2024年4月8日发(作者：2012课标卷1数学试卷)

《多项式乘以多项式》典型例题

例1 计算

(3x

4

3x

2

1)(x

4

x

2

2)

例2 计算

(3x1)(x1)(2x1)(x1)3x(x2)2x(3x)

例3 利用

(xa)(xb)x

2

(ab)xab

，写出下列各式的结果；

（1）

(x5)(x6)

（2）

(3x2)(3x5)

例4 计算

(x1)(x1)(x

2

1)

例5 已知

x

2

x10

，求

x

3

2x4

的值。

例6 计算题：

（1）

(2x5y)(3x4y)

； （2）

(x

2

y)(x

2

y)

；

11

（3）

(2x3y)(3x4y)

（4）

(x4)(x3)

．

22

例7 已知计算

(x

3

mxn)(x

2

5x3)

的结果不含

x

3

和

x

2

项，求m，n的值。

例8 计算

（1）

(x7)(x9)

； （2）

(x10)(x20)

；

（3）

(x2)(x5)

； （3）

(xa)(xb)

。

1

参考答案

例1 解：原式

3x

8

3x

6

6x

4

3x

6

3x

4

6x

2

x

4

x

2

2

3x

8

8x

4

7x

2

2

说明：多项式乘法在展开后合并同类项前，要检查积的项数是否等于相乘的

两项式项数的积，防止“重”、“漏”。

例2 解：原式

3x

2

3xx1(2x

2

2xx1)3x

2

6x6x

2

3x

2

3xx12x

2

2xx13x

2

6x6x

2

4x

2

13x

说明：本题中

(2x1)(x1)

前面有“－”号，进行多项式乘法运算时，应把结

果写在括号里，再去括号，以防出错。

例3 解：（1）

(x5)(x6)

x

2

(56)x5(6)

x

2

x30

（2）

(3x2)(3x5)

(3x)

2

(25)(3x)25

9x21x10

2

说明：（2）题中的

(3x)

即相当于公式中

x

例4 解：

(x1)(x1)(x

2

1)

[x

2

(11)x(1)1](x

2

1)

(x

2

1)(x

2

1)

(x)(11)x(1)1

x

4

1

222

说明：三个多项式相乘，可先把两个多项式相乘，再把积与剩下的一个多项

式相乘。

例5 分析：已知

x

2

x10

，而不知

x

值但要求

x

3

2x4

的值时，可把

x

2

x1

看成一个整体，把

x

3

2x4

化成含

x

2

x1

的形式。

2

解：

x

3

2x4

x

3

x

2

xx

2

x12x

2

2x23

(x

3

x

2

x)(x

2

x1)(2x

2

2x2)3

x(xx1)(xx1)2(xx1)3

222

∵

x

2

x10

∴

x(x

2

x1)(x

2

x1)2(x

2

x1)33

即

x

3

2x43

说明：把

x

3

2x4

化成含有

x

2

x1

的形式变换过程中，逆向运用了同底

数幂的运算：

x

3

x

2

x

，也逆向运用了乘方对加法的分配律及添括号法则。

例6 分析：第（1）小题，先用

2x

分别与

3x

与

4y

相乘，再用

5y

分别与

3x

与

4y

相乘，再把所得的积相加；第（2），（3），（4）小题同上。相乘时注意乘

积中各项的符号的确定。

解：（1）

(2x5y)(3x4y)2x(3x4y)5y(3x4y)

6x

2

8xy15xy20y

2

6x

2

7xy20y

2

（2）

(x

2

y)(x

2

y)x

2

(x

2

y)y(x

2

y)

x

4

x

2

yx

2

yy

2

x

4

2x

2

yy

2

（3）

(2x3y)(3x4y)2x(3x4y)3y(3x4y)

6x

2

8xy9xy12y

2

6x

2

17xy12y

2

.

11111

（4）

(x4)(x3)x(x3)4(x3)

22222

13411

x

2

xx12x

2

x12.

42242

说明：两个多项式相乘，应注意防止“漏项”，计算过程中的一个多项式的第

一项应“遍乘”另一个多项式的第一项，在计算时要注意确定积中各项的符号；如

有同类项，则应合并同类项，得出最简结果。

例7 分析：首先按多项式乘法法则，进行计算并按降（或升）幂排列，因

3

不含

x

3

和

x

2

项，所以这两项的系数均为0，从而列出关于m，n的方程，从而求

解。

解：原式

x

5

mx

3

nx

2

5x

4

5mx

2

5nx3x

3

3mx3n

x

5

5x

4

(mx)x

3

(n5m)x

2

(3m5n)x3n

∵ 不含

x

3

和

x

2

项，

例8 解：（1）

(x7)(x9)

x

2

7x9x63x

2

16x63.

（2）

(x10)(x20)

x

2

10x20x200x

2

10x200.

（3）

(x2)(x5)

=

x

2

5x2010x

2

7x10.

（4）

(xa)(xb)

x

2

axbxabx

2

(ab)xab.

说明：含有一个相同字母的两个一次二项式（一次项系数都是1）相乘，得

到的积是同一个字母的二次多项式，它的二次项系数是1，一次项系数是两个因

式中常数项的和，常数项是两个因式中的常数项的积。用公式表示就是

(xa)(xb)x

2

(ab)xab

（

a,b

是常数）。记住这个公式会帮助我们在某些

∴

m30

，且

n5m0

， ∴

m3

，

n15

。

类似问题中提高运算速度和运算准确率。

4


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