2024年3月23日发(作者：金堂县小升初数学试卷)
2021年浙江省高考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．（4分）设集合
A{x|x1}
，
B{x|1x2}
，则
AB(
)
A．
{x|x1}
B．
{x|x1}
C．
{x|1x1}
D．
{x|1x2}
2．（4分）已知
aR
，
(1ai)i3i(i
为虚数单位），则
a(
)
A．
1
B．1 C．
3
D．3
3．（4分）已知非零向量
a
，
b
，
c
，则“
acbc
”是“
ab
”的
(
)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：
cm)
，则该几何体的体积（单位：
cm
3
)
是
(
A．
3
2
B．3 C．
32
2
D．
32
x10
5．（4分）若实数
x
，
y
满足约束条件
xy0
，则
zx
1
2x3y10
2
y
的最小值是
(
)
A．
2
B．
31
2
C．
1
2
D．
10
6．（4分）如图，已知正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
，
M
，
N
分别是
A
1
D
，
D
1
B
的中点，则
(
2021年浙江省高考数学试卷+参考答案+详解详析 第1页（共24页）
)
)
A．直线
A
1
D
与直线
D
1
B
垂直，直线
MN//
平面
ABCD
B．直线
A
1
D
与直线
D
1
B
平行，直线
MN
平面
BDD
1
B
1
C．直线
A
1
D
与直线
D
1
B
相交，直线
MN//
平面
ABCD
D．直线
A
1
D
与直线
D
1
B
异面，直线
MN
平面
BDD
1
B
1
1
7．（4分）已知函数
f(x)x
2
，
g(x)sinx
，则图象为如图的函数可能是
(
)
4
A．
yf(x)g(x)
C．
yf(x)g(x)
1
4
1
B．
yf(x)g(x)
4
g(x)
D．
y
f(x)
1
的
2
8．（4分）已知
，
，
r
是互不相同的锐角，则在
sin
cos
，
sin
cos
，
sin
cos
三个值中，大于
个数的最大值是
(
)
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（4分）已知
a
，
bR
，
ab0
，函数
f(x)ax
2
b(xR)
．若
f(st)
，
f(s)
，
f(st)
成等比数列，
则平面上点
(s,t)
的轨迹是
(
)
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
10．（4分）已知数列
{a
n
}
满足
a
1
1
，
a
n1
a
n
1a
n
(nN*)
．记数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，则
(
)
2021年浙江省高考数学试卷+参考答案+详解详析 第2页（共24页）
A．
3
S
100
3
2
B．
3S
100
4
C．
4S
100
9
2
D．
9
S
100
5
2
二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分。
11．（4分）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的
一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形直角边的长分别为3，4，记大正方形的面积
为
S
1
，小正方形的面积为
S
2
，则
S
1
．
S
2
x
2
4,x2,
12．（4分）已知
aR
，函数
f(x)
若
f(f(6))3
，则
a
．
|x3|a,x2
13．（6分）已知多项式
(x1)
3
(x1)
4
x
4
a
1
x
3
a
2
x
2
a
3
xa
4
，则
a
1
；
a
2
a
3
a
4
．
14．（6分）在
ABC
中，则
AC
；
B60
，
AB2
，
M
是
BC
的中点，
AM23
，
cosMAC
．
15．（6分）袋中有4个红球，
m
个黄球，
n
个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为
，若取出的
两个球都是红球的概率为
1
1
，一红一黄的概率为，则
mn
，
E(
)
．
3
6
x
2
y
2
16．（6分）已知椭圆
2
2
1(ab0)
，焦点
F
1
(c,0)
，
F
2
(c,0)(c0)
．若过
F
1
的直线和圆
ab
1
(xc)
2
y
2
c
2
相切，与椭圆的第一象限交于点
P
，且
PF
2
x
轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离
2
