2024年4月7日发(作者：安阳数学试卷答案)
ＺＨＵＡＮＴＩＹＡＮＪＩＵ
专题研究
１４１
最大值与最小值的数学期望的几种求法
最大值与最小值的数学期望的几种求法
◎王瑞瑞 李金伟 李彩娟 （信阳学院数学与统计学院，河南 信阳 ４６４０００）
【摘要】针对一类特殊的多维随机变量函数———最大值
和最小值的数学期望求解问题，本文给出了四种计算方法，
并指出各种计算方法的适用情况，以期能够使学生开阔思
路，做到举一反三、触类旁通．
【关键词】数学期望；分布；最大值；最小值
【基金项目】河南省高等学校教改项目（２０１９ＳＪＧＬＸ５０４），
２０２０年度信阳市哲学社会科学规划项目（２０２０ＳＨ０２１），信阳
学院校级教改项目（２０２０ＹＪＧ０１８，２０１９ＹＪＧ２６）
１ 引 言
数学期望，又称期望或均值，是随机变量按概率的加权
平均，表征其概率分布的中心位置
［１］
．数学期望是概率论早
期发展中就已产生的一个概念，最初起源于历史上著名的
“分赌本问题”
［２］
．随机变量数学期望研究的文献较多，如，
王瑞瑞等关于负二项分布的数学期望和方差的一种求
法
［３］
，丁黎明关于随机变量数学期望的教学实践与探索
［４］
，
孙莉敏等关于连续随机变量数学期望的定义式的推
导
［５］
等．
在实际生活中，我们常常要用到一类特殊的多维随机
变量的函数———最大值和最小值．如，为研究某地区未来五
十年涝灾或干旱发生的可能性，我们就需要研究该地区过
去五十年中最大年降雨量和最小年降雨量．又如，实际生活
中某地区的最大风速、最大车流量、最小损耗等均与最大值
和最小值有直接的关系．同时，计算最大降雨量、最大风速、
最大车流量等的平均值，均需计算最大值的数学期望；而计
算最小降雨量、最小损耗等的平均值，则需要计算最小值的
数学期望．
而关于最大值和最小值这类特殊的多维随机变量函数
的数学期望研究的文献资料较少，罗建华仅给出了二维正
态分布的最大值数学期望的求法
［６，７］
．故笔者结合自身教学
实践，给出了最大值和最小值数学期望的四种计算方法，并
指出各种计算方法的适用情况．
２ 预备知识
定理１
［１，２］
若随机变量Ｘ的分布列为ｐ（ｘ
ｉ
）或密度函
数为ｐ（ｘ），则Ｘ的某一函数ｇ（Ｘ）的数学期望为
例１ 系统Ｌ由两个相互独立的子系统Ｌ
１
，Ｌ
２
并联而
成，设Ｌ
１
，Ｌ
２
的寿命分别为Ｘ，Ｙ，且均服从指数分布
Ｅｘｐ（λ），试求该系统Ｌ的平均寿命．
解 由于当且仅当Ｌ
１
，Ｌ
２
都损坏时，系统Ｌ才停止工
作，所以系统Ｌ的寿命为Ｚ
＝
ｍａｘ｛Ｘ，Ｙ｝，
故求系统Ｌ的平均寿命即求Ｅ（ｍａｘ｛Ｘ，Ｙ｝）．
因Ｘ和Ｙ独立同分布于指数分布Ｅｘｐ（λ），从而（Ｘ，Ｙ）
λ
２
ｅ
－
λｘ
－
λｙ
，ｘ＞０，ｙ＞０，
的联合密度函数为ｐ（ｘ，ｙ）
＝
０， ｏｔｈｅｒ．
由定理２，得
{
Ｅ（Ｚ）
＝
定理２
若二维随机变量（Ｘ，Ｙ）的联合分布列为
ｐ（ｘ
ｉ
，ｙ
ｊ
）或联合密度函数为ｐ（ｘ，ｙ），则Ｚ
＝
ｇ（Ｘ，Ｙ）的数学期
望为
［１，２］
ì
∑
ｇ（ｘ
ｉ
）ｐ（ｘ
ｉ
），离散，
ï
ï
ｉ
Ｅ［ｇ（Ｘ）］
＝
í
＋
∞
ï
ｇ（ｘ）ｐ（ｘ）ｄｘ，连续
î
－
∞
∫
３ 最大值和最小值数学期望的几种求法
方法一 直接计算法．先写出（Ｘ，Ｙ）的联合分布列或联
