2023年12月17日发(作者：一年级数学试卷可打印期末)
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
习题 1-1
1.
求下列函数的自然定义域：
(1) y 3x 2;
1(3) y
1 x2
;
x
(5) y sin x;
(7) y arcsin(x 3);
(9) y ln(x 1);
(2) y ;
1 x2
1(4); y
4 x2
(6) y tan(x 1);
1
1
; arctan
(8) y 3 x
x
1
(10) y ee.
解：
x
2
(1)3x 2 0 x
，即定义域为 ,
3
3
(2)1 x2
0 x 1,
2
即定义域为(, 1) (1,1) (1, )
(3)x 0
且1 x2
0 x 0
且
x 1
即定义域为1,0
0,1(4)4 x2
0 x 2
即定义域为(2, 2)
(5)x 0,
即定义域为0, (6)x 1 k (k Z ),
2
1 即定义域为x x R且x (k )
1, k Z 2
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
(7)
x 3
1 2 x 4,
即定义域为2, 4(8)3 x 0且
x 0，即定义域为(, 0)
0,3(9)x 1 0 x 1即定义域为(1, )
(10)x 0,即定义域为(, 0) (0, )
2.
下列各题中，函数
f (x)
和
g (x)
是否相同？为什么？
(1) f (x) lg x2
, g(x) 2 lg x
(2) f (x) x, g(x) x2
(3) f (x) 3
(x4
x3
), g(x) x
3
x 1
(4) f (x) 1, g(x) sec2
x tan2
x
解：
（2）
不同，因为对应法则不同，
g(x) x, x 0
x2
x, x 0
（1）
不同，因为定义域不同
（3）
相同，因为定义域，对应法则均相同
（4）
不同，因为定义域不同
sin x ,
x 3
3.设(x)
0, x 3
求(
),(
),(6 4
),(2),
并指出函数
y
(x)的图形
4
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
1
2
( ) sin ,( ) sin ,
6 6 2 4 4 2
解：
2
( ) sin( ) ,(2) 0,
4 4 2
y
(x)的图形如图11所示
4.
试证下列函数在指定区间内的单调性：
x
;(1) y 1 x
(2) y x ln x,(0, )
证明：
x 1
1,(,1)
(1) y f (x) 1 x 1 x
设x1
x2
1，因为
x2
x1
) f (x
2
) f (x
1
(1 x )(1 x )
0
1 2
所以
f (x2
) f (x1
),
即
f (x)
在(,1)
内单调增加
(2) y f (x) x ln x,(0, )
设0 x1
x2
，因为
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
f (x ) f (x ) x x ln 0
2 1 2 1
x
1
x2
所以
f (x2
) f (x1
)即
f (x)
在(0, )
内单调增加
5.
设
f (x)
为定义在(l,l)
内的奇函数，若
f (x)
在(0,l)
内单调增
加，证明
f (x)
在(l, 0)
内也单调增加
证明：
设l x1
x2
0
，则0 x2
x1
l
由
f (x)
是奇函数，得
f (x2
) f (x1
) f (x2
) f (x1
)
因为
f (x)
在(0,l)
内单调增加，所以
f (x1
) f (x2
) 0
即
f (x)
在(l, 0)
内也单调增加
6.
设下面所考虑的函数都是定义在区间(l,l)
上的。证明：
（1）
两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数
（2）
两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数
证明：
(1)
设
f1
(x),
f2
(x)
均为偶数，则
f1
(x) f1
(x),
f2
(x) f2
(x)
令F (x) f1
(x) f2
(x)
于是F (x) f1
(x) f2
(x) f1
(x) f2
(x) F (x)
故F (x)
为偶函数
设g1
(x), g2
(x)
均为奇函数，
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
则g1
(x) g1
(x), g2
(x) g2
(x)
令G(x) g1
(x) g2
(x)
于是G(x) g1
(x) g2
(x) g1
(x) g2
(x) G(x)
故G(x)
为奇函数
(2)
设
f1
(x), f2
(x)
均为偶数，则
f1
(x) f1
(x), f2
(x) f2
(x)
令F (x) f1
(x) f2
(x)
f1
(x) f2
(x) f1
(x) f2
(x) F (x)
于是F (x) 故F (x)
为偶函数
设g1
(x), g2
(x)
均为奇函数，则g1
(x) g1
(x), g2
(x) g2
(x)
令G(x) g1
(x) g2
(x)
于是
G(x) g1
(x) g2
(x) g1
(x) g2
(x) g (x1
)g (x2
) G(x)
故G(x)
为偶函数
设
f (x)
为偶函数，
g (x)
为奇函数，
则
f (x) f (x), g (x) g (x)
令H (x) f (x) g(x)
H (x) f (x) g(x)
于是
f (x)g(x)
f (x) g(x) H (x)
故H (x)为奇函数
7.
