高中数学数列专题训练6套含答案

2024年2月13日发(作者：学霸123数学试卷答案)

目录

第一套：等比数列例题精讲

第二套：等差等比数列基础试题一

第三套：等差等比数列基础试题二

第四套：等差等比数列提升试题一

第五套：等差等比数列提升试题二

第六套：数列的极限拓展

等比数列·例题解析

【例1】 已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}．

[ ]

A．是等比数列

B．当p≠0时是等比数列

C．当p≠0，p≠1时是等比数列

D．不是等比数列

分析 由Sn＝pn(n∈N*)，有a1=S1＝p，并且当n≥2时，

an=Sn－Sn-1＝pn－pn-1＝(p－1)pn-1

p≠0

故a2=(p－1)p，因此数列{an}成等比数列p－1≠0n1p(p1)(p1)pn2p(p2)p但满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选D．

说明 数列{an}成等比数列的必要条件是an≠0(n∈N*)，还要注

an意对任n∈N*，n≥2，都为同一常数是其定义规定的准确含义．

an1【例2】 已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．

解 ∵1，x1，x2，…，x2n，2成等比数列，公比q

∴2＝1·q2n+1

x1x2x3…x2n＝q·q2·q3…q2n=q1+2+3+…+2n

=q2n(1+2n)2qn(2n1)2n

1【例3】 等比数列{an}中，(1)已知a2=4，a5＝－，求通项公

2式；(2)已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．

1解 (1)a5=a2q52 ∴q=－

2

11∴an＝a2qn2＝4(－)n2＝()n422

23(2)∵a3·a5＝a4 a3·a4·a5＝a4=8∴a4＝2

又a2a6＝a3a5＝a24∴a2a3a4a5a6=a=3254

【例4】 已知a＞0，b＞0且a≠b，在a，b之间插入n个正数x1，x2，…，xn，使得a，x1，x2，…，xn，b成等比数列，求

证nx1x2…xn＜ab．

2证明 设这n＋2个数所成数列的公比为q，则b=aqn+1

∴qn1ba2nn12∴nx1x2…xnnaqaq…aqaqabab＜2

【例5】 设a、b、c、d成等比数列，求证：(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2＝(a－d)2．

证法一 ∵a、b、c、d成等比数列

∴abc

bcd∴b2＝ac，c2＝bd，ad＝bc

∴左边=b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2＋d2－2bd＋b2

=2(b2－ac)＋2(c2－bd)＋(a2－2bc＋d2)

＝a2－2ad＋d2

＝(a－d)2＝右边

证毕．

证法二 ∵a、b、c、d成等比数列，设其公比为q，则：

b＝aq，c＝aq2，d=aq3

∴左边＝(aq－aq2)2＋(aq2－a)2＋(aq3－aq)2

＝a2－2a2q3＋a2q6

=(a－aq3)2

＝(a－d)2=右边

证毕．

说明 这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b、c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的路子．证法二则是把a、b、c、d统一化成等比数列的基本元素a、q去解决的．证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性．

【例6】 求数列的通项公式：

(1){an}中，a1＝2，an+1＝3an＋2

(2){an}中，a1=2，a2＝5，且an+2－3an+1＋2an＝0

思路：转化为等比数列．

解 (1)an+1=3an＋2an+1＋1=3(an＋1)

∴{an＋1}是等比数列

∴an＋1=3·3n-1 ∴an=3n－1

(2)an+2－3an+1＋2an=0an+2－an+1=2(an+1－an)

∴{an+1－an}是等比数列，即

an+1－an=(a2－a1)·2n-1=3·2n-1

再注意到a2－a1=3，a3－a2=3·21，a4－a3=3·22，…，an－an-1=3·2n-2，这些等式相加，即可以得到

an=3[1＋2＋2＋…＋22n-22n11]=3·=3(2n1－1)

21说明 解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知．(1)中发现{an＋1}是等比数列，(2)中发现{an+1－an}是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现．

22【例7】 若实数a1、a2、a3、a4都不为零，且满足(a1＋a22)a4－2a22(a1＋a3)a4＋a2＋a23=0求证：a1、a2、a3成等比数列，且公比为a4．

证 ∵a1、a2、a3、a4均为不为零的实数

2222∴(a1＋a22)x－2a2(a1＋a3)x＋a2＋a3=0为实系数一元二次方程等式(a＋a)a－2a2(a1＋a3)a4＋a＋a=0说明上述方程有实数根a4．∴上述方程的判别式Δ≥0，即

