2024年4月17日发(作者：十大奇葩数学试卷)

2024学年江苏省南大附中高三年级第一次模拟数学试题

注意事项

1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．

4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．

(3xx)(2)

展开式中

x

2

的系数为

( )

A

．－

1280

x

34

1

x

8

B

．

4864 C

．－

4864 D

．

1280

2．若函数

f(x)e

的图象上两点

M

，

N

关于直线

yx

的对称点在

g(x)ax2

的图象上，则

a

的取值范围是

（

）

A

．

,

e

2

B

．

(,e)

C

．

0,

e

2

D

．

(0,e)

3．已知点

P

不在直线

l

、

m

上，则

“

过点

P

可以作无数个平面，使得直线

l

、

m

都与这些平面平行

”

是

“

直线

l

、

m

互相

平行

”

的（

）

A

．充分不必要条件

C

．充分必要条件

x

B

．必要不充分条件

D

．既不充分也不必要条件

4．已知函数

f

x

k1

xe

，若对任意

xR

，都有

A

．

,1e

B

．

1e,

C

．

e,0

f

x

1

成立，则实数

k

的取值范围是（

）

D

．

1e,1

x

2

y

2

5．已知双曲线

:

2

2

1(a0,b0)

的右焦点为

F

，过原点的直线

l

与双曲线

的左、右两支分别交于

A,B

ab

两点，延长

BF

交右支于

C

点，若

AFFB,|CF|3|FB|

，则双曲线

的离心率是（

）

A

．

17

3

B

．

3

2

C

．

5

3

D

．

10

2

6．已知集合

A

x|x1

，集合

Bx|x

x2

0

，那么

A

A

．

x|x2

B

．

x|1x0

C

．

x|x1



B

等于（

）

D

．

x|1x2

7．已知向量

a

1,2

，

b

2,2

，

c

,1

，若

c//2ab

，则

（

）



A

．

2

B

．

1

C

．

1

2

D

．

1

2

8．将一块边长为

acm

的正方形薄铁皮按如图（

1

）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成

一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（

2

）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为

722cm

3

，则

a

的值为（

）

A

．

6 B

．

8 C

．

10 D

．

12

9．在

ABC

中，

C30

，

cosA

2

，

AC152

，则

AC

边上的高为（

）

3

C

．

5

D

．

A

．

5

2

B

．

2

15

2

10．已知

cos

,

1

3

,

,

则

sin

(

)

2

22

3

C

．

A

．

22

3

B

．

22

3

D

．

1

3

11．执行如图所示的程序框图，则输出的

S

（

）

A

．

2 B

．

3 C

．

2

3

D

．

1

2

12．

“

角谷猜想

”

的内容是：对于任意一个大于

1

的整数

n

，如果

n

为偶数就除以

2

，如果

n

是奇数，就将其乘

3

再加

1

，执行如图所示的程序框图，若输入

n10

，则输出

i

的（

）

A

．

6 B

．

7 C

．

8 D

．

9

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知数列

a

n

满足

a

1

1,a

2

1

对任意

n2,nN*

，若

a

n

a

n1

2a

n1

3a

n1

a

n1

，则数列

a

n

的通项公式

3

a

n

________

．

14．若函数

f(x)sin2x3cos2x

的图像向左平移

最小值为

________.

a

|x1|,x0

15．已知函数

f(x)

2

，若函数

yf(x)a

有

3

个不同的零点

x

1

,x

2

,x

3

(x

1

x

2

x

3

)

，则

x

1

x

2

的取值

x

3

4x,x0

3

个单位得到函数

g(x)

的图像

.

则

g(x)

在区间

,

上的

8

88

范围是

___________

．

16．已知无盖的圆柱形桶的容积是

12

立方米，用来做桶底和侧面的材料每平方米的价格分别为

30

元和

20

元，那么

圆桶造价最低为

________

元

.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x1cos

17．（12分）在直角坐标系

xOy

中，圆

C

的参数方程

（

为参数），以

O

为极点，

x

轴的非负半轴为极

ysin

轴建立极坐标系

.

（

1

）求圆

C

的极坐标方程；

（

2

）直线

l

的极坐标方程是

2

sin

求线段

PQ

的长

.

18．（12分）已知动圆

E

与圆

M:

x1

y

2

2

33

，射线

OM:

与圆

C

的交点为

O

、

P

，与直线

l

的交点为

Q

，

3

3

1

1

外切，并与直线

x

相切，记动圆圆心

E

的轨迹为曲线

C

.