心率是 ．
17．（4分）已知平面向量
a
，
b
，
c(c0)
满足
|a|1
，
|b|2
，
ab0
，
(ab)c0
．记平面向量
d
在
a
，
b
方向上的投影分别为
x
，
y
，
da
在
c
方向上的投影为
z
，则
x
2
y
2
z
2
的最小值是 ．
2021年浙江省高考数学试卷+参考答案+详解详析 第3页（共24页）
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（14分）设函数
f(x)sinxcosx(xR)
．
（Ⅰ）求函数
y[f(x
2
)]
2
的最小正周期；
（Ⅱ）求函数
yf(x)f(x
4
)
在
[0,
2
]
上的最大值．
2021年浙江省高考数学试卷+参考答案+详解详析
4页（共24页） 第
19．（15分）如图，在四棱锥
PABCD
中，底面
ABCD
是平行四边形，
ABC120
，
AB1
，
BC4
，
PA15
，
M
，
N
分别为
BC
，
PC
的中点，
PDDC
，
PMMD
．
（Ⅰ）证明：
ABPM
；
（Ⅱ）求直线
AN
与平面
PDM
所成角的正弦值．
2021年浙江省高考数学试卷+参考答案+详解详析
5页（共24页） 第
9
20．（15分）已知数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
a
1
，且
4S
n1
3S
n
9(nN*)
．
4
（Ⅰ）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）设数列
{b
n
}
满足
3b
n
(n4)a
n
0(nN*)
，记
{b
n
}
的前
n
项和为
T
n
，若
T
n
b
n
对任意
nN*
恒成立，
求实数
的取值范围．
2021年浙江省高考数学试卷+参考答案+详解详析
第6页（共24页）
21．（15分）如图，已知
F
是抛物线
y
2
2px(p0)
的焦点，
M
是抛物线的准线与
x
轴的交点，且
|MF|2
．
（Ⅰ）求抛物线的方程：
（Ⅱ）设过点
F
的直线交抛物线于
A
，
B
两点，若斜率为2的直线
l
与直线
MA
，
MB
，
AB
，
x
轴依次交
于点
P
，
Q
，
R
，
N
，且满足
|RN|
2
|PN||QN|
，求直线
l
在
x
轴上截距的取值范围．
2021年浙江省高考数学试卷+参考答案+详解详析
第7页（共24页）
22．（15分）设
a
，
b
为实数，且
a1
，函数
f(x)a
x
bxe
2
(xR)
．
（Ⅰ）求函数
f(x)
的单调区间；
（Ⅱ）若对任意
b2e
2
，函数
f(x)
有两个不同的零点，求
a
的取值范围；
blnbe
2
（Ⅲ）当
ae
时，证明：对任意
be
，函数
f(x)
有两个不同的零点
x
1
，
x
2
，满足
x
2
2
x
1
．
4
（注
:e2.71828
是自然对数的底数）
2021年浙江省高考数学试卷+参考答案+详解详析
2eb
8页（共24页） 第
2021年浙江省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．（4分）设集合
A{x|x1}
，
B{x|1x2}
，则
A
A．
{x|x1}
B．
{x|x1}
B(
)
C．
{x|1x1}
D．
{x|1x2}
B{x|1x2}
．故选
D
． 【解答】解：因为集合
A{x|x1}
，
B{x|1x2}
，所以
A
【点评】本题考查了集合交集的运算，解题的关键是掌握集合交集的定义，属于基础题．
2．（4分）已知
aR
，
(1ai)i3i(i
为虚数单位），则
a(
)
A．
1
B．1 C．
3
D．3
【解答】解：因为
(1ai)i3i
，即
ai3i
，
由复数相等的定义可得，
a3
，即
a3
．故选：
C
．
【点评】本题考查了复数相等定义的理解和应用，属于基础题．
3．（4分）已知非零向量
a
，
b
，
c
，则“
acbc
”是“
ab
”的
(
)
A．充分不必要条件
C．充分必要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当
ac
且
bc
，则
acbc0
，但
a
与
b
不一定相等，
故
abbc
不能推出
ab
，则“
acbc
”是“
ab
”的不充分条件；
由
ab
，可得
ab0
，则
(ab)c0
，即
abbc
，所以
ab
可以推出
abbc
，
故“
acbc
”是“
ab
”的必要条件．
综上所述，“
acbc
”是“
ab
”的必要不充分条件．故选：
B
．
【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，解题的关键是掌握平面向量的基本概念和基本运算，属
于基础题．
4．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：
