高中数学：概率公式大全

2024年1月18日发(作者：2016湖南理课数学试卷)

.

第一章 随机事件和概率

（1）排列组 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

合公式 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种（2）加法和方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

乘法原理 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。

重复排列和非重复排列（有序）

（3）一些常对立事件（至少有一个）

见排列

顺序问题

（4）随机试如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在验和随机事进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

件 试验的可能结果称为随机事件。

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：

①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

（5）基本事这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。

件、样本空间基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。

和事件 一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。

为必然事件，Ø为不可能事件。

不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。

①关系：

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：

如果同时有 ， ，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。

A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者 ，它表示A发生而B不发生的事件。

（6）事件的A、B同时发生：A B，或者AB。A B=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件关系与运算

A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为 。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。

②运算：

结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C

分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)

德摩根率： ，

设 为样本空间， 为事件，对每一个事件 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条（7）概率的件：

公理化定义

1° 0≤P(A)≤1，

2° P(Ω) =1

.

1

.

3° 对于两两互不相容的事件 ， ，…有

常称为可列（完全）可加性。

则称P(A)为事件 的概率。

1° ，

2° 。

（8）古典概设任一事件 ，它是由 组成的，则有

型

P(A)= =

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中（9）几何概的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对型 任一事件A，

。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。

（10）加法公P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

式 当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)

P(A-B)=P(A)-P(AB)

（11）减法公当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B)

式

当A=Ω时，P( )=1- P(B)

定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称 为事件A发生条件下，事件B发生（12）条件概的条件概率，记为 。

率 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)

乘法公式：

（13）乘法公更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有

式

… …… … 。

①两个事件的独立性

设事件 、 满足 ，则称事件 、 是相互独立的。

若事件 、 相互独立，且 ，则有

若事件 、 相互独立，则可得到 与 、 与 、 与 也都相互独立。

必然事件 和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。

（14）独立性

Ø与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)

并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

那么A、B、C相互独立。

对于n个事件类似。

设事件 满足

1° 两两互不相容， ，

（15）全概公2° ，

式

则有

。

（16）贝叶斯设事件 ， ，…， 及 满足

.

2

.

公式 1° ， ，…， 两两互不相容， >0， 1，2，…， ，

2° ， ，

则

，i=1，2，…n。

此公式即为贝叶斯公式。

，（ ， ，…， ），通常叫先验概率。 ，（ ， ，…， ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

我们作了 次试验，且满足

u 每次试验只有两种可能结果， 发生或 不发生；

u 次试验是重复进行的，即 发生的概率每次均一样；

u 每次试验是独立的，即每次试验 发生与否与其他次试验 发生与否是互不影（17）伯努利响的。

概型

这种试验称为伯努利概型，或称为 重伯努利试验。

用 表示每次试验 发生的概率，则 发生的概率为 ，用 表示 重伯努利试验中 出现 次的概率，

， 。

第二章 随机变量及其分布

（1）离散型设离散型随机变量 的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件随机变量的(X=Xk)的概率为

分布律

P(X=xk)=pk，k=1,2,…，

则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：

。

显然分布律应满足下列条件：

（1） ， ， （2） 。

（2）连续型设 是随机变量 的分布函数，若存在非负函数 ，对任意实数 ，有

随机变量的，

分布密度 则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。

密度函数具有下面4个性质：

1° 。

2° 。

（3）离散与

连续型随机积分元 在连续型随机变量理论中所起的作用与 在离散型随机变量理论中所起变量的关系 的作用相类似。

（4）分布函设 为随机变量， 是任意实数，则函数

数

称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。

可以得到X落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。

分布函数具有如下性质：

1° ；

2° 是单调不减的函数，即 时，有 ；

3° ， ；

4° ，即 是右连续的；

.

3

.

5° 。

对于离散型随机变量， ；

对于连续型随机变量， 。

（5）八大分0-1分布

布

二项分布

P(X=1)=p, P(X=0)=q

在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发生的次数是随机变量，设为 ，则 可能取值为 。

， 其中 ，

则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记为 。

当 时， ， ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。

设随机变量 的分布律为

， ， ，

则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者P( )。

泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。

随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。

，其中p≥0，q=1-p。

随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。

设随机变量 的值只落在[a，b]内，其密度函数 在[a，b]上为常数 ，即

a≤x≤b

其他，

则称随机变量 在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。

分布函数为

a≤x≤b

0， x

1， x>b。

当a≤x1

。

,

0, ,

.