下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
(1) y x2
(1 x2
);
2 3
(2) y 3x x;
21 x
(4) y x(x 1)(x 1);
(3) y ;
2
1 xx x
a a(5) y sin x cos x 1;
2
(6) y
解：
（1）
因为
f (x) (x)2 2 2 2
1 (x) x(1 x) f (x)
所以
f (x)
为偶函数
（2）
因为
f (x) 3(x)
2
(x)3
3x2
x3
f (x) f (x),且
f (x) f (x)
所以
f (x)
既非偶函数又非奇函数
1 (x)2
1 x2
（3）因为
f ( x) f (x)
1 (x)2
1 x2
所以
f (x)
为偶函数
（4）
因为
f (x) x(x 1)(x 1) f (x)
所以
f (x)
奇函数
（5）
因为
f (x) sin(x) cos(x) 1 sin x cos x 1,
f (x) f (x)
且
f (x) f (x)
所以
f (x)
既非偶函数又非奇函数
（6）
x
因为
f (x)
x a
a2
f (x)
所以
f (x)
为偶函数
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
8.
下列函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期
(1) y cos(x 2);
(3) y 1 sin
x;
(5) y sin2
x
(2) y cos 4x;
(4) y x cos x;
解：
（1）
是周期函数，周期l 2（2）
是周期函数，周期l 2
（3）
是周期函数，周期l 2
（4）
不是周期函数
（5）
是周期函数，周期l
9.
求下列函数的反函数
(2) y ;
(1) y
3
x 1;
1 x
(3) y ax b
(ad
bc 0); (4) y 2sin 3x(
x );
cx d 6 6
(5) y 1 ln(x 2);
2x
(6) y x
2 1
1 x
解：
（1）
由
y
（2）
x 1解得
x y3
1，既反函数为
y x3
1
由
y 1 x
解得x 1 y
，既反函数为
y 1 x
1 x 1 y 1 x
3（3）
ax b dx b
dy b
由
y ，既反函数为
y 解得x cx d cx a
cy a
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
x )
解得x arcsin
，
6 6 3 2
1 x既反函数为
y arcsin
3 2
y
（5）
由
y 1 ln( x 2)
解得x log
，
1 y
x
既反函数为
y log
1 x
y
2x
（6）
由
y
x
解得x log2
，
1 1 y
2
x
既反函数为
y log2
1 x10.
设函数
f (x)
在数集
X
上有定义，试证：函数
f (x)
在
X
上有界
（4）
由
y 2sin 3x(
1 y
的充分必要条件是它在
X
上既有上界又有下界解：
设
f (x)
在
X
上有界，既存在M 0，使得
f (x) M , x X ,
故M f (x) M , x X ,
既
f (x)
X
上有上界M
，下界M
反之，设
f (x)
在
X
上有上界K1
，下界K2
，即
K2
f (x) K1, x X
取M max
K, K，则有
1 2
f (x)
M , x X
即
f (x)
在
X
上有界
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11.
在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别
对应于给定自变量值
x1
和
x2
的函数值
(1) y u,u sin x, x ;
, x
21
3
6
(2) y sin u,u 2x, x1
, x2
;
4
8(3) y u ,u 1 x2
, x 1, x 2;
(4) y e,u x, x 0, x 1;
(5) y u,u e, x 1, x 1
1 2
2 x
1 2
u 2
1 2
2
解：
1 3
(1) y sin2
x, y
1
, y
2
4 4
2
, y 1
(2) y sin 2x, y1
2
2
(3) y 1 x2
, y 2, y 5
(4) y ex, y 1, y e
(5) y e2 x
, y e2
, y e2
1 2
1 2
2
1 2
12.
设的定义域D
(1) f (x2
);
0,1，求下列各函数的定义域：
(2) f (sin x)
(3) f (x a)(a 0);
(4) f (x a) f (x a)(a 0)
解：
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
(1)0 x2
1 x 1,1(2)0 sin x 1 x 2n
,(2n 1)
, n Z
(3)0 x a 1 x a,1 a0 x a 1
(4)
当0 a 1
时，
x a,1 a；
0 x a 1
2
1
当a
时定义域为2
13.