222[－2a2(a1＋a3)]2－4(a1＋a22)(a2＋a3)2=－4(a22－a1a3)≥02∴(a22－a1a3)≤

又∵a1、a2、a3为实数

2∴(a22－a1a3)≥02必有a22－a1a3=0即a2=a1a3

因而a1、a2、a3成等比数列

又∵a4=2a2(a1a3)a2(a1a3)a22

2a2(a1a2)aaa12113∴a4即为等比数列a1、a2、a3的公比．

【例8】 若a、b、c成等差数列，且a＋1、b、c与a、b、c＋2都成等比数列，求b的值．

解 设a、b、c分别为b－d、b、b＋d，由已知b－d＋1、b、b＋d与b－d、b、b＋d＋2都成等比数列，有

2b=(b－d＋1)(b＋d)2b=(b－d)(b＋d＋2)①②

整理，得

222b=b－d＋b＋d

222b=b－d＋2b－2d∴b＋d=2b－2d 即b=3d

代入①，得

9d2=(3d－d＋1)(3d＋d)

9d2=(2d＋1)·4d

解之，得d=4或d=0(舍)

∴b=12

【例9】 已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d，又知d≠1，且a4=b4，a10=b10：

(1)求a1与d的值；

(2)b16是不是{an}中的项？

思路：运用通项公式列方程

a1＋3d=a1d3a4=b4解 (1)由9a=b1010a1＋9d=a1d

3a1(1－d)=－3d9a1(1－d)=－9dd6＋d3－2=0d11(舍)或d232∴a1d32d32(2)∵b16=b1·d15=－32b1

且a4=a1＋3d=232=b4b4=b1·d3=－2b1=－232

∴b1=a1=32∴b16=－32b1=－32a1，如果b16是{an}中的第k项，则

－32a1=a1＋(k－1)d

∴(k－1)d=－33a1=33d

∴k=34即b16是{an}中的第34项．

121【例10】 设{an}是等差数列，bn=()an，已知b1＋b2＋b3=，28

1b1b2b3=，求等差数列的通项．8解 设等差数列{an}的公差为d，则an=a1＋(n－1)d

1a(n1)d∴bn=()12

1a11a1+2d12(a1+d)2b1b3=()·()=()b2222

1113由b1b2b3=，解得b2=，解得b2=，代入已知条件88211

bbb=bb=1238134整理得21bbbb＋b=172338811解这个方程组，得

b1=2，b3=11或b1=，b3=2

88∴a1=－1，d=2或a1=3，d=－2

∴当a1=－1，d=2时，an=a1＋(n－1)d=2n－3

当a1=3，d=2时，an=a1＋(n－1)d=5－2n

【例11】 三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．

解法一 按等比数列设三个数，设原数列为a，aq，aq2

由已知：a，aq＋4，aq2成等差数列

即：2(aq＋4)=a＋aq2

①

a，aq＋4，aq2＋32成等比数列

即：(aq＋4)2=a(aq2＋32)

aq＋2=4a②

2a=2a=9①，②两式联立解得：或q=3

q=－521050∴这三数为：2，6，18或，，．999解法二 按等差数列设三个数，设原数列为b－d，b－4，b＋d

由已知：三个数成等比数列

即：(b－4)2=(b－d)(b＋d)

8b－d2=16b－d，b，b＋d＋32成等比数列

①

即b2=(b－d)(b＋d＋32)

32b－d2－32d=0②

26b=9b=10①、②两式联立，解得：或8d=8

d=321050∴三数为，，或2，6，18．999解法三 任意设三个未知数，设原数列为a1，a2，a3

由已知：a1，a2，a3成等比数列

得：a22=a1a3a1，a2＋4，a3成等差数列

得：2(a2＋4)=a1＋a3

②

a1，a2＋4，a3＋32成等比数列

得：(a2＋4)2=a1(a3＋32)

