数学究竟是什么

2023年12月8日发(作者：修改高考数学试卷)

数学究竟是什么

胡典顺

【摘 要】自古希腊以来,数学哲学就试图诠释\"数学是什么\".随着数学的不断发展,人们对数学认识的不断深入.数学是一个复杂的多元体,任何从数学的某些特征对数学进行的描述都是不完善的.它们要么过于狭窄,要么过于宽泛.数学是关于模式而不只是关于数或形的科学.数学观与数学教育活动密切相关.有什么样的数学观,就有什么样的数学教育观.

【期刊名称】《数学教育学报》

【年(卷),期】2011(020)001

【总页数】4页(P76-79)

【关键词】数学;传统认识;现代隐喻;启示

【作 者】胡典顺

【作者单位】华中师范大学数学与统计学学院,湖北,武汉,430079

【正文语种】中 文

【中图分类】G421

数学是什么？对于一般人来说，数学是计算，数学是做题，数学是公式和命题，数学是逻辑，数学是莫名其妙的符号，甚至数学是“七只头的怪兽”（the beast

with seven heads）[1]．哲学家或数学家又怎样回答呢？英国哲学家威廉·哈密尔顿（William Hamilton）认为：“数学是一门无任何意义的学科，历史事实证明，对于人的智力的进步来说，数学起的作用比任何其它学科起的作用都小．”然而，莱布尼兹却说：“数学是人类智慧的光荣．”“数学是什么”看似是纯理论问题．其实，对于数学教育来说却是很实际、很重要的问题．然而，许多数学教师自从站上三尺讲台就埋头于“题海”，对于“数学是什么”这样的基本问题很少思考．对“数学是什么”不同的回答对应不同的立足点，表明不同的数学观．

1 传统认识

在国内，对于“数学是什么”的回答，恩格斯对数学的定义影响很大．“纯数学是以现实世界的空间形式和数量关系，也就是说，以非常现实的材料为对象的．”[2]例如，吴文俊教授为《中国大百科全书·数学卷》所写的学科条目“数学”中指出：“数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的，简单地说，是研究数和形的科学．”从某种意义来说，“数学是形和数的科学”的观点是一些数学工作者比较认可的观点．陈建功在“20世纪的数学教育”一文中认为，学了数学，学生就能够分析和理解思想和行为习惯上所不可缺的“数量与空间的关系”，也反映了这样的数学观．然而，很多数学家并不认同这样的观点．外尔说：“从不可追溯的古代起，数学就被看作是关于量的科学，或者是关于空间与数的科学．今天在考虑射影几何和群论这样一些领域时，这种观点就显得太狭隘了．”[3]

古希腊人最早从事了较为系统的哲学研究．在柏拉图那里，知识就是真理．真正的知识只有一种：数学知识．柏拉图主义认为，数学研究的对象尽管是抽象的，却是客观存在的，而且是不依赖于时间、空间和人的思维而永恒存在的．数学家提出的概念不是创造，而是对这种客观存在的描述．柏拉图主义在数学实践中有很大的影响，数学哲学家赫什（Reuben Hersh）指出，一个典型的“正在工作的数学家”在工作日是个柏拉图主义者，在星期天则是形式主义者．换言之，当他搞数学时，他确信正在研究一种客观的实在，正在试图决定它的性质．但是，当被问及这实在的哲学含义时，他能够用来防身的最简单的盾却是：他根本不相信数学的实在性[4]．然而，亚里士多德却说：“数学是搞抽象概念的，而抽象概念则来自实物的属性．”[5]这就是说，数学受经验的检验．卡尔. B. 波耶指出：“他（亚里士多德）还进一步用语法直观主义代替了柏拉图的数学理性主义……他不像柏拉图那样把一条几何的线看作一种先于和独立于实际经验的观念．”[6]对于“数学是什么”，最著名的回答莫过于毕达哥拉斯学派的“万物皆数”，即数是世界万物的本原．产生于11世纪的唯名论认为，数不过是符号，是名称．数不存在于客观世界，只存在于纸上、黑板上或思考它的人的头脑之中．说得更具体一些就是这样一种观点，它认为不存在能够等同一数的抽象实体[7]．康德把人的先天认识能力分为感性、知性和理性3种．按照康德的观点，数是人总结经验创造出来的，可是人要靠先天的直观才能把它创造出来．约定论的观点是现代西方逻辑实证主义哲学中的看法之一．这种观点认为，数学的公理、符号、对象、结论的正确性，无非是人们之间的一种约定．按约定的规则承认什么是存在的，什么是不存在的；什么是正确的，什么是不正确的．