设
1, x 1
f (x)
0, x 1, g(x) ex
1, x 1
求
f
g(x)和
g
f (x)，并作出这两个函数的图形解：
1, x 0
x
f
g(x)
f (e)
0, x 0
1, x 0
e, x 1
f ( x)g
f (x)
e
1, x 1
e1, x 1
f
g(x)与g
f (x)的图形依次如图1 2，图1 3所示
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14.
已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角
40（图 1-4）.当过水
断面
ABCD
的面积为定值S0
时，求湿周L(L AB BC CD)
与水深h
之间的函数关系式，并指明其定义域
解：
h
AB CD sin 401
又S0
h
BC (BC 2cot 40 h)2
S0得BC
cot 40
h
h
S0
2 cos 40
h所以L h sin 40而h 0且
S0
cot 40
h
h 0，
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
因此湿周函数的定义域为(0, S0
tan 40
)
15.
设
xOy
平面上有正方形D
(x, y) 0 x 1, 0 y 1及直
线l : x y t(t 0)
若S (t)
表示正方形D
位于直线左下方部分的
面积，试求S (t)
与t
之间的函数关系
解：
1
2
当0 t 1时，
S (t) t
2
1
2
1
2
当1 t 2时，
S (t) 1 (2 t) t 2t 1
2 2
当t 2
时，
S (t)
1
1
2
t , 0 t 1
2
1
2
t
2t 1,1 t 2
故
21,t 2
16.
求联系华氏温度（用F
表示）和摄氏温度（用C
表示）的转换公
式，并求
（1）90
F
的等价摄氏温度和5
C
的等价华氏温度；
（2）是否存在一个温度值，使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一样的？如果存在，那么该温度值是多少？
解：
设F mC b,
其中m,b
均为常数
因为F 32相当于C 0
, F 212
相当于C 100
，
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
212 32
所以b 32, m 1.8
100
5
32)
故F 1.8C 32
或C (F
9
5
90,C 32) 32.2 (F
(1) F
9
C 5
, F 1.8 (5) 32 23(2)
设温度值t
符合题意，则有
t 1.8t 2,t 40
即华氏40恰好也是摄氏40 17.
已知Rt ABC
中，直角边
AC，BC
的长度分别为20，15，动
点P
从C
出发，沿三角形边界按C B A方向移动；动点Q
从
C
出发，沿三角边界按C A B
方向移动，移动到两动点相遇
时为止，且点Q
移动的速度是点P
移动的速度的2倍.设动点P
移动y
，试求
y
与 的距离为
x
，CPQ
的面积为
x
之间的函数关系.
解：
因为
AC 20, BC 15,所以,
AB 202
152
25
由20 2 15 20 25可知，点P,Q
在斜边
AB
上相遇
令x 2x 15 20 25
得
x 20，即当
x 20时，点P,Q
相遇，因此所求函数的定义域为(0, 20)
（1）
当0 x 10时，点
P
在CB
上，点Q
在CA
上（图 1-5）
由
CP x, CQ
2x
，得
y x2
（2）
当10 x 15时点P
在CB
上点Q
在
AB
上（图 1-6）
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
CP x, AQ 2x 20
设点Q
到BC
的距离为h
，则
BQ
45 2x
,
20 25 25
4
得h (45 2x)，故
5
1 2 4
2
y xh x(45 2x) x18x
2 5 5
（3）
当15 x 20时点P,Q
都在
AB
上（图 1-7）
h
BP x 15, AQ 2x 20, PQ 60 3x
设点C
到
AB
的距离为h，则
15 20
h
12
25
1得
y
PQ h
18x 360
2
综上可得
x2
,0 x 10
4
2
x18x,10 x 15
5
18x 360,15 x 20
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
18.