合密度，再利用上述定理２直接对最大值最小值的数学期
望进行求解．
ì
∑∑
ｇ（ｘ
ｉ
，ｙ
ｊ
）ｐ（ｘ
ｉ
，ｙ
ｊ
），离散，
ï
ï
ｉｊ
Ｅ［ｇ（Ｘ，Ｙ）］
＝
í
＋
∞
＋
∞
ï
ｇ（ｘ，ｙ）ｐ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，连续
î
－
∞
－
∞
∫∫
注１方法一通过对最大值ｍａｘ｛Ｘ，Ｙ｝讨论进行分段积
分达到计算的目的（同理可对最小值ｍｉｎ｛Ｘ，Ｙ｝讨论），在计
算过程中充分运用了分部积分法、换元积分法、变上限积分
和常见分布的数学期望公式等内容．上述方法虽能将二维
随机变量的最大值或最小值的数学期望求出，但计算过程
较烦琐．特别地，当面对的是ｎ维随机变量的最大值或最小
值的数学期望求解时，上述方法的计算过程会更加复杂，此
时我们可采用第二种求解方法．
方法二 先求出最大值或最小值的分布，然后根据定
理１求出其数学期望．
例２ 设在区间（０，１）上随机抽取ｎ个点，求相距最远
的两点间距离的数学期望．
解 若记从区间（０，１）上随机抽取的ｎ个点为Ｘ
１
，
Ｘ
２
，…，Ｘ
ｎ
，则Ｘ
１
，Ｘ
２
，…，Ｘ
ｎ
独立同分布于（０，１）上的均匀分
布．又记Ｙ
＝
ｍａｘ｛Ｘ
１
，Ｘ
２
，…，Ｘ
ｎ
｝，Ｚ
＝
ｍｉｎ｛Ｘ
１
，Ｘ
２
，…，Ｘ
ｎ
｝，则
相距最远的两点间距离即为Ｙ
－
Ｚ．因此，本题即求最大值与
最小值差的数学期望Ｅ（Ｙ
－
Ｚ）．
因Ｘ
１
，Ｘ
２
，…，Ｘ
ｎ
独立同分布于（０，１）上的均匀分布，故
其密度函数和分布函数分别为
０， ｘ＜０，
１，０＜ｘ＜１，
ｐ（ｘ）
＝
Ｆ（ｘ）
＝
ｘ，０＜ｘ＜１，
０，ｏｔｈｅｒ，
１， ｘ≥１．
故Ｙ
＝
ｍａｘ｛Ｘ
１
，Ｘ
２
，…，Ｘ
ｎ
｝的分布函数为
Ｆ
Ｙ
（ｙ）
＝
Ｐ（Ｙ≤ｙ）
＝
Ｐ（ｍａｘ｛Ｘ
１
，Ｘ
２
，…，Ｘ
ｎ
｝≤ｙ）
＝
Ｐ（Ｘ
１
≤ｙ，Ｘ
２
≤ｙ，…，Ｘ
ｎ
≤ｙ）
＝
Ｐ（Ｘ
１
≤ｙ）Ｐ（Ｘ
２
≤ｙ）…
Ｐ（Ｘ
ｎ
≤ｙ）
＝
［Ｆ（ｙ）］
ｎ
＝
ｙ
ｎ
，０＜ｙ＜１，
从而Ｙ的密度函数为ｐ
Ｙ
（ｙ）
＝
ｎｙ
ｎ
－
１
，０＜ｙ＜１．
同理Ｚ
＝
ｍｉｎ｛Ｘ
１
，Ｘ
２
，…，Ｘ
ｎ
｝的分布函数为
Ｆ
Ｚ
（ｚ）
＝
Ｐ（Ｚ≤ｚ）
＝
Ｐ（ｍｉｎ｛Ｘ
１
，Ｘ
２
，…，Ｘ
ｎ
｝≤ｚ）
＝
１
－
Ｐ（ｍｉｎ｛Ｘ
１
，Ｘ
２
，…，Ｘ
ｎ
｝＞ｚ）
＝
１
－
Ｐ（Ｘ
１
＞ｚ，Ｘ
２
＞ｚ，…，Ｘ
ｎ
＞ｚ）
＝
１
－
（１
－
Ｆ（ｚ））
ｎ
＝
１
－
（１
－
ｚ）
ｎ
，０＜ｚ＜１，
∫∫
ｍａｘ｛ｘ，ｙ｝·λｅｄｘｄｙ
＝
∫∫
ｘ·λ
ｅｄｘｄｙ
＋
∫∫
ｙ·λ
ｅｄｘｄｙ
＝
∫
ｘλ
ｅｄｘ
∫
ｅｄｙ
＋
∫
ｙλ
ｅｄｙ
∫
ｅｄｘ
１１３
＝
∫
ｘ·λｅ
ｄｘ
＋
∫
ｅ
＋＝
ｄｘ
＝
．
λ
２λ２λ
＋
∞
＋
∞
０
＋
∞
０
ｘ
２
－
λｘ
－
λｙ
＋
∞
０
＋
∞
０
＋
∞
０
２
－
λｘ
－
λｙ
ｘ
ｙ
２
－
λｘ
－
λｘ
ｘ
＋
∞
０
２
－
λｘ
－
λｙ
ｙ
０
－
λｘ
＋
∞
０
２
－
λｙ
－
λｘ
０