以罗素和弗雷格为代表的逻辑主义认为：数学就是逻辑．罗素指出：“所有纯粹数学，既然它能从自然数的理论演绎出来，就不过是逻辑的延伸．并且即使是不能从自然数的理论演绎出来的数学的现代分支，将以上的结论推广到它们，也没有原则上的困难．”“逻辑是数学的少年时代，数学是逻辑的成人时代．”[8]然而，小平邦彦却说：“实际上，数学与逻辑没有什么关系．”“数学在本质上与逻辑不同．”[9]以布劳威尔为代表的直觉主义认为：数学是独立于物质世界的直觉构造，即数学对象是人靠智力活动构造出来的．只有建立在“数学直觉”之上的数学才是真正可靠的．从而，他们就否定了柏拉图主义“自然数是客观存在”的观点，否定实无穷．并且，他们否认“排中律”在数学中的应用，认为排中律不是普遍有效的．以希尔伯特为领袖的形式主义认为，每一门数学都有其公理系统，因此，可以用有穷方法直接证明公理系统的无矛盾性．尽管如此，形式主义与唯名论、约定论在哲学上观点并不一样．形式主义认为，数学是有其实质内容的，而且数学对象是可以客观存在的，只不过使数学推理严格化的手段是形式化方法．布尔巴基学派认为：“数学科学的内部演化，尽管表面看来光怪陆离，却使其各个不同的组成部分聚集在一起形成更为密集的统一体，好像创造出某种类乎中心核的东西，它比以往任何时候都更加紧密．”“数学好像一座大城市，它的郊区在周围的土地上不停地有点杂乱无章地向外扩展，同时市中心隔一段时期就进行重建，每一次设计更加明确，布局更加雄伟，总是以老的住宅区和它们迷宫式的小街道为基础，通过更直、更宽、更舒适的林荫大道通往四面八方．”[10]这就是说，数学是一门统一的科学，可以按照“数学结构”的原理将数学的各个分支加以分类，这就是所谓的“结构主义”．