利用以下美国人口普查局提供的世界人口数据以及指数模型来推测 2020 年的世界人口
解：
由表中第 3 列，猜想 2008 年后世界人口的年增长率是1.10
0
，于是在 2008 年后的第t
年，世界人口将是
p(t) 6708.2 (1.011)t
（百万）
2020 年对应t 12
，于是
p(12) 6708.2 (1.011)12
7649.3（百万）
亿
即推测 2020 年的世界人口约为 76 亿
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
习题 1-2
1.下列各题中，哪些数列收敛，哪些数列发散？对收敛数列，通过观察
xn
的变化趋势，写出它们的极限：
1
(1)
;
n
2 1
(3) 2 ;
2
n(5)n(1)
;
1
(7) n ;
n
解:
(1)
收敛，
lim 0
n2n
n
n
1
(2) (1);
n
n 1(4)
n 1
;
n
21(6)
n
;
3
n 1n
(1) 1
(8)
n
n
1
(3)
收敛，
lim(2 ) 2
nn2
(4)
收敛，
lim
n 1
1
n
n 1
n
(5)n(1)发散
n(2)
收敛，
lim(1)
n
1
0
2n
1
(6)
收敛，
lim 0
n
3
1
(7)
n
发散
n
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
n 1n
（8)
(1)1发散
n
2.(1)数列的有界性是数列收敛的什么条件？
(2)
无界数列是否一定收敛？
(3)
有界数列是否一定收敛？
解：
(1)
必要条件
(2)
一定发散
(3)
未必一定发散，如数列n(1)有界，但它是发散的
3.
下列关于数列的极限是的定义，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，试说明理由；如果是错的，试给出一个反例。
（1）
对于任意给定的
0
，存在
N N，当
n N
时，不等式
xn
a
成立
（2）
对于任意给定的
0，存在
N N，当n N
时，有无穷多
项xn
，使不等式
xn
a
成立
（3）
对于任意给定的
0，存在
N N，当n N
时，
不等式
xn
a
成立，其中c 为某个常数
（4）
对于任意给定的m N，存在
N N，当n N
时，
不等式解：
xn
a
1
m
成立
n
1
（1）错误，如对数列(1)
, a 1，对任给的
0
(设
>1)，
n
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
1 1
n
1
存在N
，当n N
时，(1)
1
但(1)
n
n n
1
n
的极限不存在
n, n 2k 1,
（2）
错误，如对数列
xn
1
k N
, a 1，对任给的
1 , n 2k,
n
0
(设
>1)
， 存在
N
， 当
n N
且
n
为偶数时时，
1
xn
a
成立，但xn
的极限不存在
n
1（3）
正确，对任给的
0，取
0，按假设，存在
N N，
c
1
当n N
时，不等式
xn
a
c
成立
c
1（4）
正确，对任给的
0，取m N，使
，按假设，
m
1
存在
N N，当n N
时，不等式
xn
a
成立
m
4.
设数列1
xn
的一般项xn
1
当n N
时，xn
与其极限之差的绝对值小于正数
当
0.001时，
求出数
N
解：
lim x
证明如下
n
0
ncos
2 2
n
，问lim x
nn
？求出，使
1
n1
,
因为
xn
0 cos
2
n n
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
1要使
xn
0
，只要
，即n
，所以
0
n
1
（不妨设
1），取N
，则当n N
时，就有
xn
0
1
当
0.001
时， 取
N
1000
， 即若
0.001
， 只要
1n 1000，就有
xn
0
0.001
5.
根据数列极限的定义证明：
(1) lim 0;
n
n a(3) lim
1;
nn
证明：
2 2
3n 1 3
(2) lim ;
n0
2n 1 2
(4) lim 0.999 9 1
n0
n个
1
0
，只要n
，所以
0
（1）
因为要使
2
2
nn
1
1
（不妨设
1）取
N
，则当n N
时，就有
n2
0
，
1
即lim 0
2
n
n
3n 1
3 1 1 3n 1
3
，
，要使
（2）
因为
2n 1
2 2(2n 1) 4n
2n 1
2
1 1
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
1
1
只要
，
取
即
n
， 所以 0
（ 不妨设
），4n 44
3
1
N
，则当n N
时，就有
3n 1
，
4
2n 1
2
3n 1 3
即lim n
2n 1 2
（3）
当a 0时，所给数列为常数列，显然有此结论，以下设a 0
，
1
因为
2
2
n aan a
n a
1
22 2
2n
n
n
n( n a n)
2 22 2
要使
a2
a
n2
a2
即n
，所以
0
1
只要
2
，n 2n
2
a
1
2
（ 不妨设
a）， 取
N
， 则当
n N
时， 就有
2
2
n2
a2
1
，即lim
n2
a2
1
n
n
n
1
（4）因为
0.999 9 1
要使
0.999 9 1
，
10
1
即
n lg
1
只要
， 所以 0
（ 不妨设
1
）， 取
n10
1
N lg
， 即当
n N
时， 就有
0.999 9 1
， 即
n个
n个 n个
lim 0.999 9 1
nn个
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
a
，证明lim u
6.
