即可得出平移后解析式．

【解答】解：当y=0，则0=x

2

﹣4x+3，

（x﹣1）（x﹣3）=0，

解得：x

1

=1，x

2

=3，

∴A（1，0），B（3，0），

y=x

2

﹣4x+3

=（x﹣2）

2

﹣1，

∴M点坐标为：（2，﹣1），

∵平移该抛物线，使点M平移后的对应点M\'落在x轴上，点B平移后的对应点

B\'落在y轴上，

∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，

∴平移后的解析式为：y=（x+1）

2

=x

2

+2x+1．

故选：A．

【点评】此题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法以及二次函数的平移，正确得

出平移方向和距离是解题关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．（3分）（2017•天津）计算x

7

÷x

4

的结果等于 x

3

．

【分析】根据同底数幂的除法即可求出答案．

【解答】解：原式=x

3

，

故答案为：x

3

【点评】本题考查同底数幂的除法，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本

题属于基础题型．

14．（3分）（2017•天津）计算

【分析】根据平方差公式进行计算即可．

【解答】解：

=16﹣7

=9．

故答案为：9．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握平方差公式是解题的关键．

15．（3分）（2017•天津）不透明袋子中装有6个球，其中有5个红球、1个绿球，

这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是

．

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数

目；二者的比值就是其发生的概率．

【解答】解：∵共6个球，有5个红球，

∴从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率为．

故答案为：．

【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能

性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

16．（3分）（2017•天津）若正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、

四象限，则k的值可以是 ﹣2 （写出一个即可）．

【分析】据正比例函数的性质；当k＜0时，正比例函数y=kx的图象经过第二、

四象限，可确定k的取值范围，再根据k的范围选出答案即可．

【解答】解：∵若正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限，

的结果等于 9 ．

∴k＜0，

∴k的值可以是﹣2，

故答案为：﹣2（答案不唯一）．

【点评】本题主要考查了正比例函数的性质，关键是熟练掌握：在直线y=kx中，

当k＞0时，y随x的增大而增大，直线经过第一、三象限；当k＜0时，y随x

的增大而减小，直线经过第二、四象限．

17．（3分）（2017•天津）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和

1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为 ．

【分析】延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H，则PH是△OAE的中位线，

求得PH的长和HG的长，在Rt△PGH中利用勾股定理求解．

【解答】解：延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．

则PH∥AB．

∵P是AE的中点，

∴PH是△AOE的中位线，

∴PH=OA=（3﹣1）=1．

∵直角△AOE中，∠OAE=45°，

∴△AOE是等腰直角三角形，即OA=OE=2，

同理△PHE中，HE=PH=1．

∴HG=HE+EG=1+1=2．

∴在Rt△PHG中，PG=

故答案是：．

==．

【点评】本题考查了勾股定理和三角形的中位线定理，正确作出辅助线构造直角

三角形是关键．

18．（3分）（2017•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，

C均在格点上．

（1）AB的长等于 ；

（2）在△ABC的内部有一点P，满足S

△

PAB

：S

△

PBC

：S

△

PCA

=1：2：3，请在如图所

示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的

．．．

（不要求证明） 如图AC与网格相交，得到点D、E，取格点F，连接FB并且

延长，与网格相交，得到M，N．连接DN，EM，DN与EM相交于点P，点P即

为所求． ．

【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题；

（2）如图AC与网格相交，得到点D、E，取格点F，连接FB并且延长，与网格

相交，得到M，N，G．连接DN，EM，DG，DN与EM相交于点P，点P即为所

求．

【解答】解：（1）AB=

故答案为

=．

．

（2）如图AC与网格相交，得到点D、E，取格点F，连接FB并且延长，与网格

相交，得到M，N，G．连接DN，EM，DG，DN与EM相交于点P，点P即为所

求．

理由：平行四边形ABME的面积：平行四边形CDNB的面积：平行四边形DEMG

的面积=1：2：3，

△PAB的面积=平行四边形ABME的面积，△PBC的面积=平行四边形CDNB

的面积，△PAC的面积=△PNG的面积=△DGN的面积=平行四边形DEMG的

面积，

∴S

△

PAB

：S

△

PBC

：S

△

PCA

=1：2：3．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的

关键是利用数形结合的思想解决问题，求出△PAB，△PBC，△PAC的面积，属于

中考常考题型．

三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推

理过程）

19．（8分）（2017•天津）解不等式组

请结合题意填空，完成本题的解答．

（1）解不等式①，得 x≥1 ；

（2）解不等式②，得 x≤3 ；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（4）原不等式组的解集为 1≤x≤3 ．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据各不等式解集在数轴上的表示，由