2

4

（

1

）求曲线

C

的方程；

（

2

）过点

Q

2,0

的直线

l

交曲线

C

于

A

，

B

两点，若曲线

C

上存在点

P

使得

APB90

，求直线

l

的斜率

k

的

取值范围

.

19．（12分）已知抛物线

C

:

y2px

p0

，点

F

为抛物线的焦点，焦点

F

到直线

3x4y+2=0

的距离为

d

1

，

2

d

1

1

.

焦点

F

到抛物线

C

的准线的距离为

d

2

，且

d

2

2

（

1

）求抛物线

C

的标准方程；

（

2

）若

x

轴上存在点

M

，过点

M

的直线

l

与抛物线

C

相交于

P

、

Q

两点，且

坐标

.

20．（12分）某调查机构为了了解某产品年产量

x

(

吨

)

对价格

y

(

千克

/

吨

)

和利润

z

的影响，对近五年该产品的年产量和

价格统计如下表：

x

y

1 2 3 4 5

12.2

11

为定值，求点

M

的

|PM|

2

|QM|

2

17.0 16.5 15.5 13.8

ˆ

a

ˆ

；

（

1

）求

y

关于

x

的线性回归方程

ybx

（

2

）若每吨该产品的成本为

12

千元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润

w

取到最大值？

ˆ

参考公式：

b

xynxy

xx



yy

iiii

i1

nn

x

i

2

nx

2

i1

n

i1

x

i

x

i1

n

2

ˆ

ˆ

ybx

,

a

21．（12分）已知二阶矩阵

特征向量为

.

求矩阵

.

，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个

22．（10分）已知

ABC

的内角

A、B、C

的对边分别为

a、b、c

，且

sinAsinB

sin

2

CsinAsinB

.

（Ⅰ）求

C

；

（Ⅱ）若

c1,ABC

的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由

.

2

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、

A

【解题分析】

2

17

1

4

26

1

根据二项式展开式的公式得到具体为：

3x

C

8

2

x

C

8

2

化简求值即可

.

x

x



3

【题目详解】

根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出

3x

3

项，第二个括号里出

2

1

4

26

1

1

3

17

出

2

，具体为：

3x

C

8

2

x

C

8

2

x

x

x



1

项，或者第一个括号里出

x

4

，第二个括号里

x



化简得到

-1280 x

2

故得到答案为：

A.

【题目点拨】

求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：

(1)

求展开式中的特定项

.

可依据条件写出第

r1

项，再由特定项的特点求出

r

值即可

.

(2)

已知展开式的某项，求特定项的系数

.

可由某项得出参数项，再由通项写出第

r1

项，由特定项得出

r

值，最后求出

其参数

.

2、

D

【解题分析】

由题可知，可转化为曲线

g(x)ax2

与

ylnx

有两个公共点，可转化为方程

ax2lnx

有两解，构造函数

h(x)

2lnx

，利用导数研究函数单调性，分析即得解

x

【题目详解】

函数

f(x)e

的图象上两点

M

，

N

关于直线

yx

的对称点在

ylnx

上，

x

即曲线

g(x)ax2

与

ylnx

有两个公共点，

即方程

ax2lnx

有两解，

即

a

2lnx

有两解，

x

2lnx

，

x

1lnx

则

h

(x)

，

x

2

1

1

则当

0x

时，

h

(x)0

；当

x

时，

h

(x)0

，

e

e

令

h(x)

故

x

1

1

时

h(x)

取得极大值

h



e

，也即为最大值，

e

e

当

x0

时，

h(x)

；当

x

时，

h(x)0

，

所以

0ae

满足条件．

故选：

D

【题目点拨】

本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题

.

3、

C

【解题分析】

根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【题目详解】

点

P

不在直线

l

、

m

上，

若直线

l

、

m

互相平行，则过点

P

可以作无数个平面，使得直线

l

、

m

都与这些平面平行，即必要性成立，

若过点

P

可以作无数个平面，使得直线

l

、

m

都与这些平面平行，则直线

l

、

m

互相平行成立，反证法证明如下：

若直线

l

、

m

互相不平行，则

l

，

m

异面或相交，则过点

P

只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即

充分性成立

则

“

过点

P

可以作无数个平面，使得直线

l

、

m

都与这些平面平行

”

是

“

直线

l

、

m

互相平行

”

的充要条件，

故选：

C

．

【题目点拨】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．

4、

D

【解题分析】

先将所求问题转化为

k1

x

1

1

y

对任意恒成立，即得图象恒在函数

xR

x

e

x

e

y(k1)x

图象的上方，再利用数形结合即可解决

.