③

①

2a=1910①、②、③式联立，解得：a2=950a3=9a1=2或a2=6

a=183说明 将三个成等差数列的数设为a－d，a，a＋d；将三个成

等比数列的数设为a，aq，aq2(或a，a，aq)是一种常用技巧，可起到

q简化计算过程的作用．

【例12】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

分析 本题有三种设未知数的方法

方法一 设前三个数为a－d，a，a＋d，则第四个数由已知条

(ad)2件可推得：

a方法二 设后三个数为b，bq，bq2，则第一个数由已知条件推得为2b－bq．

方法三 设第一个数与第二个数分别为x，y，则第三、第四个数依次为12－y，16－x．

由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，

(ad)2解法一 设前三个数为a－d，a，a＋d，则第四个数为．

a(ad)2=16a－d＋

依题意，有aa＋(a＋d)=12a2=9a1=4解方程组得：或

d=41d2=－6所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．

解法二 设后三个数为：b，bq，bq2，则第一个数为：2b－bq

2b－bq＋bq2=16依题意有：

b＋bq=12b2=9b1=4解方程组得： 或1

q=2q=123所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．

解法三 设四个数依次为x，y，12－y，16－x．

x＋(12－y)=2y依题意有

2y·(16－x)=(12－y)x1=0x2=15

解方程组得：或y=4y=912这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．

【例13】 已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84．求这两个数列．

解 设成等差数列的三个数为b－d，b，b＋d，由已知，b－d＋b＋b＋d=126

∴b=42

这三个数可写成42－d，42，42＋d．

再设另三个数为a，aq，aq2．由题设，得

a＋42－d=85

ap＋42=762aq＋42＋d=84a－d=43整理，得

aq=342aq＋d=42解这个方程组，得

a1=17或a2=68

当a=17时，q=2，d=－26

①②

③当a=68时，q=1，d=25

2从而得到：成等比数列的三个数为17，34，68，此时成等差的三个数为68，42，16；或者成等比的三个数为68，34，17，此时成等差的三个数为17，42，67．

【例14】 已知在数列{an}中，a1、a2、a3成等差数列，a2、a3、a4成等比数列，a3、a4、a5的倒数成等差数列，证明：a1、a3、a5成等比数列．

证明 由已知，有

2a2=a1＋a3

①

a23=a2·a4211a4a3a52a3·a5a3+a5a1+a3由①，得a2=代入②，得

2a1+a32a3·a5a2=·32a3a5由③，得a4=整理，得a3=a5(a1+a2)

a3+a5②③

即 a3(a3＋a5)=a5(a1＋a3)

a23＋a3a5=a1a5＋a3a5∴a23=a1·a5

所以a1、a3、a5成等比数列．

【例15】 已知(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz=0．

(1)设a，b，c依次成等差数列，且公差不为零，求证：x，y，z成等比数列．

(2)设正数x，y，z依次成等比数列，且公比不为1，求证：a，b，c成等差数列．

证明 (1)∵a，b，c成等差数列，且公差d≠0

∴b－c=a－b=－d，c－a=2d

代入已知条件，得：－d(logmx－2logmy＋logmz)=0

∴logmx＋logmz=2logmy

∴y2=xz

∵x，y，z均为正数

∴x，y，z成等比数列

(2)∵x，y，z成等比数列且公比q≠1

∴y=xq，z=xq2代入已知条件得：

(b－c)logmx＋(c－a)logmxq＋(a－b)logmxq2=0

变形、整理得：(c＋a－2b)logmq=0

∵q≠1 ∴logmq≠0

∴c＋a－2b=0 即2b=a＋c

即a，b，c成等差数列

高一数学数列练习

【同步达纲练习】

一、选择题

1.已知数列1，A.｛an｝

111，，…，…，则其通项的表示为( )

23n11 B.｛｝ C. D.n

nnnn2.已知数列｛an｝中，an=4-13·2+2，则50是其( )

A.第3项 B.第4项

C.第5项 D.不是这个数列的项

n3.已知数列的通项公式an=2-1，则2047是这个数列的( )

A.第10项 B.第11项 C.第12项 D.第13项

4.数列-1，81524，-，，…的通项公式是( )

579 =(-1)nn2=(-1)

2n1nnn(n3)

2n1n(n2)

2n1n2=(-1)

2n1 =(-1)n5.在数列a1,a2,a3,…，an，…的每相邻两项中插入3个数，使它们与原数列构成一个新数列，则新数列的第29项( )

A.不是原数列的项 B.是原数列的第7项

C.是原数列的第8项 D.是原数列的第9项

6.已知数列的通项公式为an=3n1，则an与an+1的大小关系是( )

2n＜an+1 ＞an+1

=an+1 D.大小不能确定

27.数列｛an｝中，an=-2n+29n+3，则此数列的最大项的值是( )

A.107 B.108 C.1081

8 D.109

8.数列1，3，6，10，15，…的通项公式an，等于( )

A.n-(n-1)

二、填空题

1.数列-2B.

n(n1)

2C.

n(n1)

2 D.n-2n+2

2111，，-，…的一个通项公式是 .

39272.数列1，1，2，2，3，3，…的一个通项公式是 .

3.数列1×3，2×4，3×5，…，n(n+2)，…，问120是否是这个数列的项 .若是，120是第 项.

4.已知数列｛an｝满足a1=1,an+1=pan+q，且a2=3,a4=15,则p= ,q= .

n5.一个数列的前n项之和是n，则此数列的第4项为 .

6.-133333，4，-7，10，-13，…的一个通项公式为 .

1三、解答题

1.已知数列｛an｝的通项an=n177,、是不是这个数列的项?如果是，则是n(n1)20120第几项?

2.写出以下数列的一个通项公式.

