2024年3月24日发(作者：清华考研数学试卷答案详解)
2013-2022北京中考真题数学汇编
平行四边形
一、单选题
1
．（
2015·
北京
·
中考真题）如图，公路
AC
，
BC
互相垂直，公路
AB
的中点
M
与点
C
被湖隔开，若测得
AM
的长为
1.2km
，则
M
、
C
两点间的距离为（
）
A
．
0.5km
二、填空题
B
．
0.6km C
．
0.9km D
．
1.2km
2
．（
2021·
北京
·
中考真题）如图，在矩形
ABCD
中，点
E,F
分别在
BC,AD
上，
AFEC
．只需添加一个条件即可
证明四边形
AECF
是菱形，这个条件可以是
______________
（写出一个即可）．
3
．（
2019·
北京
·
中考真题）把图
1
中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如
图
2
，图
3
所示的正方形，则图
1
中菱形的面积为
______
．
4
．（
2019·
北京
·
中考真题）在矩形
ABCD
中，
M
，
N
，
P
，
Q
分别为边
AB
，
BC
，
CD
，
DA
上的点（不与端点重
合），对于任意矩形
ABCD
，下面四个结论中，
①存在无数个四边形
MNPQ
是平行四边形；
②存在无数个四边形
MNPQ
是矩形；
1 / 26
③存在无数个四边形
MNPQ
是菱形；
④至少存在一个四边形
MNPQ
是正方形．
所有正确结论的序号是
______
．
5
．（
2013·
北京
·
中考真题）如图，
O
是矩形
ABCD
的对角线
AC
的中点，
M
是
AD
的中点．若
AB5
，
AD12
，
则四边形
ABOM
的周长为
_______.
三、解答题
6
．（
2022·
北京
·
中考真题）如图，在
ABCD
中，
AC，BD
交于点
O
，点
E，F
在
AC
上，
AECF
．
(1)
求证：四边形
EBFD
是平行四边形；
(2)
若
BACDAC,
求证：四边形
EBFD
是菱形．
7
．（
2022·
北京
·
中考真题）在
ABC
中，
ACB90
，
D
为
ABC
内一点，连接
BD
，
DC
，延长
DC
到点
E
，使得
CEDC.
(1)
如图
1
，延长
BC
到点
F
，使得
CFBC
，连接
AF
，
EF
，若
AFEF
，求证：
BDAF
；
(2)
连接
AE
，交
BD
的延长线于点
H
，连接
CH
，依题意补全图
2
，若
AB
2
AE
2
BD
2
，用等式表示线段
CD
与
CH
的数量关系，并证明．
8
．（
2020·
北京
·
中考真题）在
ABC
中，∠
C=90°
，
AC
＞
BC
，
D
是
AB
的中点．
E
为直线上一动点，连接
DE
，过
点
D
作
DF
⊥
DE
，交直线
BC
于点
F
，连接
EF
．
2 / 26
（
1
）如图
1
，当
E
是线段
AC
的中点时，设
AEa,BFb
，求
EF
的长（用含
a,b
的式子表示）；
（
2
）当点
E
在线段
CA
的延长线上时，依题意补全图
2
，用等式表示线段
AE
，
EF
，
BF
之间的数量关系，并证
明．
9
．（
2020·
北京
·
中考真题）如图，菱形
ABCD
的对角线
AC
，
BD
相交于点
O
，
E
是
AD
的中点，点
F
，
G
在
AB
上，
EF
⊥
AB
，
OG
∥
EF
．
（
1
）求证：四边形
OEFG
是矩形；
（
2
）若
AD=10
，
EF=4
，求
OE
和
BG
的长．
10
．（
2018·
北京
·
中考真题）如图，在正方形
ABCD
中，
E
是边
AB
上的一动点（不与点
A
、
B
重合），连接
DE
，
点
A
关于直线
DE
的对称点为
F
，连接
EF
并延长交
BC
于点
G
，连接
DG
，过点
E
作
EH
⊥
DE
交
DG
的延长线于点
H
，连接
BH
．
（
1
）求证：
GF=GC
；
（
2
）用等式表示线段
BH
与
AE
的数量关系，并证明．
3 / 26
11
．（
2018·
北京
·
中考真题）如图，在四边形
ABCD
中，
AB//DC
，
ABAD
，对角线
AC
，
BD
交于点
O
，
AC
平分
BAD
，过点
C
作
CEAB
交
AB
的延长线于点
E
，连接
OE
．
（
1
）求证：四边形
ABCD
是菱形；
（
2
）若
AB5
，
BD2
，求
OE
的长．
12
．（
2018·
北京
·
中考真题）下面是小东设计的
“
过直线外一点作这条直线的平行线
”
的尺规作图过程．
已知：直线及直线外一点
P
．
求作：
PQ
，使得
PQ
作法：如图，
l
．
①在直线上取一点
A
，作射线
PA
，以点
A
为圆心，
AP
长为半径画弧，交
PA
的延长线于点
B
；
②在直线上取一点
C
（不与点
A
重合），作射线
BC
，以点
C
为圆心，
CB
长为半径画弧，交
BC
的延长线于点
Q
；
③作直线
PQ
．
所以直线
PQ
就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（
1
）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（
2
）完成下面的证明．
4 / 26
证明：∵
AB
_______
，
CB
_______
，
∴
PQl
（