若lim u
n n
nn a
，并举例说明：如果数列
xn
有极限，但数列证：
xn
未必有极限n
因为lim u
，有
un
a
，所以 0，N
，当n N
时n a
，
从而有
un
a un
a
故lim u
n
nn a
a
，并不能推得lim u
n
a
，例如，考虑数列(1)n，
nn
但由lim u
n
虽然lim (1)n 1，但(1)n没有极限
lim x y 0
yn
0，证明：
xn
有界，又lim
n n
nn
证 ： 因 数 列
xn
有 界 ， 故
M 0
， 使 得 对 一 切
n
有
7.
设数列
y
n
M , 0，由于lim
n
0，故对1
n当n N
时，就有
yn
M
x y 0 x y M
n n n n
M
1
0, N ,
Mcone 从而有
所以
lim x y 0
n n
n8.
对于数列xn
，若
x2k 1
a(k
), x2k
a(k
)，
证明：
xn
证：
a(n )
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
因为x2k
a(k
)，所以 0, k1
当k k1
时， a(k
)，所以对上述
0， 有
x2k 1
a
；又因为
x2k
当k k2
时，有
x2k
a
记K max则
k1, k2，取
N
2K
，则当n N
时，若n 2k 1，
1k K
kx a x a
2k 1
1 n
2
若n 2k
，则k K
k2
xn
a x2k
a
a
从而只要n N
，就有
xn
a
，即lim x
n
n
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
习题 1-3
1.
对图 1-8 所示的函数
f (x)，求下列极限，如极限不存在，说明理
由
(1) lim
f (x)
x2
(2) lim
f (x)
x1
(3) lim
f (x)
x0
解：
x2
(1) lim
f (x) 0
(2) lim
f (x) 1
x1
(3) lim
f (x)
不存在，因为
f (0
) f (0
)
x0
2.
如图 1-9 所示的函数，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？
(1) lim
f (x)
不存在
x0
(2) lim
f (x) 0
x0
(3) lim
f (x) 1
x0
(4) lim
f (x) 0
x1
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
(5) lim
f (x)不存在
x1
(6)
对每个
x0
(1,1)，
lim
f (x)
存在
x x0
解：
x0
（1）
错，
lim
f (x)
存在与否，与
f (0)的值无关，
事实上，
lim
f (x) 0
x0
（2）
对，因为
f (0x0
) f (0
) 0
（3）
错，
lim
f (x)
的值与
f (0)的值无关
x1
f (1) 1，故lim
f (x)
不存在 ，但
（4）
错，
f (1) 0
（5）对，因为
f (1（6）对
) f (1
)
3.
对图 1-10 所示的函数，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的
(1) lim
f (x) 1
x1(2) lim
f (x)
不存在
x1(3) lim
f (x) 0
x0
(4) lim
f (x) 1
x0
(5) lim
f (x) 1
x1
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
(6) lim
f (x) 0
x1(7) lim
f (x) 0
x2
(8) lim
f (x) 0
x2
解：
（1）
对
（2）
对，因为当
x 1，
f (x)
无定义
（3）
对，因为
f (0x0
) f (0
) 0
（4）
错，
lim
f (x)
的值与
f (0)的值无关
（5）
对
（6）
对
（7）
对
（8）
错
x
x
,(x)
，当
x 0时的左右极限，并说明它们
4.
求
f (x) x x
在x 0时的极限是否存在
解：
lim
f (x) lim
1, lim
f (x) lim
1
x0x
x0x
x0x0因为lim
f (x) 1 lim
f (x),
所以lim
f (x) 1
x
x
x0x0x0
x
x
x
x lim
1, lim
(x) lim
(x) lim lim
lim
1
x0x0x
x0x
x0
x
x0x0x
因为lim
(x) lim
(x)所以lim(x)
不存在
x0x0x0
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
5.
根据函数极限的定义证明：
x 2) 12;
(1) lim(3x 1) 8;
(2) lim(5x2
x3
2
1 4x2
x 4
(4) lim
(3) lim
4;
1x2
x 2
x
22
2x 1
解：
（1）
因为
(3x 1) 8 3x 9 3 x 3 ,
要使
(3x 1) 8
，只要
x 3
，所以 0，取
，
3 3
则当0 x 3
时，就有
(3x 1) 8
，即lim(3x 1) 8
x3
（2）
因为
x 2
时，
(5x 2) 12
5x 10 5 x 2 ,
要使
(5x 2) 12
取
，则当0 只要
x 2
，所以 0，5
就有
(5x 2) 12
即lim(5x 2) 12
x2
5
（3）因为
x 2, x 2,
x2
4
( 4)
x
2
( 4)
x
2
x
(
2) ,
x 2
x2
4
要使
(4)
,
x 2
只要
x (2)
，所以 0，取
，
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
则当0 x (2)
时，
x2
4
就有
(4)
,
x 2
x2
4
即lim
4
x2
x 2
1 1（4）因为
x , x
2 2
1 4x2
1
2 1 2x 2
2 x ( )
2
2x 1
1 4x2
要使
2
,
2x 1
1
只要
x ( )
，所以
0，取
，
2 2 2
1
则当0 x ( )
时，
2
1 4x2
就有
2
,
2x 1
即
lim
1 4x2
2x 1
1x
2
2
6.