2 现代隐喻

随着数学的不断发展，人们对数学认识的不断深入，近年来人们对“数学是什么”的认识更加深入．数学是一种比喻．曼宁（Manin）说：“将数学视为一种比喻，我想强调的是：对数学知识的诠释是具有高度创造性的行为．在某种程度上，数学是一部关于自然和人类的小说．”[11]代数比算术优越，因为具有更好的比喻效果．同样，数学抽象本身就是一种比喻，可以叫做数学比喻．一个概念或理论的好坏是这种比喻是否成功的标志．数学是一种文化．“数学知识是一种文化传统，而数学活动就其性质来说是社会性的．”[12]哈蒙德（Hammond）说，数学是看不见的文化．数学代表人类心灵最高成就之一，是心（逻辑）对物（科学）的胜利．M·克莱因也说：“数学本身就是一个充满活力的繁荣的文化分支．”[13]数学是一种艺术．将数学视为艺术主要从两个方面来说明，一是数学的创作方式与艺术类似；二是数学成果的作用也与艺术类似．波雷尔（Borel）指出：“数学在很大程度上是一门艺术，它的发展总是起源于美学准则、受其指导、据以评价的．”[14]哈代（Hardy）也认为，如果数学有什么存在权利的话，那就是只是作为艺术而存在．哈尔莫斯（Halmos）是另一位鼓吹数学是创造性艺术的人．他说：数学是创造性的艺术，因为数学家创造了美好的新概念；数学是创造性的艺术，因为数学家像艺术家一样地生活，一样地工作，一样地思索；数学是创造性的艺术，因为数学家这样对待它[15]．M·克莱因说：“在自古希腊以来的若干世纪里，数学一直是一门艺术，数学工作必须满足审美要求．”[13]阿蒂亚（Atiyah）说：“数学是一门艺术，是一门通过发展概念和技巧以使人们更为轻快地前进从而避免靠蛮力计算的艺术．”[16]数学是一种语言．从它的结构和内容来看，这是一种比任何国家的语言都要完善的语言．实际上，数学是语言的语言．通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界的保护者在讲演[17]．海默（Haimo）说：“数学为其它学科提供了一种严密而简洁的语言，能够有效地描写基本结果以及自然现象．”[18]丘成桐说：“数学是基本语言．时空的语言是几何，天文的语言是微积分，量子力学要透过算子理论来描述，而波动理论则靠Fourier分析来说明．”[19]数学是一种方法．数学能使人们的思维方式严格化，养成有步骤地进行推理的习惯．人们通过学习数学，使自己的理智获得逻辑推理的方法，由此他们就可能去把知识进行推广和发展．M·克莱因指出：“从更本质的层面来说，数学主要地是一种方法．它具体体现在数学的各个分支中……通过探讨这些分支的共同结构，对这种方法的显著特征将会有一个清楚的了解．”[13]数学是一种思维．它牢固地扎根于人类智慧之中，即使是原始民族，也会在某种程度上表现出这种数学思维的能力，并且随着人类文明的发展而发展……数学表现了人类思维的本质和特征，并在任何国家与民族的文明中都会有所体现，因而在当今意义下，任何一种完善的形式化思维，都不能忽略这种数学思维形式[17]．数学是一种创造．在许多数学家看来，数学是人类精神的自由创造物．小平邦彦说：“数学是人类精神的自由创造物．”[20]很多科学家持这样的观点．集合论创始人康托一语道破，数学的本质在于自由．爱因斯坦确信，数学是人类思想的产物．当然，自由必须伴以责任，即对数学的严肃目的负责．也就是说，数学不是任意地被创造的．

3 数学究竟是什么

数学究竟是什么？严格地说，这个问题是没有答案的，至少没有满意的答案．人们只能试图给出部分答案和解释．因为随着数学在不同历史时期的发展，数学的含义逐步变化，内涵越来越丰富．历史上尽管许多人给数学下了定义，但没有人能够真正成功．一般来说，人们知道数学是用模型、关系和运算来处理数和图形的，在形式上它包含公理、证明、引理、定理，从阿基米德时代起就没有变过，还知道数学是用来构成一切理性思维的基础的．其实，试图给数学下定义所遇到的困难看来主要来自这样的假设，即认为数学就其本质而言是绝对的、不随时间和地点而改变的事物．然而数学的发展表明，数学并不是这样的事物．罗素说过，数学可以定义为这样一门学科：“我们不知道在其中我们说的是什么，也不知道我们说的是否正确．“数学家们不知道自己所说的是什么，因为纯数学与实际意义无关；数学家们从不知道他们所说的是否正确，因为作为一位数学家，他们从不费心去证实一个定理是否与物质世界相符．当然，也可以从另一个角度来理解这句话．在《数学原理》中，罗素和怀特海希望重造数学，认为数学是逻辑思维的一种智力运用．这样看来，这句话极好地体现了罗素对于整个数学领域的态度．罗素认为内容与真理不是数学家研究的范畴，所有的问题都在于定理是否由公理逻辑推导，以及公理之间是否逻辑相容．物理学是关于物理世界的学问，生物学探索生命的奥秘，历史学讨论人类的过去，数学是什么？提出这个问题绝不是为了诡辩，因为不同的哲学态度和价值标准对数学特性与目标的认识，会出现不一致性和不确定性．

