2024年3月7日发(作者：含金量高的数学试卷推荐)
《米山国藏论数学的精神、思想和方法》节选
作者／来源：《作为教育任务的数学思想与方法》 发布时间：2010-12-13
无论对于科学的工作者、技术人员，还是数学教育工作者，最重要的数学的精神、思想和方法，而数学知识只是第二位的。
——米山国藏
米山国藏，日本著名数学家和数学教育家，他认为“科学工作者所需要的数学知识、相对的说是不多的，而数学的研究精神、数学的发明发现的思想方法、大脑的数学思维训练，对科学工作者是绝对必要的。”学生在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，很快就忘掉了。然而，不管他们将来从事什么工作，深深铭刻在心中的数学精神、数学的思维方法，研究方法、推理方法和看问题的着眼点，却能使他们终身受益。所以，数学的精神、思想和方法应是数学教育根本目的之所在。然而“现在的数学书籍，不论是教科书还是参考书，也不论是大部头的著作还是论文，都仅仅是记述了数学知识，可以说还没有一本论述数学的精神，数学的思想和数学的方法的著作。”于是，他亲自撰写《数学的精神、思想和方法》，“从较高的观点精辟地论述了贯穿于整个数学中的精神实质、重要的数学思想、各种重要的研究方法和证明方法，并为我们勾画出了整个近代数学的沿革和它多姿多彩的面貌；同时，对于如何向学生传授这些精神、思想、方法，提出了许多很好的见解。”
一、数学精神
关于什么是数学精神、米山国藏并没有给予精确回答，但从他所描述的“数
学精神”的活动，我们能领悟到数学精神就是处理问题的一般数学思维方法、习惯和数学研究方法。它概括了七种主要精神。这些精神在数学教学中应不失时机地向学生渗透。
1．
应用化的精神
数学应用化的精神体现在两个方面，一是数学自身内部的应用，二是对数学外部的应用。
数学开始从少数几个公理出发，将它们符合逻辑地作各种各样的组合；然后，一个接着一个地推导、证明出定理、公式；进而又应用它们去导出另外的定理、公式；同时用它们去解决各种问题，这些都是数学本身的应用。没有这种自身的应用，数学是无法发展的，也正是由于这种自身的应用，才创造出数学学科特有的逻辑严谨的结构体系，因而“应用化的精神是数学的生命”。
数学在自然科学、社会科学等外部领域中的应用越来越广泛。在自然科学领域中，特别是在物理学、天文学这两个学科中的应用最为显著。因此，X射
线的发现者伦琴指出：“对科学工作者必不可少的，第一是数学，第二是数学，第三还是数学。”
2．
扩张化、一般化的精神
数学工作者经常做的一个工作就是“推广”，看看将一个定理的条件或结论改变一下会
出现什么新的结果，这中间体现的就是扩张化、一般化的精神。数学教育中，由一组特例引导学生归纳猜想概括出一般结论，也体现着一般化精神。所以，数学研究工作者和数学教育工作者在工作中贯彻一般化的精神是非常重要的。
⑴数学概念的一般化
数学中的许多重要概念，随着时间的推移，从它最初的原始状态，被一次一次地扩张、推广，结果成为像今天这样广泛而精确的概念。函数概念就是一典型的例子。函数概念由基本概念经过多次扩张，逐步地扩大了函数的范围，而每一个新的函数概念又总是包括了以前的概念并逐步地有所推广，直到成为今天这样令人惊叹的广泛的函数概念。
⑵数学定理、法则的一般化
数学研究工作者在发现了某个新定理后，紧接着就应探求是否能将这个定理推广。若能成功地推广，则其研究就推进了一步——数学能用这个方法扩大其范围。
⑶某些数学分支的一般化
除了概念、定理、法则的一般化之外，某个数学分支也会一般化。米山国藏以初等几何的一般化过程和连续点集合论的一般化过程为例，说明了随着数学分支的细化和拓展，数学工具功能越来越强大，使不能解决的问题得以解决。
无论是数学的基本概念、定理、法则，还是数学各分支本身，许多都是以已知事项为基础，依赖于将其推广使其一般化的精神而实现的。所以，数学研究工作者在某项新研究中获得了新发现时，应以所得的结论为基础，考虑将它一般化，并以此去形成新的研究项目。不仅对数学研究，对整个科学的研究，甚至在科学以外的研究领域，贯彻一般化的精神都很重要。教师每当遇到一般化的好例子时，一定要给学生指出来，用以启发一般化的精神及揭示一般化的方法。教师应该让学生养成这样的习惯：从某个特殊的事项出发，努力改革它，使之成为能够适用于更一般的情形、更广泛的范围。
3．
组织化、系统化的精神
从数学历史发展的角度来看，数学是因人类生活（包括物质生活和精神生活）的需要而
产生的。数学内容开始是零散的、不系统的，随着数学的发展，数学家的不断创造，内容逐渐丰富起来，当达到一定规模时，数学家就开始将其组织化、系统化和结构化，从而形成一门学科。数学的发展过程可谓是由零散、孤立到组织化、系统化的过程。组织化，系统化是数学的一种重要精神。
⑴数学内容的组织化、系统化