根据函数定义证明：
1 sin x
31 x
;(2) lim 0
(1) lim
x2x3
x2
x
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
证：
1 x
1 x
1
1
，
（1）因为
3，要使
332x
2
2x
2
2 x
33
1
1
只要
，所以 0，取
X
3
，则
3
，即
x 3
222 x
1
1
1 x3
1
1 x3
1
，即lim
当
x X
时，就有
3
3x2x2
2x
2
（2）
sin x
1
0
，
因为
x
x
1
sin x 1要使
0
，只要
，即
x ，所以 0，
x
x
2
取
X 1
sin x
，则当x X
时，就有
sin x
0
， 即
lim
0x
x
2
x
7.
当
x 2
时，
y x2
4
问
等于多少，使当
x 2
时，
y 4 0.001？
解：
由于x 2,
x 2
0
，不妨设
x 2
1，即1 x 3
要使
x2
4 x 2 x 2 5 x 2
0.001，只要
0.001
x 2 0.0002
5
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
取
0.0002
，则当0 x 2
时，就有
x
2
4 0.001
x2
1
8.
当
x
时，
y
2
1问
X
等于多少，
x 3
使当
x X
时，y 1 0.01？
解：
2
2
x1
1 0.01，
4 4
x1
因为
1
，要使
22
2
2
x 3 x
x 3
x 3
4
只要
0.01，即
x 20，取
X 20，
x2
则当
x X
时，就有
y 1 0.01
9.
证明函数
f (x) x
当
x 0时极限为零
证:
x0
因 为
x 0 x x 0
，所以 0，取
，
则当0 x 0
时，就有
x 0
，即lim 0
10.
证明：若x 及x
时，函数
f (x)
的极限都存在且都
等于
A，则lim
f (x) A
x证：
x因为
lim
f (x) A，所以就有
f (x) A
0，当x X
2
0, X1
0，当
x X1
时，
又因为
lim
f (x) A，所以对上面的
0, X
2
x时，就有
f (x) A
，取
X max
X1, X
2
，则
x X
当，
即x X
或
x X
时，就有
f (x) A
即lim
f (x) A
x
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
11.
根据函数极限的定义证明:函数
f (x)
当
x x0
时极限存在的充
分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等
证：
x x0
x x0
必要性，若
lim
f (x) A，则 0, 0当0 时，就有
f (x) A
特别,当0 x x0
时，有
f (x) A
，即
lim
f (x) A；
xx0
当0 x0
x
时，有
f (x) A
，即lim
f (x) A
xx0
A lim
充分性，若lim
f (x)，则f (x) xx0
xx0
0, 1 0
，
当0 x x0
1时，就有
f (x) A
；又2
0
当0 x0
x
时，就有
f (x) A
即lim
f (x) A
x x0
12.
试给出
x
时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明
解：
x局部有界性定理，如果lim
f (x) A
，那么存在常数
M 0
和
X 0，使得当
x X
时，有
f (x) M
证明如下：因为lim
f (x) A，所以对
1 0, X
0
，
x当
x X
时，就有
f (x) A 1，从而
f (x) f (x) A A 1 A
取M A 1
，即有当
x X
时，
f (x) M
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
习题 1-4
1.
两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明。解：
不一定，例如
(x) 2x
与
(x) 3x
，都是当
x 0时的无穷小，
(x) 2
但
却不是当x 0时的无穷小
(x) 3
2.
根据定义证明：
x 9
(1) y x 3
1
(2) y x sin
为当
x 0时的无穷小
x
证：
为当
x 3时的无穷小
2
（1）
x2
9
x 3
，所以 0，取
，
因为
x 3
3
时，就有
则当0 x
x 9
2
x 3
即
x 9
x 3
2
为当
x 3时的无穷小
（2）
1
因为
x sin
x
，所以 0，取
，则当0 x
时，
x
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
就有
x sin
1
x
即x sin
为当x 0时的无穷小
1
x
1 2x
3.