4

泊松分布

超几何分布

几何分布

均匀分布

指数分布

.

其中 ，则称随机变量X服从参数为 的指数分布。

X的分布函数为

,

x<0。

记住积分公式：

正态分布 设随机变量 的密度函数为

， ，

其中 、 为常数，则称随机变量 服从参数为 、 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 。

具有如下性质：

1° 的图形是关于 对称的；

2° 当 时， 为最大值；

若 ，则 的分布函数为

。。

参数 、 时的正态分布称为标准正态分布，记为 ，其密度函数记为

， ，

分布函数为

。

是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝ 。

如果 ~ ，则 ~ 。

。

（6）分位数 下分位表： ；

上分位表： 。

（7）函数分离散型

布

已知 的分布列为

，

的分布列（ 互不相等）如下：

，

若有某些 相等，则应将对应的 相加作为 的概率。

先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。

如果二维随机向量 （X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称 为离散型随机量。

设 =（X，Y）的所有可能取值为 ，且事件{ = }的概率.

5

连续型

第三章 二维随机变量及其分布

（1）联合分离散型

布

.

为pij,,称

为 =（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：

Y

X

x1

x2

xi

y1

p11

p21

pi1

y2

p12

p22

…

…

…

…

yj

p1j

p2j

…

…

…

…

这里pij具有下面两个性质：

（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；

（2）

连续型 对于二维随机向量 ，如果存在非负函数 ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a

则称 为连续型随机向量；并称f(x,y)为 =（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。

分布密度f(x,y)具有下面两个性质：

（1） f(x,y)≥0;

（2）

（2）二维随

机变量的本质

（3）联合分设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数

布函数

称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件 的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：

（1）

（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即

当x2>x1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2) ≥F(x,y1);

（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即

（4）

（5）对于

.

（4）离散型

与连续型的关系

（5）边缘分离散型 X的边缘分布为

.

6

.

布 ；

Y的边缘分布为

。

连续型 X的边缘分布密度为

Y的边缘分布密度为

在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为

在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为

在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为

；

在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为

F(X,Y)=FX(x)FY(y)

有零不独立

f(x,y)=fX(x)fY(y)

直接判断，充要条件：

①可分离变量

②正概率密度区间为矩形

＝0

若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立， h,g为连续函数，则：

h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。

特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。

例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。

（6）条件分离散型

布

连续型

（7）独立性 一般型

离散型

连续型

二维正态分布

随机变量的函数

（8）二维均设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

匀分布

其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。

例如图3.1、图3.2和图3.3。

y

1

D1

O 1 x

图3.1

y

D2

.

7

.

1

1

O 2 x

图3.2

y

D3

d

c

O a b x

图3.3

（9）二维正设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

态分布

其中 是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，

记为（X，Y）～N（

由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，

即X～N（

但是若X～N（ ，(X，Y)未必是二维正态分布。

（10）函数Z=X+Y

分布

根据定义计算：

对于连续型，fZ(z)＝

两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ ）。

n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

，

Z=max,min(X1,X2,…Xn) 若 相互独立，其分布函数分别为 ，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为：

分布 设n个随机变量 相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和

的分布密度为

我们称随机变量W服从自由度为n的 分布，记为W～ ，其中

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。

.

8

.

分布满足可加性：设

则

t分布 设X，Y是两个相互独立的随机变量，且

可以证明函数

的概率密度为

我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。

设 ，且X与Y独立，可以证明 的概率密度函数为

我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1, n2).

离散型 连续型

F分布

第四章 随机变量的数字特征

（1）一

维随机期望

变量的期望就是平均值

数字特征

函数的期望

设X是离散型随机变量，其分布设X是连续型随机变量，其概率密律为P( )＝pk，k=1,2,…,n， 度为f(x)，

（要求绝对收敛） （要求绝对收敛）

Y=g(X)

Y=g(X)

方差

D(X)=E[X-E(X)]2，

标准差

，

矩 ①对于正整数k，称随机变量X的①对于正整数k，称随机变量X的kk次幂的数学期望为X的k阶原点次幂的数学期望为X的k阶原点矩，矩，记为vk,即 记为vk,即

νk=E(Xk)= , k=1,2, …. νk=E(Xk)=

②对于正整数k，称随机变量X与 k=1,2, ….

E（X）差的k次幂的数学期望为②对于正整数k，称随机变量X与EX的k阶中心矩，记为 ，即

（X）差的k次幂的数学期望为X的

k阶中心矩，记为 ，即

= ， k=1,2, ….