“数学是什么”是一个综合性的、不断发展的、与时代紧密联系的哲学问题．在数学发展过程中不可能有固定的、永恒的答案．用几句话给“数学是什么”一个恰当的回答，不是一件容易的事．无论是对数学的传统认识，还是对数学的现代解释，都不能过分强调数学的一方面，而忽视数学的另一方面，这样是很难给数学一个较为确切的定义的．如果一定要给数学下一个定义的话，研究者还是比较赞同这样的观点：“数学是关于模式的科学．”很多数学家和数学哲学家持有这样的观点，例如，怀特海在《数学与善》中写道：数学的本质特征就是“在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究”．《今日数学》、《明日数学》的主编，斯蒂恩指出：“数学是模式的科学．”“如果模式是数学的全部，那么数学的这种‘异乎寻常的作用’可能完全是寻常的了．”[21]哈代也说：“一位数学家就像一位画家或诗人，是模式（pattern）的创造者．如果他的模式比画家或诗人的模式的生命更加长久的话，那是因为他的模式是用思想（idea）所创造的．”[22]可以说，这一观点较好地刻画了数学的本质．这里的“模式”其实是广义的量，它不仅包括现实世界中的“数”与“形”，而且还包括数学抽象后的各类模型和结构．可以说，数学探求的是一些结构与模式，它们能为宇宙带来次序，并使它简单明了．数学的本质特征就是在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究．数学家在数、空间、科学、计算机以及想象中寻求模式和数学理论解释模式间的关系．例如，函数与映射将一类模式与另一类模式联系起来，产生持久的数学结构．数学应用则是利用这些模式解释和预测符合它们的自然现象．模式可以启发新的模式，常常产生模式的模式．通过这种方式，数学按其自身的逻辑，从科学的模式开始，通过添加由此派生的所有模式而结束．特别地，就数学是模式的科学而言，计算机并没有像改变数学的范围那样改变数学的实质，计算机之于数学就像望远镜和显微镜之于科学．计算机极大增加了数学家所研究的模式．当模式增加时，数学的应用和数学分支之间的相互联系也在增加．数学之所以有不同寻常的为科学研究提供正确模式的能力，其原因可能在于数学家所研究的模式就是所有可能存在的模式[21]．如果说数学家就像画家或诗人，是模式的创造者．如果他的模式比画家或诗人的模式的生命更加长久的话，那是因为他的模式是用思想所创造的．数学与“现实世界”之间关系最奇特也是最鲜明的一个特征，在于好的数学终究是有用的．为什么会这样，有各种各样的理论：从人类心智的结构，到宇宙在某种程度上是由少许数学构件建立的思想．答案可能相当简单：“数学是关于模式的科学，大自然中的模式应有尽有．”[23]

4 对数学教育的启示

数学观与数学教育活动密切相关．有什么样的数学观，就有什么样的数学教育观．林夏水先生指出：“从事数学工作的人，如果认为数学是一门演绎的科学，那么他就不会去关心实践提出的数学问题，而专注数学的逻辑问题；反之，如果认为数学是一门经验的科学，他就不会去关注数学的逻辑问题，而关心实践提出的数学问题；如果认为数学是一门经验性与演绎性辩证统一的科学，他就会既关心实践提出的数学问题又关心数学的逻辑问题．”[24]所以，不同的数学观对应着教学方式的不同选择，必然影响到师生关系的互动，影响到数学教学方式的评价．然而，在数学教学过程中，绝大多数教师对数学的关注，主要集中在对数学知识的理解、组织、传递和运用上．部分教师对数学本质缺乏了解，甚至出现一些错误的认识．从“数学是什么”的历史考察中可以发现，数学寻求理解遍及周围的物质世界，以及思想中的各种模式．数学是关于模式而不只是关于数或形的科学．可以说，数学随着时代的发展而发展，其内涵不断丰富；数学是可纠正的而不是绝对的，和其它科学一样，数学可以通过犯错误、改正、再改正而得到发展；作为人类文化遗产一部分的数学，它是人类文化和智慧成就中最伟大的一部分．在数学教学中，只有把握数学的内涵，才能避免教学方式呆板和单一，才能提高数学教育的质量；只有理解数学的本质，才能理解数学课程标准提出的理念，才能真正达成新课程提出的要求．

［参 考 文 献］

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