根据定义证明：函数
y
为当
x 0时的无穷大，问
x
应
x
4
满足什么条件，能使
y 10？
证：
1 1
1 2x 2x
M
， 因为
2 2，要使
1
x x x x
1
只要
x
2 M
， 即
x
1
M 2
取
，所以M
0
，1
M 2
，
1 2x
则当0 x 0
时，就有
M
x
1 2x
即 为当x 0时的无穷大
x
1
1
4时，
令M 10
，取
4
当0 x 0
4
10 2
10 2
1 2x
104
就能使
x
4.
求下列极限并说明理由
2x 1 1 x2
(1) lim ;(2) lim
x0
1 x
x
x
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
解：
1
(1) lim lim(2 ) 2
x xx
x
1
理由：由定理 2， 为当
x
时的无穷小；
x
1
再由定理 1
lim(2 ) 2
，
xx
1 x2
lim(1 x) 1
(2) lim
x0
1 x
x0
理由：由定理 1，
lim(1 x) 1
x0
2x 1
5.
根据函数极限或无穷大定义，填写下表：
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
6.
函数
y cos x在(, )
内是否有界？这个函数是否为x 时的无穷小？为什么？
解：因为M
0
，总有
x0
(M , )，使cos x0
从而
y x0
cos x0
1，
0
，
x0
M
，所以
y cos x在(, )
内无界
0 M
，所以
y f (x) x cos x
，
又因为M 0, X
0
，总有
x0
( X , )，使cos x0
从而
y x0
cos x0
不是当
x 时的无穷大
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
17.
证明： 函数
y sin
在区间0,1
内无界， 但这函数不是
x x
x 0
时的无穷大
证：
1
1 1先证函数
y sin
在区间0,1内无界
x x
因为M
0
在0,1中总可找到点
x0
，使
f (x0
) M
，例如，
1
可取x (k N )
，则
f (x ) 2k
，当k
充分大
0 0
2
2k
2
1 1
时，可使
f (x0
) M
，所以
y sin
在0,1内无界
x x
再证函数不是
x 0时的无穷大
因为M 0, 0
总可找到点
x0
，使0 x0
1
， 但
f (x0
) M
，
例如，可取x0
2k但
f (x0
) 2k
sin 2k 0 M
，
1 1
所以
y sin
不是x 0
时的无穷大
x x
(k N
)，当k
充分大时，
0 x0
8.
求函数4
f (x)
的图形渐近线
2 x2
解：
因为lim
f (x) 0
，所以
y 0是函数图形的水平渐近线
x因为
lim
x 2
f (x) , lim f (x) ，所以
x 2
x 2
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
及x 2
都是函数图形的铅直渐近线
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
习题 1-5
1.
计算下列极限；
2
2
x 5
x(1) lim ;
(2) lim
3
;
2
x2
x 3
x 3
x1
x2
2x 1
4x3
2x2
x
(3) lim
;;
(4) lim
2
2
x1
x0
3x 2x
x 1
1 1
(x h)2
x2
(5) lim ;
(6) lim(2 );
h0
xx x2
h
2 2
x1 x x
;(7) lim
2
(8) lim
;
4 2
x
2x
x 1
x
x
3x 1
2
1
1
x 6x 8
(9) lim
2
(10) lim(1 )(2 );
;
x2
x x 4
x4
x
5x
1 1 1
(11) lim(1 );
n
2 4 2n
1 2 3 (n 1)
(12) lim ;2n
n
(n 1)(n 2)(n 3)
(13) lim ;n
5n3
1 3
(14) lim( )
x1
1 x 1 x3
解：
2
lim (x 3)
2
(1) lim
x 5
x 3
2
0
x2
x 3 lim (x1)
x 3
x2
3 0
0
(2) lim
2
x 3
x 1 4
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
x 1
x2
2x 1
lim
(3) lim
0
2
x1 x1
x 1
x1
2
lim(4x 2x 1)
1
4x 2x x
(4) lim
x0
x0
lim(3x 2) 2
3x2
2x
3 2
(5) lim
2
x0
2
(x h) x lim(2x h) 2x
h0 hh
1 1 1 1
(6) lim(2 ) lim 2 lim lim 2
xx
x
x x2
xx
x2
1
lim(1 )
2
1
(7) lim
x1
x
x2
21 1
2
x
2x x 1
lim(2 )
xx x2
11
)
lim(
3
2
0
(8) lim
x x
x
x2
xx
x4
3x2
1
lim(1
3
1
)
4
2
xx
x2
x 6x 8 (x 4)(x 2) 2
(9) lim
lim
x4
(x 4)(x 1) 3
x4
x2
5x 4
1 1
(10) lim(1 )(2 ) 1 2 2
x
x x2
1 1 1 1
(11) lim(1 ) lim 2(1) 2
n
n
nn
21
2 4 21 2 3 (n 1) 1 1 1
lim lim
(12)
(1 ) n
n
2
n2
n 2
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
(n 1)(n 2)(n 3) 1 1 2 3 1
lim lim
(13)
(1 )(1 )(1 ) 3n5n n
5 n n n 5
1 3
(14) lim( ) lim
(x 1)(x 2)
1
x1
(1 x)(1
x1
1 x 1 x3
x x2
)
2.