①-169415，，-，，-…；

3254927121②9，99，999，9999，99999，….

3.已知下列数列｛an｝的前n项和Sn，求数列｛an｝的通项公式.

n2①Sn=3+2; ②Sn=2n+n+3

【素质优化训练】

1.已知数列的前4项如下，试写出下列各数列的一个通项公式：

(1)

(3)0.9，0.99，0.999，0.9999；

2.已知数列的通项公式为an=-0.3n+2n+721111，，，；

261220 (2)-1，357，-，；

248(4)

5101726，，，.

3815242，求它的数值最大的项.

3

3.若数列｛an｝由a1=2，an+1=an+2n(n≥1)确定，求通项公式an.

【生活实际运用】

参加一次国际商贸洽谈会的国际友人居住在西安某大楼的不同楼层内，该大楼共有n层，每层均住有参会人员.现要求每层指派一人，共n人集中到第k层开会，试问k如何确定，能使n位参加会议人员上、下楼梯所走路程总和最少?(假定相邻两层楼楼长都相等)

【知识探究学习】

某人从A地到B地乘坐出租车，有两种方案：第一种方案：利用起步价10元，每千米价为1.2元的汽车.第二种方案：租用起步价是8元，每千米价为4元的汽车.按出租车管理条例，在起步价内，不同型号车行驶的里程是相等的.则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适.

解：设起步价内行驶里程为a千米，A地到B地的距离是m千米.

当m≤a时，选起步价8元的出租车比较合适.

当m＞a时，设m=a+x(x＞0)

乘坐起步价10元的出租车费用为P(x)元，乘坐起步价为8元的费用为Q(x)元，

则：P(x)=10+1.2x

Q(x)=8+1.4x

令P(x)=Q(x)得10+1.28+1.4x解得x=10(千米)

此时两种出租车任选.

当x＞10时，P(x)-Q(x)=2-0.2x＜0，故P(x)＜Q(x)

此时选起步价为10元合适.

当x＜10时，P(x)-Q(x)=2-0.2x＞0，故P(x)＞Q(x)

此时选起步价为8元的出租车合适.

参考答案：

【同步达纲练习】

一、1.C 2.B 3.B 4.D 5.C 6.A 7.B 8.C

n1,n为奇数(1)2二、= = 3.是，10 4.2或-3，1或6 5.229

n3n,n为偶数=(-1)［(3n-2)+三、1.

n3］

n110277不是｛an｝中的项，是｛an｝中的第15项.

20120n2.①an=(-1)3nn;②an=10-1.

2(2n1)

6 (n1)5 (n1)3.①an=n-1 ②an=。

4n1 (n2)2 (n2)【素质优化训练】

(n1)211n2n1n1.解：(1)an= (2)an=(-1)n (3)an=1-(0.1) (4)an=

2n(n1)(n1)1212.最大的项为a3==2+n(n+1)

【生活实际运用】

329

30n1，S最小；

2nn2当n为偶数时，取k=或，S最小

22当n为奇数时，取k=

数列复习题

班级______ 姓名______ 学号_______

一、选择题

1、若数列{an}的通项公式是an=2(n＋1)＋3，则此数列 ( )

(A)是公差为2的等差数列 (B)是公差为3的等差数列

(C) 是公差为5的等差数列 (D)不是等差数列

2、等差数列{an}中，a1=3,a100=36,则a3＋a98等于 ( )

(A)36 (B)38 (C)39 (D)42

3、含2n+1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 ( )

(A)2n1n1n1n1 (B) (C) (D)

nnn2n4、设等差数列的首项为a,公差为d，则它含负数项且只有有限个负数项的条件是

( )

(A)a＞0,d＞0 (B)a＞0,d＜0 (C)a＜0,d＞0 (D)a＜0,d＜0

5、在等差数列{an}中，公差为d，已知S10＝4S5，则(A)a1是 ( )

d11 (B)2 (C) (D)4

246、设{an}是公差为－2的等差数列，如果a1+ a4+ a7+……+ a97=50，则a3+ a6+ a9……+ a99=

( )

(A)182 (B)－80 (C)－82 (D)－84

7、等差数列{an} 中，S15=90，则a8= ( )

(A)3 (B)4 (C)6 (D)12

151,,，则a101= ( )

x16xx212(A)50 (B)13 (C)24 (D)8

3338、等差数列{an}中，前三项依次为9、数列{an}的通项公式an1n1n，已知它的前n项和为Sn=9，则项数n=

( )

(A)9 (B)10 (C)99 (D)100

10、等差数列{an}中，a3+ a4+ a5+ a6+ a7=450，求a2+a8= ( )