____________
）（填推理的依据）．
13
．（
2017·
北京
·
中考真题）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的
“
从长方形对角线上任一点作两条分
别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）
”
这一推论，他从这一推论出发，利用
“
出入相补
”
原理复原了《海岛算经》九题古证
.,
（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）
请根据上图完成这个推论的证明过程．
证明：
S
矩形
NFGD
=S
△
ADC
-
（
S
△
ANF
+S
△
FGC
），
S
矩形
EBMF
=S
△
ABC
-
（
____________+____________
）．
易知，
S
△
ADC
=S
△
ABC
，
_____________=______________
，
______________=_____________
．
可得
S
矩形
NFGD
= S
矩形
EBMF
．
14
．（
2017·
北京
·
中考真题）如图，在四边形
ABCD
中，
BD
为一条对角线，
AD∥BC
，
AD2BC
，
ABD90
，
E
为
AD
的中点，连接
BE
．
(1)
求证：四边形
BCDE
为菱形；
(2)
连接
AC
，若
AC
平分
BAD
，
BC1
，求
AC
的长．
15
．（
2016·
北京
·
中考真题）如图，四边形
ABCD
是平行四边形，
AE
平分∠
BAD
，交
DC
的延长线于点
E
．求证：
DA=DE
．
5 / 26
16
．（
2016·
北京
·
中考真题）如图，在四边形
ABCD
中，∠
ABC=90°
，
AC=AD
，
M
，
N
分别为
AC
，
CD
的中点，
连接
BM
，
MN
，
BN
．
（
1
）求证：
BM=MN
；
（
2
）∠
BAD=60°
，
AC
平分∠
BAD
，
AC=2
，求
BN
的长．
17
．（
2015·
北京
·
中考真题）在
ABCD
，过点
D
作
DE
⊥
AB
于点
E
，点
F
在边
CD
上，
DF
＝
BE
，连接
AF
，
BF.
（
1
）求证：四边形
BFDE
是矩形；
（
2
）若
CF
＝
3
，
BF
＝
4
，
DF
＝
5
，求证：
AF
平分∠
DAB.
18
．（
2014·
北京
·
中考真题）在正方形
ABCD
外侧作直线
AP
，点
B
关于直线
AP
的对称点为
E
，连接
BE
，
DE
，其
中
DE
交直线
AP
于点
F
．
（
1
）依题意补全图
1
．
（
2
）若
PAB20
，求
ADF
的度数．
（
3
）如图
2
，若
45PAB90
，用等式表示线段
AB
，
FE
，
FD
之间的数量关系，并证明．
6 / 26
19
．（
2013·
北京
·
中考真题）如图，在
ABCD
中，
F
是
AD
的中点，延长
BC
到点
E
，使
CE=
2
BC
，连结
DE
，
1
CF
．
（
1
）求证：四边形
CEDF
是平行四边形；
（
2
）若
AB=4
，
AD=6
，∠
B=60°
，求
DE
的长．
7 / 26
参考答案
1
．
D
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得．
【详解】解：根据题意可得，
AM=1.2
，
∵
M
为中点，
∴
AB=2AM=2.4
，
1
AB1.2
2
∴
CM=
故选：
D
．
【点睛】题目主要考查直角三角形斜边上的中线的性质，理解题意，熟练掌握运用这个性质是解题关键．
2
．
AFAE
（答案不唯一）
【分析】由题意易得四边形
AECF
是平行四边形，然后根据菱形的判定定理可进行求解．
【详解】解：∵四边形
ABCD
是矩形，
∴
AD//BC
，
∵
AFEC
，
∴四边形
AECF
是平行四边形，
若要添加一个条件使其为菱形，则可添加
AFAE
或
AE=CE
或
CE=CF
或
AF=CF
，理由：一组邻边相等的平行四
边形是菱形；
故答案为
AFAE
（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查菱形的判定定理、矩形的性质及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定定理、矩形的性质
及平行四边形的判定是解题的关键．
3
．
12
xy5
【分析】由菱形的性质得出
OA=OC
，
OB=OD
，
AC
⊥
BD
，设
OA=x
，
OB=y
，由题意得：
，解得：
xy1
x3
，得出
AC=2OA=6
，
BD=2OB=4
，即可得出菱形的面积．
y2
【详解】解：如图
1
所示：
8 / 26
∵四边形
ABCD
是菱形，
∴
OA=OC
，
OB=OD
，
AC
⊥
BD
，
设
OA=x
，
OB=y
，
xy5
x3
由题意得：
，解得：
，
xy1
y2
∴
AC=2OA=6
，
BD=2OB=4
，
∴菱形
ABCD
的面积
=
故答案为
12
．
【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正方形和菱形的性质，由题意
列出方程组是解题的关键．
4
．①②③