计算下列极限:
x3
2x2
;(1) lim
2
x2
(x 2)
2
x(2) lim ;
x
2x 1
(3) lim(2x3
x 1)
x解：
（1）
因为，
lim
3
x2
(x 2)2
2
x 2x0
3 2
x 2x所以lim
2)
2
x2
(x
2x 1 2 1
（2）
因为lim
lim(
2) 0
xx
x
x2
x
x2
所以lim x
2x 1
1（3）因为lim
3
lim
x
2x x 1
x
1
x3
0
1 1
2
x2
x
3
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
所以lim(2xx3
x 1) 3.
计算下列极限：
1
2(1) lim x
sin ;
x0
x
解：
(2) lim
arctan x
xx
1（1）
因为
x
0(x 0), sin
1，
x
1
2sin 0
所以lim x
x0
x
1
（2）
因为，
0(x ), arctan x x 2
arctan x
所以lim
0xx
2
4.
设a,b,c均为非负数列，
nn 0, lim b 1, lim c
且lim a
n n n
，下列陈述中哪些是对的，哪
n些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例
(1)
an
bn
, n N ;
(2)
bn
cn
, n N
;
(3) lim ancn
不存在；
n(4) lim bncn
不存在
n解：
1 n
, n N ,
当
n 1
时 ，
（ 1 ） 错 ， 例 如
an
,b
n n n 1
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
1
a1
1
b1
故对任意n N，
an
bn
不成立
2n
（2）
错，例如bn
, cn
(1)n
, n N,
当n
为奇数时，
n 1
bn
cn
不成立
1
, lim a c 0
（3）
错，例如an
2
, cn
n, n N
n n
nn（4）
对，因为，若lim b
存在，则lim c
c
lim(b c
) lim
n
n n
n
1
也
n
n n
nn
bn
存在，与已知条件矛盾
5.
下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；
如果是错的，试给出一个反例
（1）
如果lim
f (x)
存在，但lim g(x)不存在，
x x0
x x0
那么lim f (x) lim g(x)不存在
x x0
xx0
x x0
（2）
如果lim f (x)
和lim g(x)都不存在，
x x0
那么lim f (x) lim g(x)不存在
x x0
（3）
如果lim
xx0
x x0
f (x)
存在，但lim g(x)不存在，
x x0
那么lim f (x) lim g(x)不存在
x x0
解：
xx0
高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)
（1）
对，因为，若lim f (x) lim g(x)存在，
xx0
x x0
则lim g(x)
lim f (x) lim g(x)
lim
f (x)
也存在，与已
x x0
x x0
x x0
xx0
知条件矛盾
（2）
错，例f (x) sgn x, g (x) sgn x
在x 0时的极限都
如
不存在，但
f (x) g (x) 0
在
x 0时的极限存在
1
（3）
错，例如lim x 0, lim sin
在时的极限不存在，
x x0
xx0
x
1
但lim x sin
0
xx0
x
6.
证明本节定理 3 中的（2）
定理 3（2）如果lim f (x) A, limg(x) B
，
那么lim证：
因lim f (x) A, limg(x) B
，由上节定理 1，
f (x) g(x)
lim
f (x) lim g(x) A B
x
A
, g
x
B
,，其中
,
都是无穷小，
于是
f
x
g
x
A
B
AB
A B B
有
f
由本节定理 2 推论 1，2，
A
, B
, B
都是无穷小，再由本节定理
1，
A B B
也是无穷小，由上节定理 1，得
lim
f
x
g
x
AB lim
f
x
lim g
x
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