公共部分即可确定不等式组的解集．

【解答】解：（1）解不等式①，得：x≥1；

（2）解不等式②，得：x≤3；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（4）原不等式组的解集为1≤x≤3，

故答案为：x≥1，x≤3，1≤x≤3．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，

熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此

题的关键．

20．（8分）（2017•天津）某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调

查，根据跳水运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图①和图②．请根

据相关信息，解答下列问题：

（1）本次接受调查的跳水运动员人数为 40人 ，图①中m的值为 30 ；

（2）求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数．

【分析】（1）频数÷所占百分比=样本容量，m=100﹣27.5﹣25﹣7.5﹣10=30；

（2）根据平均数、众数和中位数的定义求解即可．

【解答】解：（1）4÷10%=40（人），

m=100﹣27.5﹣25﹣7.5﹣10=30；

故答案为40人，30．

（2）平均数=（13×4+14×10+15×11+16×12+17×3）÷40=15，

16出现12次，次数最多，众数为16；

按大小顺序排列，中间两个数都为15，中位数为15．

【点评】本题考查了条形统计图，扇形统计图，掌握平均数、众数和中位数的定

义是解题的关键．

21．（10分）（2017•天津）已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT=50°，

BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．

（1）如图①，求∠T和∠CDB的大小；

（2）如图②，当BE=BC时，求∠CDO的大小．

【分析】（1）根据切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，得∠TAB=90°，

根据三角形内角和得∠T的度数，由直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周

角相等得∠CDB的度数；

（2）如图②，连接AD，根据等边对等角得：∠BCE=∠BEC=65°，利用同圆的半

径相等知：OA=OD，同理∠ODA=∠OAD=65°，由此可得结论．

【解答】解：（1）如图①，∵连接AC，

∵AT是⊙O切线，AB是⊙O的直径，

∴AT⊥AB，即∠TAB=90°，

∵∠ABT=50°，

∴∠T=90°﹣∠ABT=40°，

由AB是⊙O的直径，得∠ACB=90°，

∴∠CAB=90°﹣∠ABC=40°，

∴∠CDB=∠CAB=40°；

（2）如图②，连接AD，

在△BCE中，BE=BC，∠EBC=50°，

∴∠BCE=∠BEC=65°，

∴∠BAD=∠BCD=65°，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD=65°，

∵∠ADC=∠ABC=50°，

∴∠CDO=∠ODA﹣∠ADC=65°﹣50°=15°．

【点评】本题考查了圆的切线、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角

和，熟练掌握切线的性质是关键，注意运用同弧所对的圆周角相等．

22．（10分）（2017•天津）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向，距离

灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏

东45°方向上的B处，求BP和BA的长（结果取整数）．

参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，取1.414．

【分析】如图作PC⊥AB于C．分别在Rt△APC，Rt△PCB中求解即可解决问题．

【解答】解：如图作PC⊥AB于C．

由题意∠A=64°，∠B=45°，PA=120，

在Rt△APC中，sinA=，cosA=，

∴PC=PA•sinA=120•sin64°，

AC=PA•cosA=120•cos64°，

在Rt△PCB中，∵∠B=45°，

∴PC=BC，

∴PB==≈153．

∴AB=AC+BC=120•cos64°+120•sin64°

≈120×0.90+120×0.44

≈161．

