高中数学教案等差数列与等比数列

2024年4月14日发(作者：小学学霸五下数学试卷)

等差数列与等比数列

一、高考考点

1.等差数列或等比数列定义的应用：主要用于证明或判断有关数列为等差（或等比）数

列.

2.等差数列的通项公式，前几项和公式及其应用：求 ；求 ；解决关于 或 的问题.

3.等比数列的通项公式，前n项和及其应用：求 ；求 ；解决有关 或 的问题.

4.等差数列与等比数列的（小）综合问题.

5.等差数列及等比数列的主要性质的辅助作用：解决有关问题时，提高洞察能力，简化

解题过程.

6.数列与函数、方程、不等式以及解析几何等知识相互结合的综合题目：以高中档试题

出现，重点考察运用有关知识解决综合问题的能力。

二、知识要点

（一）、等差数列

1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个

数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.

※※

认知：｛ ｝为等差数列 － =d(n∈N且d为常数) － =d (n 2, n∈N且d为常数)

此为判断或证明数列｛ ｝为等差数列的主要依据.

2.公式 （1）通项公式： = +（n－1）d： 引申： = +（n－m）d （注意：

n=m+(n－m) ）

认知：｛ ｝为等差数列 为n的一次函数或 为常数 =kn+b (n )

（2）前n项和公式： = 或 =n +

认知：｛ ｝为等差数列 为n的二次函数且常数项为0或 =n = +bn(n )

3.重要性质

(1)｛ ｝为递增数列 d＞0; ｛ ｝为递减数列 d＜0; ｛ ｝为常数列 d=0

(2)设m,n,p,q ,则m+n=p+q + = + ;

(3)2m=p+q 2 = +.即等差数列中,如果某三项(或更多的项)的项数成等差数列,则相应的各项

依次成等差数列.

(4)设 , , 分别表示等差数列｛ ｝的前n项和,次n项和,再次n项和,…则 , , …依次成

等差数列.

（二）等比数列

1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么

这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.

※※

认知：（1）｛ ｝为等比数列 =q (n∈N且q为非零常数) =q(n≥2，n∈N且q为非零

常数)

※

(2）｛ ｝为等比数列 (n≥2，且 ≠0 ) (n ，且 ≠0)

2.公式 （1）通项公式： = ； 引申： = （注意：n=m+(n－m) ）

认知：｛ ｝为等比数列 =c (c,q均是不为0的常数，且n )

（2）前n项和公式

认知：｛ ｝为等比数列 =A +B （其中n ，且A+B=0）.

3．主要性质：

（1）设m,n,p,q ,则有m+n=p+q ; （2）2m=p+q

即在等比数列中，如果某三项（或更多的项）的项数成等差数列，则相应的各项依次成

等比数列.

（3）设 , , ，……分别表示等比数列的前n项和，次n项和，再次n项和，……，

则 , , ，……依次成等比数列。

（三）等差数列、等比数列的联系与个性

等差数列与等比数列定义中的一字之差，导致它们的主要性质具有惊人的相似之处，也

造就出它们之间密切联系的必然.然而，它们毕竟是两种不同的数列，各自又必然具有鲜明

的个性.因此，认知联系，了解个性，是我们分析和解决等差数列与等比数列综合问题的必

要的基础和准备.

1.联系（1）正数等比数列各项的（同底）对数值，依次组成等差数列.即｛ ｝为等比

数列且

（i=1,2……,n,……） ｛ ｝( 且 )为等差数列.

引申：若｛ ｝为正项等比数列，且定义 ＝ ，则｛ ｝亦为等差数列.

（2）取一个不等于1的正数为底数，则以等差数列各项为指数的方幂依次组成等比数

列.即设a>0且a≠1，则

｛ ｝为等差数列 ｛ ｝为等比数列.（3）｛ ｝既是等差数列，又是等比数列 ｛ ｝是非零

常数列.

2.个性

（1）倒数 等比数列各项的倒数仍成等比数列；

除常数列外，等差数列各项的倒数不再成等差数列（它们组成一个新数列，称为调和数

列）.

（2）中项 任何两数的等差中项存在且唯一；

只有两个同号数才有等比中项，并且它们的等比中项是互为相反数的两个值.

（3）解题策略 解决等差数列基本策略：两式相减，消元化简； 解决等比数列

基本策略：两式相除，消元降幂.

三、经典例题

2※

例1.已知数列｛ ｝共有k（定值）项，它的前几项和 ＝2n＋n（n≤k，n∈N），现

从这k项中抽取一项（不抽首项和末项），余下的k－1项的算术平均值为79.

（1）求 ； （2）求数列的项数k，并求抽取的是第几项.

2

分析：注意已知 ＝2n＋n，欲求 ，立足于公式 ＝

解：（1） ；

当n≥2时，

※

又 ＝3适合上式， ∴ ＝4n－1，（n≤k，n∈N）.

（2）设抽取的是数列｛ ｝的第t项（1

22

由题意得 － ＝79（k－1）∴（2k＋k）－（4t－1）＝79k－79∴4t＝2k－78k＋80② ∵

1

2

∴由②得 4<2k－78k+80<4k

※

∵k∈N ∴k＝39 ∴由②得t＝20. 于是可知，数列｛ ｝共有39项，抽取

的是第20项.

点评：捕捉并利用题设条件中的不等关系，是解题成败或失分的重要环节.在这里，设

抽取的是数列｛ ｝中的第t项 之后，揭示并利用1

此外，从不等式关系中寻出所求整数值，也是数列问题乃至其它关于整数的命题的基本解题

方略.

例2．设数列｛ ｝的前n项和为 ，对所有正整数n都有 ≠0，且 ＋ ＝k ，是否存在