(A)45 (B)75 (C)180 (D)300

11、已知{an}是等差数列，且a2+ a3+ a8+ a11=48，则a6+ a7= ( )

(A)12 (B)16 (C)20 (D)24

12、在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于 ( )

(A)9 (B)10 (C)11 (D)12

13、等差数列{an} 的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( )

(A)130 (B)170 (C)210 (D)160

14、等差数列{an}的公差为1，且S100=145，则奇数项的和a1+a3+a5+……+ a99=( )

2(A)60 (B)80 (C)72.5 (D)其它的值

15、等差数列{an}中，a1+a2+……a10=15，a11+a12+……a20=20，则a21+a22+……a30=( )

(A)15 (B)25 (C)35 (D)45

16、等差数列{an}中，a1=3，a100=36，则a3+a98= ( )

(A)36 (B)39 (C)42 (D)45

17、{an}是公差为2的等差数列，a1+a4+a7+……+a97=50，则a3+a6+……+ a99= ( )

(A)－50 (B)50 (C)16 (D)1.82

18、若等差数列{an}中，S17=102，则a9= ( )

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

19、

夏季高山上温度从山脚起每升高100米，降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则山的相对高度是 ( )

(A)1500 (B)1600 (C)1700 (D)1800

20、若x≠y，且两个数列：x，a1，a2，y 和x，b1，b2，b3，y各成等差数列，那么a1x

yb3( )(A)342 (B) (C) (D)值不确定

43321、一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是 ( )

(A)4 (B)8 (C)12 (D)20

22、等差数列{an}中如果a6=6，a9=9，那么a3= ( )

216 (C) (D)4

3921623、设{an}是等比数列，且a1=，S3=，则它的通项公式为an= ( )

39(A)3 (B)1(A)62n111 (B)6 (C)622nn11 (D)62n1或3

22ab= ( )

2cd111(A)1 (B) (C) (D)

24825、已知等比数列{an} 的公比为q，若an1=m（n为奇数），则a3n1= ( )

24、已知a、b、c、d是公比为2的等比数列，则2n－1 n

2(A)mq (B) mq (C) mq (D)

18

26、已知等比数列前10项的和为10，前20项的和为30，那么前30项的和为( )

(A)60 (B)70 (C)90 (D)126

27、若{an}是等比数列，已知a4 a7=－512，a2+a9=254，且公比为整数，则数列的a12是

( )

(A)－2048 (B)1024 (C)512 (D)－512

28、数列{an}、{bn}都是等差数列，它们的前n项的和为项的比为 ( )

Sn3n1，则这两个数列的第5Tn2n1492834 (B) (C) (D)以上结论都不对

291719cab29、已知lg24lglg，则a，b，c ( )

abc(A)(A)成等差数列 (B)成等比数列

(C)既成等差数列又成等比数列 (D)既不成等差数列又不成等比数列

30、若a+b+c，b+c－a，c+a－b，a+b－c成等比数列，且公比为q，则q3+q2+q的值为

( )(A)1 (B)－1 (C)0 (D)2

31、若一等差数列前四项的和为124，后四项的和为156，又各项的和为350，则此数列共有 ( )

(A)10项 (B)11项 (C)12项 (D)13项

32、在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则二数之和为 ( )

1111 (B)11或0 (C)10 (D)9

422211133、数列1，，，……，的前n项和为 ( )

1212312n2n12nn22n(A) (B) (C) (D)

n2n1n1n1(A)1334、设数列{an}各项均为正值，且前n项和Sn=( )

(A) an=n1n (B) an=nn1

(C) an=n2n1 (D) an=2n1

11（an+），则此数列的通项an应为

an235、数列{an}为等比数列，若a1+ a8=387，a4 a5=1152，则此数列的通项an的表达式为

( )

(A) an =3×2n -1

(B) an =384×（(C) an =3×2n -1或an =384×（1n -1）

21n -11） (D) an =3×（）n -1

2236、已知等差数{an}中，a3+ a4+ a5+ a6+ a7=450，则a1+ a9= ( )

(A)45 (B)75 (C)180 (D)300

37、已知等比数列{an}中，an＞0，公比q≠1，则 ( )

22222222(A)a3a7a4a6 (B)a3a7a4a6

22222222(C)a3a7a4a6 (D)a3a7与a4a6的大小不确定

38、在等比数列中，首项912，末项，公比，求项数 ( )

833(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

39、等比数列{an}中，公比为2，前四项和等于1，则前8项和等于 ( )

(A)15 (B)17 (C)19 (D)21

40、某厂产量第二年增长率为p，第三年增长率为q，第四年增长率为r，设这三年增长率为x，则有 ( )

pqrpqr (B)x

33pqrpqr(C)x (D)x

33(A)x二、填空题

1、已知等差数列公差d＞0,a3a7=－12,a4+a6=－4,则S20=_______

2、数列{an}中，若a1,a2,a3成等差数列,a2,a3,a4成等比数列,a3,a4,a5的倒数又成等差数列，则a1,a3,a5成_______数列

3、已知{an}为等差数列,a1=1,S10=100,an=_______.令an=log2bn,则的前五项之和

S5′=_______

4、已知数列1111,,,,则其前n项和Sn=________.