答：BP的长为153海里和BA的长为161海里．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问

题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．

23．（10分）（2017•天津）用A4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，

每页收费0.1元．在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20时，每

页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元．

设在同一家复印店一次复印文件的页数为x（x为非负整数）．

（1）根据题意，填写下表：

一次复印页数（页）

甲复印店收费（元）

乙复印店收费（元）

5

0.5

0.6

10

1

20

2

30

3

3.3

…

…

…

1.2

2.4

（2）设在甲复印店复印收费y

1

元，在乙复印店复印收费y

2

元，分别写出y

1

，y

2

关于x的函数关系式；

（3）当x＞70时，顾客在哪家复印店复印花费少？请说明理由．

【分析】（1）根据收费标准，列代数式求得即可；

（2）根据收费等于每页收费乘以页数即可求得y

1

=0.1x（x≥0）；当一次复印页

数不超过20时，根据收费等于每页收费乘以页数即可求得y

2

=0.12x，当一次复

印页数超过20时，根据题意求得y

2

=0.09x+0.6；

（3）设y=y

1

﹣y

2

，得到y与x的函数关系，根据y与x的函数关系式即可作出判

断．

【解答】解：（1）当x=10时，甲复印店收费为：0，1×10=1；乙复印店收费为：

0.12×10=1.2；

当x=30时，甲复印店收费为：0，1×30=3；乙复印店收费为：0.12×20+0.09×

10=3.3；

故答案为1，3；1.2，3.3；

（2）y

1

=0.1x（x≥0）；

y

2

=

；

（3）顾客在乙复印店复印花费少；

当x＞70时，y

1

=0.1x，y

2

=0.09x+0.6，

∴y

1

﹣y

2

=0.1x﹣（0.09x+0.6）=0.01x﹣0.6，

设y=0.01x﹣0.6，

由0.01＞0，则y随x的增大而增大，

当x=70时，y=0.1

∴x＞70时，y＞0.1，

∴y

1

＞y

2

，

∴当x＞70时，顾客在乙复印店复印花费少．

【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，列出函数关系式是解题的

关键．

24．（10分）（2017•天津）将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，

点，点B（0，1），点O（0，0）．P是边AB上的一点（点P不与点A，

B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A\'．

（1）如图①，当点A\'在第一象限，且满足A\'B⊥OB时，求点A\'的坐标；

（2）如图②，当P为AB中点时，求A\'B的长；

（3）当∠BPA\'=30

°

时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．

【分析】（1）由点A和B的坐标得出OA=

由勾股定理求出A\'B=

，OB=1，由折叠的性质得：OA\'=OA=

，1）；

，

，即可得出点A\'的坐标为（

（2）由勾股定理求出AB==2，证出OB=OP=BP，得出△BOP是等边三

角形，得出∠BOP=∠BPO=60°，求出∠OPA=120°，由折叠的性质得：∠OPA\'=∠

OPA=120°，PA\'=PA=1，证出OB∥PA\'，得出四边形OPA\'B是平行四边形，即可得

出A\'B=OP=1；

（3）分两种情况：①点A\'在y轴上，由SSS证明△OPA\'≌△OPA，得出∠A\'OP=

∠AOP=∠AOB=45°，得出点P在∠AOB的平分线上，由待定系数法求出直线AB

的解析式为y=﹣x+1，即可得出点P的坐标；

②由折叠的性质得：∠A\'=∠A=30°，OA\'=OA，作出四边形OAPA\'是菱形，得出

PA=OA=

代入y=﹣

，作PM⊥OA于M，由直角三角形的性质求出PM=PA=

x+1求出点P的纵坐标即可．

，点B（0，1），

，把y=

【解答】解：（1）∵点

∴OA=，OB=1，

，

由折叠的性质得：OA\'=OA=

∵A\'B⊥OB，

∴∠A\'BO=90°，

在Rt△A\'OB中，A\'B=

∴点A\'的坐标为（

=

，1）；

，

（2）在Rt△ABO中，OA=

∴AB==2，

，OB=1，

∵P是AB的中点，