=

k=1,2, ….

设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式

.

9

切比雪夫不等式

.

切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率

的一种估计，它在理论上有重要意义。

（2）期（1） E(C)=C

望的性（2） E(CX)=CE(X)

质 （3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，

（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立；

充要条件：X和Y不相关。

（3）方（1） D(C)=0；E(C)=C

差的性（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)

质 （3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b

（4） D(X)=E(X2)-E2(X)

（5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立；

充要条件：X和Y不相关。

D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。

而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。

（4）常

见分布0-1分布

的期望二项分布

和方差

泊松分布

几何分布

超几何分布

均匀分布

指数分布

正态分布

t分布

（5）二期望

维随机变量的函数的期望

数字特征

方差

期望

p

np

n

0

＝

方差

2n

(n>2)

＝

协方差 对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩 为X与Y的协方差或相关矩，记为 ，即

与记号 相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为 与 。

对于随机变量X与Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，则称

为X与Y的相关系数，记作 （有时可简记为 ）。

| |≤1，当| |=1时，称X与Y完全相关：

相关系数

.0

1

.

完全相关

而当 时，称X与Y不相关。

以下五个命题是等价的：

① ；

②cov(X,Y)=0;

③E(XY)=E(X)E(Y);

④D(X+Y)=D(X)+D(Y);

⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).

协方差矩阵

混合矩

对于随机变量X与Y，如果有 存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为 ；k+l阶混合中心矩记为：

（6）协(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);

方差的(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);

性质

(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);

(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).

（7）独（i） 若随机变量X与Y相互独立，则 ；反之不真。

立和不（ii） 若（X，Y）～N（ ），

相关 则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。

第五章 大数定律和中心极限定理

（1）大数定律

切比雪设随机变量X1，X2，…相互独立，均具有有限方差，且被同夫大数一常数C所界：D（Xi）

定律

特殊情形：若X1，X2，…具有相同的数学期望E（XI）=μ，则上式成为

伯努利设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次大数定试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有

律

伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即

这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。

辛钦大设X1，X2，…，Xn，…是相互独立同分布的随机变量序列，数定律 且E（Xn）=μ，则对于任意的正数ε有

（2）中心极限定理 列维－设随机变量X1，X2，…相互独立，服从同一分布，且具有相 林德伯同的数学期望和方差： ，则随机变量

格定理

的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有

此定理也称为独立同分布的中心极限定理。

棣莫弗设随机变量 为具有参数n, p(0

.1

1

.

拉斯定

理

（3）二项定理 若当 ，则

超几何分布的极限分布为二项分布。

若当 ，则

其中k=0，1，2，…，n，…。

二项分布的极限分布为泊松分布。

在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。

总体中的每一个单元称为样品（或个体）。

我们把从总体中抽取的部分样品 称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时， 表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后， 表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。

（4）泊松定理

第六章 样本及抽样分布

（1）数理统总体

计的基本概念

个体

样本

样本函数和统设 为总体的一个样本，称

计量 （ ）

为样本函数，其中 为一个连续函数。如果 中不包含任何未知参数，则称 （ ）为一个统计量。

常见统计量及样本均值

其性质 样本方差

样本标准差

样本k阶原点矩

样本k阶中心矩

， ，

， ,

其中 ，为二阶中心矩。

（2）正态总正态分布

体下的四大分布

t分布

设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数

设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数

其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。

设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数

其中 表示自由度为n-1的 分布。

设 为来自正态总体 的一个样本，而 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数

.2

1

F分布

.

其中

表示第一自由度为 ，第二自由度为 的F分布。

（3）正态总与 独立。

体下分布的性质

第七章 参数估计

（1）点估矩估计

计

设总体X的分布中包含有未知数 ，则其分布函数可以表成 它的k阶原点矩 中也包含了未知参数 ，即 。又设 为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为

这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有

由上面的m个方程中，解出的m个未知参数 即为参数（ ）的矩估计量。

若 为 的矩估计， 为连续函数，则 为 的矩估计。

极大似然当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为 ，其中 为未知参数。估计 又设 为总体的一个样本，称

为样本的似然函数，简记为Ln.

