2024年4月15日发(作者：华一高数学试卷)

2020江苏省数学夏令营

2020年8月5号

代数综合 顾滨

1. 已知实数

0x

1

x

2

x

n

1

，

证明：

x

1

(

1−x

1

)

+

(

x

2

−x

1

)(

1−x

2

)

+

2. 当

0a1

时，求证：

3. 设

x

1

,x

2

,

+

(

x

n

−x

n−1

)(

1−x

n

)

1

.

2

(

k=1

n

a

2

k−1

−a

2

k

)

a

2

k+1

1

.

3

,x

n

R

，求证：

n

cosx−x−

(

ij

)

2

.

1ijn

3

4． 设复数

z

满足

z+12

，证明：

z+11

.

5. 已知:数列

a

n

的首项为

a

1

=

12n−3

a

n−1

,n=2,3,4,

.前

n

项和为

S

n

,且有

a

n

=

22n

,求证:

S

2019

1

.

sinasinc

sin

(

a−c

)

==,a,b,c,d

(

0,

)

，证明：

a=b,c=d

. 6.

已知：

sinbsindsin

(

b−d

)

7. 设

n2

，

x

1

,x

2

,,x

n

是在

(

0,1

)

之间的实数，证明：存在某个

i,1in−1

，使得：

x

i

(

1−x

i+1

)

1

x

1

(

1−x

n

)

.

4

8. 已知数列

a

n

对于任意的

n1

,满足

a

1

0,a

n+1

=

a

n

7

n

,求证:存在正整数,使得.

a

n

2

1+a

n

10n

9. 设

x,y,z,t

1,2

，试求最小的正实数

k

，使得

k

y+zx+z

y+tz+t

++

.

x+yy+tx+zt+x



10. 试求:

cos

+cos

+cos

+cos

(

−

)

+cos

(

−

)

+cos

(

−

)

的最小值.

11. 对于正整数

n2

满足

a

i

1(i=1,2,,n)

的复数

a

1

,a

2

,,a

n

，试求

1+a

i=1

n

i

+1+a

1

a

2

a

n

的最小值.

12. 已知：正数数列

a

n

满足

a

1

=

13. 已知

z

1

,z

2

,

12

4

,a

2

=

，且满足

8a

n+1

+4a

n

+a

n−1

=3,n2

,试求数列的通项公式.

93

,z

n

为

n

个复数，满足

z

j

1(j=1,2,

,n)

，使得

j

z

j

1

.

j=1

n

,n)

，证明:存在

R

及

j

{e

i

,−e

i

}

(j=1,2,

14. 已知实数

x,y

满足

x+y=9

,试求函数

f(x,y)=3+x+3−xy

的最小值.

15. 设

x

ij

[0,1],i=1,2,

22

,m,j=1,2,

n

,n

，求证：

mn



m

1−

x

ij

+

1−

(

1−x

ij

)

1

.

j=1

i=1j=1

i=1



16. 给定正整数

n2

，求最小的实数

c

，使得对任意非负实数

a

1

,a

2

,,a

n

，都存在

i{1,2,,n}

，满足

a

i1

a

i1

ca

i

，其中

a

0

a

n1

0

.


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