－
２λｘ
００
{
{
专题研究
１４２
ＺＨＵＡＮＴＩＹＡＮＪＩＵ
四求解最大值、最小值的数学期望．
方法四 利用二重积分的轮换对称性进行计算．
例４ 设随机变量Ｘ与Ｙ相互独立，且都服从正态分布
Ｎ（０，１），试求Ｅ（ｍｉｎ｛Ｘ，Ｙ｝）．
解 因Ｘ和Ｙ相互独立，且都服从正态分布Ｎ（０，１），
从而（Ｘ，Ｙ）的联合密度函数为
１
－
ｘ
２
＋
ｙ
２
ｐ（ｘ，ｙ）
＝
ｅ
２
，
－
∞
＜ｘ，ｙ＜
＋
∞
２π
由定理２，得
＋
∞
＋
∞
１
ｘ
２
＋
ｙ
２
Ｅ（ｍｉｎ｛Ｘ，Ｙ｝）
＝
ｍｉｎ｛ｘ，ｙ｝·ｅ
－
２
ｄｘｄｙ（∗）
２π
－
∞
－
∞
当ｙ＜ｘ时，（∗）式右端的积分为
＋
∞
ｘ
１
ｘ
２
＋
ｙ
２
ｙ·
ｅ
－
２
ｄｙｄｘ（１）
２π
－
∞
－
∞
当ｙ≥ｘ时，（∗）式右端的积分为
＋
∞
ｙ
１
－
ｘ
２
＋
ｙ
２
ｘ·
ｅ
２
ｄｘｄｙ（２）
２π
－
∞
－
∞
由于式（１）（２）积分中ｘ与ｙ对调后，积分表达式不变，
故由轮换对称性，得
＋
∞
ｘ
１
ｘ
２
＋
ｙ
２
Ｅ（ｍｉｎ｛Ｘ，Ｙ｝）
＝
２ｙ·
ｅ
－
２
ｄｙｄｘ
２π
－
∞
－
∞
ｙ
２
ｘ
１
＋
∞
－
ｘ
２
＝
ｅ
２
－
ｅ
－
２
ｄｘ
－
∞
π
－
∞
１
＋
∞
－
ｘ
２
１
＝－
ｅｄｘ
＝－
．
π
－
∞
π
从而Ｚ的密度函数为ｐ
Ｚ
（ｚ）
＝
ｎ（１
－
ｚ）
ｎ
－
１
，０＜ｚ＜１．
由定理１，可知
１
ｎ
Ｅ（Ｙ）
＝
ｙ·ｎｙ
ｎ
－
１
ｄｙ
＝
，
ｎ
＋
１
０
Ｅ（Ｚ）
ｎ
ｎ
＋
１
１
ｎ
１
＝
ｔ
－＝
１
－＝
ｔ．
ｎ
＋
１ｎ
＋
１ｎ
＋
１
００
从而，相距最远的两点间距离的数学期望为
ｎ
１
ｎ
－
１
－＝
Ｅ（Ｙ
－
Ｚ）
＝
．
ｎ
＋
１ｎ
＋
１ｎ
＋
１
注２ 关于多维随机变量的最大值、最小值的数学期望
的计算，相较于计算多重积分，计算定积分更加容易，故方
法二是先求出多维随机变量的最大值、最小值的分布，然后
将多维随机变量的最大值、最小值的数学期望的多重积分
计算转化为一维随机变量的数学期望的定积分计算．
显然例１可用方法二求解，但例２一般不用方法一求
解．由于方法二需要先求出最大值、最小值的分布函数，故当
随机变量Ｘ
ｉ
的分布函数不存在显式表达式时，方法二则不
适用．如例３，因为服从正态分布的随机变量的分布函数没
有显式表达式．此时，可以考虑利用方法三求解最大值、最小
值的数学期望．
Ｘ
＋
Ｙ
＋
Ｘ
－
Ｙ
方法三 利用ｍａｘ｛Ｘ，Ｙ｝
＝
和ｍｉｎ｛Ｘ，Ｙ｝
＝
２
Ｘ
＋
Ｙ
－
Ｘ
－
Ｙ
求解．
２
例３ 设随机变量Ｘ与Ｙ相互独立，都服从正态分布
σ
Ｎ（μ，σ
２
），试证Ｅ（ｍａｘ｛Ｘ，Ｙ｝）
＝
μ
＋
．
π
Ｘ
＋
Ｙ
＋
Ｘ
－
Ｙ
证 因ｍａｘ｛Ｘ，Ｙ｝
＝
，故
２
１
Ｅ［ｍａｘ｛Ｘ，Ｙ｝］
＝
［ＥＸ
＋
ＥＹ
＋
Ｅ
Ｘ
－
Ｙ
］．
２
由Ｘ，Ｙ独立同分布于正态分布Ｎ（μ，σ
２
），可知ＥＸ
＝
ＥＹ
＝
μ，且Ｚ
＝
Ｘ
－
Ｙ～Ｎ（０，２σ
２
），故Ｚ的密度函数为ｐ
Ｚ
（ｚ）
＝
ｚ
２
１
ｅ
－
４σ
２
，
－
∞
＜ｚ＜
＋
∞
．从而
２σπ
＋
∞
ｚ
２
１
Ｅ
Ｘ
－
Ｙ
