2024年3月19日发(作者：天才少年数学试卷)

成都七中高一数学竞赛多项式专题讲义

A2.数域

一、基础知识

实数：有理数与无理数的全体,实数集

R

.

复数：形如

zxyi

的数称为复数,其中虚数单位

i

满足

i1,

x,yR.

复数

zxyi

的实部为

x,

记

xRez,

复数

zxyi

的虚部为

y,

记

yImz.

复数

zxyi

的共轭复数为

zxyi.

2

复数

zxyi

本质上由一对有序实数

(x,y)

唯一确定,由此能够建立平面上的点与复数间的一一对应关系.复数

一一映射

zxyi

复平面内的点

Z(x,y).

复数

z

的模记做

|z|x

2

y

2

zz.

数域：设

P

是由一些复数组成的集合,其中包括0与1,如果

P

中任意两个数的和、差、积、商(除数不为0)仍是

P

中的数,则称

P

为一个数域.

二、典型例题与基本方法

1.已知复数

z

的共轭复数

z

13i

,

求

zz

2

2

z

999

.

i

)

2.设

z

n

(1i)(1

2

2019

i

(1),

求

|z

n

z

n1

|

的值.

n

n1

3.设

z

为复数,

|z|1,

求

u|zz1|

的最大值与最小值.

4.验证有理数集、实数集、复数集都是数域.

5.证明：所有具有形式

ab2

的数(其中

a,bQ)

构成一个数域,通常用

Q(2)

来表示.

2


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