【分析】根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：①如图，∵四边形
ABCD
是矩形，连接
AC
，
BD
交于
O
，
∴
OA=OB=OC=OD
，
AB
∥
CD
，
AD
∥
BC
，
∴∠
OBM=
∠
ODP
，∠
OAQ=
∠
OCN
，
过点
O
的直线
MP
和
QN
，分别交
AB
，
BC
，
CD
，
AD
于
M
，
N
，
P
，
Q
，
∴∠
BOM=
∠
DOP
，∠
AOQ=
∠
CON
，
所以△
BOM
≌△
DOP
（
ASA
），△
AOQ
≌△
CON
（
ASA
），
所以
OM=OP
，
OQ=ON
，
则四边形
MNPQ
是平行四边形，
故存在无数个四边形
MNPQ
是平行四边形；故正确；
9 / 26
11
ACBD6412
；
22
②如图，当
PM=QN
时，四边形
MNPQ
是矩形，故存在无数个四边形
MNPQ
是矩形；故正确；
③如图，当
PM
⊥
QN
时，存在无数个四边形
MNPQ
是菱形；故正确；
④当四边形
MNPQ
是正方形时，
MQ=PQ
，
则△
AMQ
≌△
DQP
，
∴
AM=QD
，
AQ=PD
，
∵
PD=BM
，
∴
AB=AD
，
∴四边形
ABCD
是正方形，
当四边形
ABCD
为正方形时，四边形
MNPQ
是正方形，故错误；
故正确结论的序号是①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题
的关键．
5
．
20
【分析】先由
AB5
，
AD12
得到
AC13
，然后结合矩形的性质得到
OB6.5
，再结合点
O
和点
M
分别是
AC
和
AD
的中点得到
OM
和
AM
的长，最后得到四边形
ABOM
的周长．
【详解】解：
AB5
，
CD5
，
∵AD12
，
D90
，
AC13
，
10 / 26
点
O
和点
M
分别是
AC
和
AD
的中点，
OB6.5
，
AM
1
AD6
，
OM
是
ACD
的中位线，
2
1
OMCD2.5
，
2
C
四边形ABOM
ABBOOMMA56.52.5620
．
故答案为：
20
．
【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，解题的关键是熟知矩形的性质．
6
．
(1)
见解析
(2)
见解析
【分析】（
1
）先根据四边形
ABCD
为平行四边形，得出
AOCO
，
BODO
，再根据
AECF
，得出
EOFO
，
即可证明结论；
（
2
）先证明
DCADAC
，得出
DADC
，证明四边形
ABCD
为菱形，得出
ACBD
，即可证明结论．
（
1
）
证明：∵四边形
ABCD
为平行四边形，
∴
AOCO
，
BODO
，
∵
AECF
，
∴
AOAECOCF
，
即
EOFO
，
∴四边形
EBFD
是平行四边形．
（
2
）
∵四边形
ABCD
为平行四边形，
∴
AB∥CD
，
∴
DCABAC
，
∵
BACDAC,
∴
DCADAC
，
11 / 26
∴
DADC
，
∴四边形
ABCD
为菱形，
∴
ACBD
，
即
EFBD
，
∵四边形
EBFD
是平行四边形，
∴四边形
EBFD
是菱形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握菱形和平行四边
形的判定方法，是解题的关键．
7
．
(1)
见解析
(2)
CDCH
；证明见解析
【分析】（
1
）先利用已知条件证明
FCEBCD
SAS
，得出
CFE
可证明
BDAF
；
（
2
）延长
BC
到点
M
，使
CM
＝
CB
，连接
EM
，
AM
，先证
MECBDC
SAS
，推出
MEBD
，通过等量代换得
到
AM
2
AE
2
ME
2
，利用平行线的性质得出
BHE
得到
CDCH
．
（
1
）
证明：在
△FCE
和
△BCD
中，
AEM90
，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可
CBD
，推出
EF∥BD
，再由
AFEF
即
CECD
FCEBCD
，
CFCB
∴
FCEBCD
SAS
，
∴
CFECBD
，
∴
EF∥BD
，
∵
AFEF
，
∴
BDAF
．
（
2
）
解：补全后的图形如图所示，
CDCH
，证明如下：
12 / 26
延长
BC
到点
M
，使
CM
＝
CB
，连接
EM
，
AM
，
∵
ACB90
，
CM
＝
CB
，
∴
AC
垂直平分
BM
，
∴
ABAM
，
在
MEC
和
BDC
中，
CMCB
MCEBCD
，
CECD
∴
MECBDC
SAS
，
∴
MEBD
，
CME
∵
AB
2
AE
2
BD
2
，
∴
AM
2
AE
2
ME
2
，
∴
AEM90
，
∵
CMECBD
，
CBD
，
∴
BH∥EM
，
∴
BHE
∵
CECD
AEM90
，即
DHE90
，
1
DE
，
2
∴
CH
1
DE
，
2
∴
CDCH
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三
角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明
DHE90
是解题的关键．
13 / 26
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