数学内容组织化的第一个例子是几何内容的组织化，分别由不同的人彼此独立地发现的几何学的各个定理被欧几里的组织起来，使得它们能够由少数几个公理一个接一个地推导出来，从而第一次使之成为一门科学。第二个例子是数系的组织化，自然数是由计数物品的需要而产生的；分数是由表示等分后的物品的数量的需要而产生的；无理数是由开方或处理不可通约的数量的需要而产生的；负数、复数是求解方程的需要而产生的。如此等等，各有各的成因。随着人类认识水平的提高，这些数被科学地组织起来，构成了一个精巧而优美的数系体系。实际上，像上述情况，在数学忠随处可见。
⑵方法的组织化、系统化
关于自然数的加法、减法、乘法等运算，是由于人类生活的需要而自然地产生的，但若从适当的观点出发，将它们组织化，系统化，则它们之间也会有某种非常有趣的联系，并且可以看作是密切地结合成一体的。比如用同一种观点，能够由加法而引出乘法，由乘法而引出乘方运算，而它们的逆运算分别就是减法、除法和对数运算或开方运算。于是，我们可以看到，七种运算有不可分割的密切联系，而且可以认为，它们是由同一种观点（反复地对同一数施行同一运算的正运算和逆运算）组织化、系统化起来的。
⑶组织化精神的必要性
随着文化水平的日益提高，各种事物的日益复杂，组织化的活动就越来越显得必要，数学是组织严密的有机整体，因此，数学教育应努力利用数学的材料，一方面促进学生组织才能的提高；另一方面要让学生从中学习组织的方法和设计出某种组织的方法。
4．
数学的研究精神致力于发明、发现的精神
没有研究就没有创造，没有创造就没有进步，数学发展需要数学家、数学工作者不断地
研究创新，不断的发明发现。数学的研究创新精神、发明发现精神是推动数学发展的重要动力。米山国藏以三角形内角和的发现为例，探讨了发明、发现、研究的精神及方法的关系问题，指出数学教师及数学书籍的作者，应把潜在于数学中的研究精神、发现精神提炼出来使之表面化来培养学生创见性的头脑，只有很好做到这一点的人，才称得上是真正的数学教育工作者。
5．
数学中的统一建设的精神
数学中处处充满着统一性。米山国藏提出了九个方面的统一性：
第一，
呈现在表面上的统一性；
第二，
隐藏着的统一性；
第三，
探求简单图形和复杂图形性质的方针、方法的统一性；
第四，
作图方法的统一性；
第五，
无论表面上看来多么不同，同类问题都可用同样的方法处理；
第六，
内分和外分情形的统一性；
第七，
分不同情形讨论问题时，其处理方法的统一性；
第八，
由公理数学而引起的数学分支学科的统一性；
第九，
由变量范围的扩大而引起的函数的统一性。
数学教育应适当追求统一性和一致性。
6．
严密化的精神
严密性是数学的一个突出特点，不管对于纯数学来说，还是对于数学教育而言，严密性
都是至关重要的，但教育的严密性应当考虑适合于学生的心理发展水平，固执地把科学的严密性作为数学教育的生命是愚蠢的。
7．
思想的经济化精神
数学是由简单明了的是享誉逻辑推理的结合一步一步构成的，要理解定理甲，就一定要用到在定理甲前所学的某些定理和法则。所以，学习数学的人只要注意老老实实地一步一步地去理解，并同时记住其要点以备以后之需，就一定能理解其全部内容，将数学学好。这是数学的一大特征：若依其道而行，则无论什么人都能理解它；若反其道而行，则无论多么聪明的人都无法理解它。这一特征指出了学习数学的经济化道路。
数学常被看成是形式化的语言，事实上，数学使用了比其他任何科学都要多得多的术语和记号，正是数学中的定义和大量符号的使用，使数学能够帮助实现“人类思想表达的经济化。”一方面，定义是为了正确地规定数学中使用的术语的意义，这是数学的严密性所要求的；另一方面，也是为了把很多思想，概念用几个字就简洁地表达出来。多边形“相似”的数学定义体现了后面这一点：在边数相等的两个多边形中，若它们的内角依次相等，并且对应边成比例，则称这两个多边形相似。在这个定义中，至少包含了“多边形”“内角”“顺序（依次）”“角相等”“边数相等”和“成比例”的概念，而这些概念在它们各自的定义中又包含了其他许多概念。若不用这些数学术语来表达相似的意义，而用普通的语言来完整地表示它，那就一定变得冗长复杂难以理解，其内容也会混淆不轻。
现只用了简单的两个字“相似”来表示它，而且赋予其含义以“数学的明确性”和“数学的严密性”，从而易于进行思维活动及构成思想，这首先应归功于这个“定义”。数学中用简洁的“文字”表达具有复杂内容的“事物”或“关系”的同时，还采用简单的“记号”来表示它们，例如用符号“∽”表示“相似”。
研究用这种术语或记号所标示的“事物”间存在的关系以及这些事物所具有的性质，并把它们应用于各种对象，是数学研究的任务之一。在这种研究中，使用简单的记号，就为处理问题提供了方便。使用记号来表达思想以及思想活动的过程，比起不用记号只用术语来作讨论记述远为方便和明确，并且在思想上、时间上或者记述的篇幅上都远为经济，这在很多情形中都是显而易见的。
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