∴AP=BP=1，OP=AB=1，

∴OB=OP=BP

∴△BOP是等边三角形，

∴∠BOP=∠BPO=60°，

∴∠OPA=180°﹣∠BPO=120°，

由折叠的性质得：∠OPA\'=∠OPA=120°，PA\'=PA=1，

∴∠BOP+∠OPA\'=180°，

∴OB∥PA\'，

又∵OB=PA\'=1，

∴四边形OPA\'B是平行四边形，

∴A\'B=OP=1；

（3）设P（x，y），分两种情况：

①如图③所示：点A\'在y轴上，

在△OPA\'和△OPA中，

∴△OPA\'≌△OPA（SSS），

∴∠A\'OP=∠AOP=∠AOB=45°，

∴点P在∠AOB的平分线上，

设直线AB的解析式为y=kx+b，

把点

解得：

，点B（0，1）代入得：

，

x+1，

，

，

∴直线AB的解析式为y=﹣

∵P（x，y），

∴x=﹣

解得：x=

∴P（，

x+1，

，

）；

②如图④所示：

由折叠的性质得：∠A\'=∠A=30°，OA\'=OA，

∵∠BPA\'=30°，

∴∠A\'=∠A=∠BPA\'，

∴OA\'∥AP，PA\'∥OA，

∴四边形OAPA\'是菱形，

∴PA=OA=，作PM⊥OA于M，如图④所示：

∵∠A=30°，

∴PM=PA=

把y=

，

x+1得：=﹣x+1，

代入y=﹣

解得：x=

∴P（，

，

）；

，）或（，）．

综上所述：当∠BPA\'=30

°

时，点P的坐标为（

【点评】本题是几何变换综合题目，考查了折叠的性质、坐标与图形性质、勾股

定理、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、

直角三角形的性质、待定系数法求直线的解析式、菱形的判定与性质等知识；本

题综合性强，难度较大．

25．（10分）（2017•天津）已知抛物线y=x

2

+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，

0）．

（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P\'．

①当点P\'落在该抛物线上时，求m的值；

②当点P\'落在第二象限内，P\'A

2

取得最小值时，求m的值．

【分析】（1）把A点坐标代入抛物线解析式可求得b的值，则可求得抛物线解

析式，进一步可求得其顶点坐标；

（2）①由对称可表示出P′点的坐标，再由P和P′都在抛物线上，可得到关于m

的方程，可求得m的值；②由点P′在第二象限，可求得t的取值范围，利用两

点间距离公式可用t表示出P′A

2

，再由点P′在抛物线上，可以消去m，整理可得

到关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其取得最小值时t的值，则可

求得m的值．

【解答】解：

（1）∵抛物线y=x

2

+bx﹣3经过点A（﹣1，0），

∴0=1﹣b﹣3，解得b=﹣2，

∴抛物线解析式为y=x

2

﹣2x﹣3，

∵y=x

2

﹣2x﹣3=（x﹣1）

2

﹣4，

∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）；

（2）①由P（m，t）在抛物线上可得t=m

2

﹣2m﹣3，

∵点P′与P关于原点对称，

∴P′（﹣m，﹣t），

∵点P′落在抛物线上，

∴﹣t=（﹣m）

2

﹣2（﹣m）﹣3，即t=﹣m

2

﹣2m+3，

∴m

2

﹣2m﹣3=﹣m

2

﹣2m+3，解得m=或m=﹣；

②由题意可知P′（﹣m，﹣t）在第二象限，

∴﹣m＜0，﹣t＞0，即m＞0，t＜0，

∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），

∴﹣4≤t＜0，

∵P在抛物线上，

∴t=m

2

﹣2m﹣3，

∴m

2

﹣2m=t+3，

∵A（﹣1，0），P′（﹣m，﹣t），

∴P′A

2

=（﹣m+1）

2

+（﹣t）

2

=m

2

﹣2m+1+t

2

=t

2

+t+4=（t+）

2

+

∴当t=﹣时，P′A

2

有最小值，

；

∴﹣=m

2

﹣2m﹣3，解得m=

∵m＞0，

∴m=

∴m的值为

不合题意，舍去，

．

或m=，

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、中心对称、二次函数的

性质、勾股定理、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）

①中求得P′点的坐标，得到关于m的方程是解题的关键，在（2）②中用t表示

出P′A

2

是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．