61220(n1)(n2)5、数列前n项和为Sn=n2+3n,则其通项an等于____________.

6、等差数列{an}中, 前4项和为26, 后4项之和为110, 且n项和为187, 则n的值为____________.

7、已知等差数列{an}的公差d≠0, 且a1,a3,a9成等比数列,

a1a3a9的值是________.

a2a4a108、等差数列{an}中, S6=28, S10=36(Sn为前n项和), 则S15等于________.

9、等比数列{an}中, 公比为2, 前99项之和为56, 则a3+a6+a9+…a99等于________.

10、等差数列{an}中, a1=1,a10=100,若存在数列{bn}, 且an=log2bn,则b1+b2+b3+b4+b5等于____________.

11、已知数列1,n1n2n3,,, , 前n项的和为____________.

nnn12、已知{an}是等差数列,且有a2+a3+a10+a11=48, 则a6+a7=____________.

13、等比数列{an}中, a1+a2+a3+a4=80, a5+a6a7+a8=6480, 则a1必为________.

14、三个数11ac、1、成等差数列，而三个数a2、1、c2成等比数列， 则2等于acac21, lgy成等比数列, 且x＞1,y＞1, 则x、y的最小值为________.

22an, 已知{an}既是等差数列, 又是等比数列,则{an}的前202an5____________.

15、已知lgx,16、在数列{an}中,

an1项的和为________.

17、若数列{an},

a121,且an1an (n∈N), 则通项an=________.

3(n2)(n1)18、已知数列{an}中,

a4322,an1(21)an(n≥1), 则这个数列的通项公式an=________.

19、正数a、b、c成等比数列, x为a、b的等差中项, y为b、c的等差中项, 则________.

20、等比数列{an}中, 已知a1·a2·a3=1,a2+a3+a4=ac的值为xy7, 则a1为________.

4三、解答题

1、在等差数列{an}中,a1=－250,公差d=2,求同时满足下列条件的所有an的和,

(1)70≤n≤200;(2)n能被7整除.

2、设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a3=12, S12＞0,S13＜0.(Ⅰ)求公差d的取值范围；

(Ⅱ)指出S1,S2,…,S12,中哪一个值最大,并说明理由.

3、数列{an}是首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开始变为负的，回答下列各问：(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n项和为Sn,求Sn的最大值;(3)当Sn是正数时,求n的最大值.

4、设数列{an}的前n项和Sn.已知首项a1=3,且Sn1+Sn=2an1,试求此数列的通项公式an及前n项和Sn.

5、已知数列{an}的前n项和Sn

26、已知数列{an}是等差数列,其中每一项及公差d均不为零,设aix2ai1xai211n(n＋1)(n＋2),试求数列{}的前n项和.

an3=0(i=1,2,3,…)是关于x的一组方程.回答：(1)求所有这些方程的公共根;

(2)设这些方程的另一个根为mi,求证1111,,,…, ,…也成等差数列.

m11m21m31mn1

27、如果数列{an}中,相邻两项an和an1是二次方程xn3nxncn=0(n=1,2,3…)的两个根,当a1=2时,试求c100的值.

8、有两个无穷的等比数列{an}和{an},它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有an1,试求这两个数列的首项和公比.

9、有两个各项都是正数的数列{an},{bn}.如果a1=1,b1=2,a2=3.且an,bn,an1成等差数列,

bn,an1,bn1成等比数列,试求这两个数列的通项公式.

10、若等差数列{log2xn}的第m项等于n，第n项等于m(其中mn)，求数列{xn}的前m＋n项的和。

数列复习题 〈答卷〉

一、选择题

1、 A 2、 C 3、 B 、 4、C 5、 A 6、 C 7、 C 8、 D 9、 C 10、 C

11、 D 12、 B 13、 C 14、 A 15、 B 16、 B 17、 D 18、 D 19、 D 20、 B

21、 B 22、 A 23、 D 24、 C 25、 B 26、 B 27、 A 28、 C 29、 B 30、

A 31、 A32、 B 33、 D34、 B 35、 C36、 C 37、 A 38、 B 39、 B 40、 C

二、填空题

1、 1802、 等比3、 2n－1,n13624、 5、 2n+2.6、 11.7、8、249、32

2(n2)316210、 68211、18、n1112、2413、－4或2. 14、 1或15、1023n222119、2.20、 2或

316、100. 17、71

6n1三、解答题

1、 解： a1=－250, d=2, an=－250+2(n－1)=2n－252

同时满足70≤n≤200, n能被7整除的an构成一个新的等差数列{bn}.

b1=a70=－112, b2=a77=－98,…, bn′=a196=140

其公差d′=－98－(－112)=14. 由140=－112+(n′－1)14, 解得n′=19

191814266.