当总体X为离型随机变量时，设其分布律为 ，则称

为样本的似然函数。

若似然函数 在 处取到最大值，则称 分别为 的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。

若 为 的极大似然估计， 为单调函数，则 为 的极大似然估计。

（2）估计无偏性

量的评选标准

有效性

一致性

设 为未知参数 的估计量。若E （ ）= ，则称 为 的无偏估计量。

E（ ）=E（X）， E（S2）=D（X）

设 和 是未知参数 的两个无偏估计量。若 ，则称 有效。

设 是 的一串估计量，如果对于任意的正数 ，都有

则称 为 的一致估计量（或相合估计量）。

若 为 的无偏估计，且 则 为 的一致估计。

只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。

（3）区间置信区间设总体X含有一个待估的未知参数 。如果我们从样本 出发，找出两个估计 和置信度 统计量 与 ，使得区间 以 的概率包含这个待估参数 ，即

.3

1

.

那么称区间 为 的置信区间， 为该区间的置信度（或置信水平）。

单正态总设 为总体 的一个样本，在置信度为 下，我们来确定 的置信区间 。体的期望具体步骤如下：

和方差的（i）选择样本函数；

区间估计 （ii）由置信度 ，查表找分位数；

（iii）导出置信区间 。

已知方差，估计均值 （i）选择样本函数

(ii) 查表找分位数

（iii）导出置信区间

（i）选择样本函数

(ii)查表找分位数

（iii）导出置信区间

（i）选择样本函数

（ii）查表找分位数

（iii）导出 的置信区间

未知方差，估计均值

方差的区间估计

第八章 假设检验

基本思想 假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，即小概率原理。

为了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定H0是不正确的，我们拒绝接受H0；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受H0，我们称H0是相容的。与H0相对的假设称为备择假设，用H1表示。

这里所说的小概率事件就是事件 ，其概率就是检验水平α，通常我们取α=0.05，有时也取0.01或0.10。

假设检验的基本步骤如下：

(i) 提出零假设H0；

(ii) 选择统计量K；

(iii) 对于检验水平α查表找分位数λ；

(iv) 由样本值 计算统计量之值K；

将 进行比较，作出判断：当 时否定H0，否则认为H0相容。

第一类错误 当H0为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则，应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误，记 为犯此类错误的概率，即

P{否定H0|H0为真}= ；

.4

1基本步骤

两类错误

.

此处的α恰好为检验水平。

第二类错误 当H1为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检验法则，应当接受H0。这时，我们把客观上H0。不成立判为H0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记 为犯此类错误的概率，即

P{接受H0|H1为真}= 。

人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量n一定时， 变小，则 变大；相反地， 变小，则 变大。取定 要想使 变小，则必须增加样本容量。

在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平α。α大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时，则应把α取得很小，如0.01，甚至0.001。反之，则应把α取得大些。

两类错误的关系

单正态总体均值和方差的假设检验

条件 零假设

已知

未知

未知

公式整理

1．随机事件及其概率

N（0，1）

统计量

对应样本

函数分布

否定域

A吸收律：AAAA

A

A(AB)AABABA(AB)

A(AB)A反演律：ABAB

ABAB

AA

AA

iiiii1i1i1i1nnnn2．概率的定义及其计算

.5

1

.

P(A)1P(A)

若AB

P(BA)P(B)P(A)

对任意两个事件A, B, 有

P(BA)P(B)P(AB)

加法公式：对任意两个事件A, B, 有

P(AB)P(A)P(B)P(AB)

P(AB)P(A)P(B)

P(Ai)P(Ai)i1i1nn1ijnP(AA)ij1ijknP(AAA)(1)ijknn1P(A1A2An)3．条件概率

PBA

乘法公式

P(AB)

P(A)P(AB)P(A)PBA(P(A)0)

P(A1A2An)P(A1)PA2A1PAnA1A2An1(P(A1A2An1)0)P(A)P(ABi)

P(Bi)P(ABi)

i1n全概率公式

ni1Bayes公式

P(BkA)P(Bk)P(ABk)P(ABk)

n

P(A)P(Bi)P(ABi)i14．随机变量及其分布

分布函数计算

P(aXb)P(Xb)P(Xa)

F(b)F(a)5．离散型随机变量

(1) 0 – 1 分布

P(Xk)pk(1p)1k,k0,1

(2) 二项分布

B(n,p)

若P ( A ) = p

kkP(Xk)Cnp(1p)nk,k0,1,,n

.6

1

* Possion定理

limnnpn0

kknk有

limnCnpn(1pn)ekk!

k0,1,2,(3) Poisson 分布

P()

P(Xk)ekk!,k0,1,2,

6．连续型随机变量

(1) 均匀分布

U(a,b)

1f(x)ba,axb

0,其他0,F(x)xaa,

b1(2) 指数分布

E()

f(x)ex,x00,其他

F(x)0,x01ex,x0

(3) 正态分布 N ( ,

 2 )

(x)2f(x)1222ext)2F(x)1222xe(dt

* N (0,1) — 标准正态分布

x2

(x)122ex

.