【题目详解】

由

f

x

1

得

k1

x

1

1

y

，由题意函数得图象恒在函数

y(k1)x

图象的上方，

e

x

e

x

作出函数的图象如图所示

过原点作函数

y

1

b1

a

(a,b)

e

的切线，设切点为，则，解得

a1

，所以切

aae

a

e

x

线斜率为

e

，所以

ek10

，解得

1ek1

.

故选：

D.

【题目点拨】

本题考查导数在不等式恒成立中的应用，考查了学生转化与化归思想以及数形结合的思想，是一道中档题

.

5、

D

【解题分析】

设双曲线的左焦点为

F\'

，连接

BF\'

，

AF\'

，设

BFx

，则

CF3x

，

CF\'

，

BF\'2ax

，

CF\'3x2a

，

RtCBF\'

和

RtFBF\'

中，利用勾股定理计算得到答案

.

【题目详解】

设双曲线的左焦点为

F\'

，连接

BF\'

，

AF\'

，

CF\'

，

设

BFx

，则

CF3x

，

BF\'2ax

，

CF\'3x2a

，

AFFB

，根据对称性知四边形

AFBF\'

为矩形，

RtCBF\'

中：

CF\'

2

CB

2

BF\'

2

，即

3x2a

4x

2ax

，解得

xa

；

RtFBF\'

中：

FF\'BFBF\'

，即

2c

222

2

222

c

2

5

10

.

a

3a

，故

2

，故

e

2

a2

2

2

故选：

D

.

【题目点拨】

本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力

.

6、

A

【解题分析】

求出集合

B

，然后进行并集的运算即可

.

【题目详解】

∵

A

x|x1

，

B

x|2x0

，

∴

AB

x|x2

.

故选：

A

.

【题目点拨】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和运算，属于基础题

.

7、

A

【解题分析】

根据向量坐标运算求得

2ab

，由平行关系构造方程可求得结果

.

【题目详解】

a

1,2

，

b

2,2

2ab

4,2

c//2ab

2

4

，解得：

2

故选：

A



【题目点拨】

本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行，则

x

1

y

2

x

2

y

1

0

.

8、

D

【解题分析】

推导出

PMPNa

，且

PMPN

，

MN

示出该容器的体积，从而求出参数的值．

【题目详解】

解：如图（

4

），

PMN

为该四棱锥的正视图，由图（

3

）可知，

PMPNa

，且

PMPN

腰直角三角形可知，

a

2

a

，

PM

，设

MN

中点为

O

，则

PO

平面

ABCD

，由此能表

2

2

a

，由

PMN

为等

2

MN

212

a

，设

MN

中点为

O

，则

PO

平面

ABCD

，∴

POMNa

，

224

∴

V

PABCD

故选：

D

1

2

22

3



aaa722

，解得

a12

.

3

2424



2

【题目点拨】

本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用，属于中档题

.

9、

C

【解题分析】

结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得

BC

边长，由此求得

AC

边上的高

.

【题目详解】

过

B

作

BDCA

，交

CA

的延长线于

D

.

由于

cosA

2

5

，所以

A

为钝角，且

sinA1cos

2

A

，所以

3

3

sinCBAsin

CBA

sin

AC

sinAcosCcosAsinC

5

3

2

1

152

.

在三角形

32326

BC152

ab

，即

5

ABC

中，由正弦定理得

152

，所以

BC25

.

在

RtBCD

中有

sinAsinB

36

BDBCsinC25

故选：

C

1

5

，即

AC

边上的高为

5

.

2

【题目点拨】

本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题

.

10、

B

【解题分析】

利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．

【题目详解】

1

cos



，

,

3

2

sin

1cos

2

1

122

93

sin

sin



本题正确选项：

B

【题目点拨】

22

3

本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．

11、

B

【解题分析】

运行程序，依次进行循环

,

结合判断框，可得输出值

.

【题目详解】

起始阶段有

i1

，

S3

，

第一次循环后

S

11



，

i2

，

132


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