212(121)2、解： (Ⅰ)依题意,有

S1212a1d0

2∴{bn}的前19项之和S19(112)2a111d0(1)13(131)

S1313a1d0，即a6d0(2)21由a3=12,得 a1=12－2d (3)

将(3)式分别代入(1),(2)式,得

247d024，∴d3.

73d0(Ⅱ)由d＜0可知 a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13.

因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an＞0,an+1＜0,则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.

由于 S12=6(a6+a7)＞0, S13=13a7＜0，即 a6+a7＞0, a7＜0.

由此得 a6＞－a7＞0.因为a6＞0, a7＜0,故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.

3、 (1)由a6=23＋5d＞0和a7=23＋6d＜0,得公差d=－4.(2)由a6＞0,a7＜0,∴S6最大, S6=8.(3)由a1=23,d=－4,则Sn=1n(50－4n),设Sn＞0，得n＜12.5,整数n的最大值为12.

24、∵a1=3, ∴S1=a1=3.在Sn+1＋Sn=2an+1中,设n=1,有S2＋S1=2a2.而S2=a1＋a2.即a1＋a2＋a1=2a2.∴a2=6. 由Sn+1＋Sn=2an+1,……(1) Sn+2＋Sn+1=2an+2,……(2)

(2)－(1),得Sn+2－Sn+1=2an+2－2an+1，∴an+1＋an+2=2an+2－2an+1

即 an+2=3an+1

此数列从第2项开始成等比数列,公比q=的通项公式an=3,当n1时,

n123,当n2时.此数列的前n项和为Sn=3＋2×3＋2×3＋…＋2×35、an=Sn－Sn1=2n – 123(3n11)n=3＋=3.

31111n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)=n(n＋1).当n=1时，a1=2,S1=×1×(1333＋1)×(2＋1)=2,∴a1= S1.则an＝n(n＋1)是此数列的通项公式。∴1(1)()()a1a2an122334n(n1)223nn1＝1－1n＝.

n1n1226、 (1)设公共根为p,则aip2ai1pai20①ai1p2ai2pai30②则②-① ,得dp2+2dp+d=0,d≠0为公差,∴(p＋1)2=0.∴p=－1是公共根.(直接观察也可以看出公共根为－1).(2)另一个根为mi,则mi＋(－1)=2ai12d2d2.∴mi+1= 即aiaiai

a111i,易于证明{}是以－为公差的等差数列.

mi12dmi127、解由根与系数关系,

an＋an1=－3n,则(an1＋an2)－(an＋an1)=－3,即an2－an=－3.∴a1,a3,a5…和a2,a4,a6…都是公差为－3的等差数列,由a1=2,a1+a2=－3,∴a2=－5.则a2k=－3k－2,∴a100=－152,

a2k1=－3k＋5,∴a101=－148,∴c100= a100 a101=22496

8、设首项分别为a和b,公比q和r. 则有q1,r1.依据题设条件,有ab=1,① =2,②

1q1raqn12brn1,③ 由上面的①,②,③ 可得(1－q)2q2n2=2(1－r)rn1.令n=1,有(1－q)2=2(1－r),④设n=2.则有(1－q)2q2=2(1－r)r,⑤ 由④和⑤,可得q2=r,代入④ 得(1－q)2=2(1－q2).由于11416,r =.因此可得a=1－q=,b=2(1－r)=.

3939416ab3和9经检验,满足a2b的要求. ∴nn11qr39q≠1,∴有q=1b(anan1)1n9、依据题设条件,有由此可得b(bn1bnbnbn1)=2n2an1bnbn11bn(bn1bn1).∵bn＞0,则2bnbn1bn1。∴{bn}是等差数列.∴bn=2(n1)2.