cm)
，则该几何体的体积（单位：
cm
3
)
是
(
)
2021年浙江省高考数学试卷+参考答案+详解详析 第9页（共24页）
A．
3
2
B．3 C．
32
2
D．
32
【解答】解：由三视图还原原几何体如图，
该几何体为直四棱柱，底面四边形
ABCD
为等腰梯形，
其中
AB//CD
，由三视图可知，延长
AD
与
BC
后相交于一点，且
ADBC
，
且
AB22
，
CD2
，
AA
1
1
，等腰梯形的高为
AD
2
(
ABCD
2
22
)1()
2
，
222
123
则该几何体的体积
V(222)1
．故选：
A
．
222
【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
x10
1
5．（4分）若实数
x
，
y
满足约束条件
xy0
，则
zxy
的最小值是
(
)
2
2x3y10
A．
2
3
B．
2
1
C．
2
D．
1
10
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
x10
联立
，解得
A(1,1)
，
2x3y10
化目标函数
zx
1
y
为
y2x2z
，由图可知，当直线
y2x2z
过
A
时，
2
2021年浙江省高考数学试卷+参考答案+详解详析 第10页（共24页）
13
直线在
y
轴上的截距最大，
z
有最小值为
11
．故选：
B
．
22
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
6．（4分）如图，已知正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
，
M
，
N
分别是
A
1
D
，
D
1
B
的中点，则
(
)
A．直线
A
1
D
与直线
D
1
B
垂直，直线
MN//
平面
ABCD
B．直线
A
1
D
与直线
D
1
B
平行，直线
MN
平面
BDD
1
B
1
C．直线
A
1
D
与直线
D
1
B
相交，直线
MN//
平面
ABCD
D．直线
A
1
D
与直线
D
1
B
异面，直线
MN
平面
BDD
1
B
1
【解答】解：连接
AD
1
，如图：
由正方体可知
A
1
DAD
1
，
A
1
DAB
，
A
1
D
平面
ABD
1
，
A
1
DD
1
B
，由题意知
MN
为△
D
1
AB
的中位线，
MN//AB
，
又
AB
平面
ABCD
，
MN
平面
ABCD
，
MN//
平面
ABCD
．
A
对；
由正方体可知
A
1
D
与平面
BDD
1
相交于点
D
，
D
1
B
平面
BDD
1
，
DD
1
B
，
直线
A
1
D
与直线
D
1
B
是异面直线，
B
、
C
错；
MN//AB
，
AB
不与平面
BDD
1
B
1
垂直，
MN
不与平面
BDD
1
B
1
垂直，
D
错．故选：
A
．
2021年浙江省高考数学试卷+参考答案+详解详析 第11页（共24页）
【点评】本题考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理与性质，考查了逻辑推理核心素养，属于
中档题．
1
7．（4分）已知函数
f(x)x
2
，
g(x)sinx
，则图象为如图的函数可能是
(
)
4
A．
yf(x)g(x)
C．
yf(x)g(x)
1
4
1
B．
yf(x)g(x)
4
g(x)
D．
y
f(x)
【解答】解：由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数，
1
因为
f(x)x
2
为偶函数，
g(x)sinx
为奇函数，
4
函数
yf(x)g(x)
函数
yf(x)g(x)
1
x
2
sinx
为非奇非偶函数，故选项
A
错误；
4
1
x
2
sinx
为非奇非偶函数，故选项
B
错误；
4
11
函数
yf(x)g(x)(x
2
)sinx
，则
y
2xsinx(x
2
)cosx0
对
x(0,)
恒成立，
444
则函数
yf(x)g(x)
在
(0,)
上单调递增，故选项
C
错误．故选：
D
．
4
【点评】本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值
的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于中档
题．
8．（4分）已知
，
，
r
是互不相同的锐角，则在
sin
cos
，
sin
cos
，
sin
cos
三个值中，大于
个数的最大值是
(
)
2021年浙江省高考数学试卷+参考答案+详解详析 第12页（共24页）
1
的
2
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