1.7

.

1(x)2xet22dtx

7.多维随机变量及其分布

二维随机变量( X ,Y )的分布函数

F(x,y)FX(x)xxyf(u,v)dvdu

边缘分布函数与边缘密度函数

f(u,v)dvdu

fX(x)f(x,v)dv

yFY(y)fY(y)f(u,v)dudv

f(u,y)du

8. 连续型二维随机变量

(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )

1,(x,y)Gf(x,y)A

其他0,(2) 二维正态分布

(x1)2(x1)(y2)22112122(12)(y2)229.

f(x,y)121212e二维随机变量的 条件分布

x,yf(x,y)fX(x)fYX(yx)

fY(y)fXY(xy)fX(x)0

fY(y)0

fX(x)f(x,y)dyfXY(xy)fY(y)dy

fY(y)f(x,y)dxfYX(yx)fX(x)dx

fYX(yx)fX(x)f(x,y)



fXY(xy)

fY(y)fY(y)fXY(xy)fY(y)f(x,y)



fYX(yx)

fX(x)fX(x)10. 随机变量的数字特征

.8

1

.

数学期望

E(X)xkpk

k1E(X)xf(x)dx

随机变量函数的数学期望

X 的 k 阶原点矩E(X)

X 的 k 阶绝对原点矩E(|X|)

X 的 k 阶中心矩E((XE(X)))

X 的 方差E((XE(X)))D(X)

X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩E(XY)

X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩

kl2kkkE(XE(X))k(YE(Y))l

X ,Y 的 二阶混合原点矩E(XY)

X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差

E(XE(X))(YE(Y))

X ,Y 的相关系数

(XE(X))(YE(Y))XY

ED(X)D(Y)X 的方差

D (X ) = E ((X - E(X))2)

D(X)E(X2)E2(X)

协方差

cov(X,Y)E(XE(X))(YE(Y))

E(XY)E(X)E(Y)

1D(XY)D(X)D(Y)

2相关系数XY

cov(X,Y)

D(X)D(Y).9

1

.

(t)222F(x)12xedt

* N (0,1) — 标准正态分布

1(x)e2x22x

t22

(x)12xedtx

7.多维随机变量及其分布

二维随机变量( X ,Y )的分布函数

F(x,y)FX(x)xxyf(u,v)dvdu

边缘分布函数与边缘密度函数

f(u,v)dvdu

fX(x)f(x,v)dv

yFY(y)fY(y)f(u,v)dudv

f(u,y)du

8. 连续型二维随机变量

(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )

1,(x,y)Gf(x,y)A

其他0,(2) 二维正态分布

(x1)2(x1)(y2)2211212(y)22(1)2229.

f(x,y)121212e二维随机变量的 条件分布

x,yf(x,y)fX(x)fYX(yx)

fY(y)fXY(xy)fX(x)0

fY(y)0

fX(x)f(x,y)dyfXY(xy)fY(y)dy

.0

2

.

fY(y)f(x,y)dxfYX(yx)fX(x)dx

fYX(yx)fX(x)f(x,y)



fXY(xy)

fY(y)fY(y)fXY(xy)fY(y)f(x,y)



fYX(yx)

fX(x)fX(x)10. 随机变量的数字特征

数学期望

E(X)xkpk

k1E(X)xf(x)dx

随机变量函数的数学期望

X 的 k 阶原点矩E(Xk)

X 的 k 阶绝对原点矩E(|X|k)

X 的 k 阶中心矩E((XE(X))k)

X 的 方差E((XE(X))2)D(X)

X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩E(XkYl)

X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩

E(XE(X))k(YE(Y))l

X ,Y 的 二阶混合原点矩E(XY)

X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差

E(XE(X))(YE(Y))

X ,Y 的相关系数

E(XE(X))(YE(Y))D(X)D(Y)XY

X 的方差

D (X ) = E ((X - E(X))2)

D(X)E(X2)E2(X)

协方差

cov(X,Y)E(XE(X))(YE(Y))

2.1

.

E(XY)E(X)E(Y)

1D(XY)D(X)D(Y)

2相关系数XY

cov(X,Y)

D(X)D(Y).2

2