2n2(n1)2n(n1)1a又

abn1bn=,∴=n(n1)

n22222n210、2m+n-1

数列·双基能力训练

(一)选择题：

1．数列{an}的通项公式是an=n2-3n-28，这个数从第几项起各项都是正数 [ ]．

A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项

2．数列1，3，6，10，…的一个通项公式an=

]．

A．n2-n＋1

D．2n+1-3

3．数列7，9，11，…，2n-1的项数是

[ ]

A．n

B．n-1

C．n-2

D．n-3

A．18项

B．19项

C．17项

[

D．20项

5．无穷数列1，23，26，29，…，23n+6，…中，23n+6是第 [ ]．

A．3n＋6项

B．3n＋7项

C．n＋2项

D．n＋3项

6．一个数列{an}，其中a1=3，a2=6，an+2=an+1-an，那么这个数列的第5项是 [ ]

A．-6 B．-3

C．6 D．3

7．在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x的值是 [ ]．

A．19 B．20

C．21 D．22

(二)填空题：

8．写出下列各数列的通项公式：

(1)3，8，15，24，35，… an=______；

(3)3，33，333，3333，33333，… an=_______；

(4)3，5，3，5，3，… an=_______．

9．数列{an}的通项公式为an=logn＋1(n＋2)，则它的前14项的积为_________．

10．已知数列{an}中，a1=2，an=an-1-2，则a3=______，a6=_____．

11．数列{an}为3，5，7，…，2n＋1，…，数列{bn}中，b1=a1，当n≥2时bn＝abn-1，则b4=______，b5=______．

12．数列{an}中，a1=1，an＋1=f(an)，且f(x)=x2-1，写出这个数列的前5项______．

13．已知数列{an}的前n项和为Sn=3＋2n，则通项an=______．

14．在数列{an}中，已知Sn=2n3-3n，那么a6＋a7=______．

______项．

(三)解答题：

(1)写出数列的前5项；

(2)猜想数列的通项公式．

200，380三个数中，哪个数是数列{an}中的项，是第几项？

任意大于1的自然数n，都有2an+an-1=0，Sn-1＋2Sn=-6成立

数列·双基能力训练·答案提示

(一)1．C 2．B

D 4．B

5．D 6．A 7．C

提示：

7．此数列的递推公式是a1=1，a2=1，an+1=an＋an-1，则x=8＋13=21，

故选C．

3．

9．4 10．-2，-8 11．31，63

12．1，0，-1，0，-1

13．5(n-1),2n-1(n≥2)

14．430 15．8

提示：

9．由an=logn+1(n＋2)，则a1·a2·a3……a14=log23×log34×log45×…×log1516=log216=4．

11．数列{an}的通项公式为an=2n＋1．

当n≥2时，b2=ab1=aa1=a3=7，

b3=ab2=a7=2×7×1=15，

b4=ab3=a15=2×15＋1=31，

b5=ab4=a31=2×31+1=63．

12．an＋1=an2-1．a1=1，则a2=a12-1=0，a3=a22-1=-1，a4=a32-1=(-1)2-1=0，a5=a42-1=-1．

14．a6＋a7=S7-S5=2×73-3×7-2×53＋3×5=430．

(三)

当n=1时，a1=S1=2，

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n(n＋1)．

因为a1符合n≥2时an的解析式，所以数列{an}的通项公式为

an=n(n＋1)．

经检验a11=132，a19=380，而200不是该数列中的项．

18．证明:

∴ 2an＋an-1=0(n＞1)．

可化简为 Sn-1＋2Sn=-6 (n＞1)

数列的极限；数列极限的运算法则·双基能力训练

(一)选择题：

1．对于无穷数列｛an｝，有下列四个命题：

①｛an｝一定有极限；

②若｛an｝是等差数列，那么｛an｝有极限的充要条件是它的公差为0；

③若｛an｝为等比数列，那么当公比q＜1时，｛an｝有极限；

④若｛an｝为递增数列，那么｛an｝一定没有极限．

以上命题中，正确命题的个数是

[ ]

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

2．下列命题中，一定正确的是

[ ]

3．下列无穷数列中，极限为零的是

[ ]

都小于ε取

[

A．30

B．31

，则N可以

]

C．33

D．34

[

]

A．0＜x＜1

B．0≤x≤1

C．0≤x＜1

D．x≥1或x＜0

A．-1

B．1

C．1或-1

D．a

8．已知｛an｝是等比数列，如果a1＋a2=12，a2＋a3＝-6，且

A．8

B．16

C．32

D．48

(二)填空题：

14．已知｛an｝是公差不为零的等差数列，如果Sn是｛an｝的前n

(三)解答题：

16．已知等比数列｛an｝，其中an＞0，公比为q(0＜q≤1)，记

17．一个球自6m高的地方自由下落，触地后回弹高度为原高度的

数列的极限；数列极限的运算法则·双

基能力训练·答案提示

(一)1．B 2．D

A 4．C

5．C 6．B

8．B

提示：

(三)

(2)a＝0，b＝10．

3． 7．C

＜5．

17．设第一次落地时运动的路程为a1，第二次为a2，第三次为a3，…

＝12(m)

∴球运动的总路程为12m