＝
Ｅ
Ｚ
＝
ｅ
－
４σ
２
ｄｚ
ｚ
－
∞
２σπ
２
＋
∞
ｚ
１
＝
２
ｚ·
ｅ
－
４σ
２
ｄｚ（被积函数为偶函数）
０
２σπ
２
４σ
－
ｚ
２
＋
∞
２σ
＝－＝
．
ｅ
４σ
２
０
２σππ
于是
ＥＸ
＋
ＥＹ
＋
ＥＸ
－
Ｙσ
＝
μ
＋
．Ｅ［ｍａｘ｛Ｘ，Ｙ｝］
＝
２
π
ｎ
１
∫
＝
∫
ｚ·ｎ（１
－
ｚ）
＝
∫
（１
－
ｔ）·ｎｔ
１
０
１
０
ｎ
－
１
ｄｚ
ｎ
－
１
ｄｔ（ｔ
＝
１
－
ｚ）
∫∫
∫∫
∫∫
∫
∫
注４ 由上例可知，方法四适用于二维（多维）随机变
量的联合密度函数的非零区域Ｄ把ｘ与ｙ对调后，区域Ｄ
不变，即区域Ｄ关于ｙ
＝
ｘ对称的情形．显然例４也可以用方
法三求解，但例３则不能用方法四求解．
４ 结 语
最大值与最小值作为一类特殊的多维随机变量的函
数，其应用的广泛性使得它们对数学期望的研究显得尤为
重要．本文所给出的几种求解方法，涉及数学期望的定义、指
数分布、均匀分布、正态分布、定积分、变上限积分、多重积
分、偶函数的积分、轮换对称性、差的分布等重要内容．学生
能够理解并掌握相关概念公式，准确熟练地运用概率论和
数学分析知识是以上各种方法得以实现的前提和关键．概
率论中一题多解的情况有很多，作为教师，在平时的教学中
要对学生进行必要的创造性思维能力的训练，从而不断激
发学生学习的积极性和主动性，培养其创新能力．
【参考文献】
［１］李贤平．概率论基础（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育
出版社，２０１４，１８４
－
１１８６，１９２．
［２］茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程
（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１９，６９
－
７０．
［３］王瑞瑞，李金伟．负二项分布的数学期望和方差的
一种求法［Ｊ］．高师理科学刊，２０１９，３９（１２）：５５
－
５７．
［４］丁黎明．随机变量数学期望的教学实践与探索［Ｊ］．
淮北职业技术学院学报，２０２０，１９（０２）：３２
－
３４．
［５］孙莉敏，张聪，黄善祖等．关于连续随机变量数学期
望的定义式的推导［Ｊ］．数学学习与研究，２０１６（１５）：１２９．
［６］罗建华，王浩波．一道概率论习题的证明［Ｊ］．高等
数学研究，２００８，１１（０４）：６７
－
６８．
［７］罗建华．透过一道习题看概率论教学［Ｊ］．大学数
学，２００８，２４（０３）：１５２
－
１５５．
∫∫
∫
∫
()
结论得证．
注３ 方法三更适用于“两个”随机变量的最大值、最
小值的数学期望的求解问题，且要求容易求出差（Ｘ
－
Ｙ）的
分布，从而该方法也将多维随机变量最大值、最小值的数学
期望的多重积分计算问题转化为一维随机变量的数学期望
的定积分计算问题．当（Ｘ，Ｙ）的联合密度函数ｐ（ｘ，ｙ）的非
零区域Ｄ关于ｘ，ｙ具有轮换对称性，即若把ｘ与ｙ对调后，
区域Ｄ不变（或区域Ｄ关于ｙ
＝
ｘ对称）时，还可用如下方法
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