高斯定理

2023年12月26日发(作者：新乡2022二模数学试卷)

授课题目

首次授课时间

高斯定理

年 月 日

授课类型

学时

新授

2

1 电通量的概念及其求解

教学目标

2 高斯定理的内容

重点与难点

教学手段与方法

高斯定理的内容及应用

目标教学法 多媒体教学

教学过程：（包括授课思路、过程设计、讲解要点及各部分具体内容、时间分配等）

新课导入：上节课学习了不同形状的带电体的场强求解，不难发现求解时微积分给我们带来了很大的麻烦，这节课我们学习用高斯定理法来求解电场强度。

开门见山导入

重点强调

一、高斯定理的推导

高斯（K. F. Gauss, 1777-1855）是德国物理学家和数学家，他在实验物理和理论物理以及数学方面都作出了很多贡献，他导出的高斯定理是电磁学的一条重要规律，是静电场有源性的完美的数学表达。

高斯定理是用E通量表示的电场和场源电荷关系的定理，它给出了通过任意闭合曲面的E通量与闭合曲面内部所包围的电荷的关系。为了使大家熟练掌握高斯定理及其相关知识，下面给出高斯定理的全部推导过程。

我们先讨论在一个点电荷的电场中，各种可能的闭合曲面的E通量。如下图，在点电荷q所激发的电场中有一个球面S，它以q为中心，r为半径。我们知道，点电荷在球面上任意点处的电场强度方向都是沿着矢径r的方向，因而处处与球面垂直。根据点电荷电场公式和闭合曲面电场强度通量计算公式，可得通过这个球面的E通量为

高斯定理推导用图

其结果与球面半径r无关，只与它所包围的电荷的电量有关。这表明任意以点电荷q为心的任何一个球面上的E通量都是相等的，意味着电场线确实是从点电荷q连续地延伸到无穷远处的。根据E通量就是穿过曲面的电场线条数的定义可知，一个正点电荷能发出的电场线条数有条。因此，在上图（a）中我们也很容易分析出，S’这个闭合曲面上穿过的电场线条数与。在这里，S与S’显然都有一个共同穿过S的电场线条数完全一样，即它们的E通量都是的特点，即它们都包围着q。而在上图（b）中，同样是在一个点电荷的电场中，闭合曲面S\"的E通量也可以通过分析得到。由于没有包围住q，并且S\"是闭合的，所以穿进与穿出S\"的电场线数目一样多，即通过S\"的E通量为零。

基于上述分析我们可以得到如下结论：在一个点电荷电场中任意一个闭合曲面S的E通量或者为或者为零，即

以上是在点电荷电场中得到的结论。根据叠加原理，任意一个静电场都可以看成是点电荷

举例说明

电场的叠加。即在电场中任一点处的场强应该等于这些点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和

其中E1，E2，…为单个点电荷产生的电场，E表示总电场。这时通过任意闭合曲面S的总电场的E通量为

上式中求和的每一项积分都表示一个点电荷单独存在时在闭合曲面S的E通量。此式表明E通量遵从迭加原理，即总场强在闭合曲面S的E通量等于各点电荷在S面的E通量之和。每个电荷在S面的E通量，按上面的结论，取决于该点电荷是否被闭合曲面S包围。例如，qj被S包围，相应的项就取为qj/ε0；qj没有被S包围，则相应的项就取为0。如果被包围的点电荷有m个，则过S的总电场的E通量为

，则上式可以记作 我们用q内表示S包围住的点电荷电量的代数和q内=

上式就是高斯定理的数学表达式，它表明：在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的E通量等于该闭合曲面所包围的净电荷（电量的代数和）除以ε0。

二、关于高斯定理的几点讨论

对高斯定理的理解大家应该注意以下几点：

对比学习法

课堂讨论

（1）高斯定理表达式左边的场强E是曲面上各点的场强，它是由全部电荷（包括闭合曲面内外）共同产生的总电场，并非只由闭合曲面内的电荷产生。

（2）通过闭合曲面的总E通量只与该曲面内部的电荷有关，闭合曲面外的电荷对总E通量没有贡献，但对曲面上的场强E有贡献。

（3）静电场的高斯定理是和静电场的有源性联系在一起的。它告诉我们，一个闭合曲面若围住了正电荷，则曲面上的E通量为正，即有电力线从曲面上穿出；若围住了负电荷，则曲面上的E通量为负，即有电力线从曲面上穿入。这意味着电力线确实是发出于正电荷，终止于负电荷的。静电场的高斯定理实际上是静电场有源性的数学表达。

小结：1 电通量的概念及其求解

2 高斯定理的内容

小结

思考题、讨论题、作业

习题9,10

教学后记

通过本节课的学习,大部分学生能掌握电通量的概念及其求解方法.高斯定理是本章的重点,学生能理解并运用高斯定理求解电场.