2024年3月30日发(作者：曲靖市2016年数学试卷)

二次根式的知识点汇总

知识点一： 二次根式的概念

形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注

意：因为负数没有平方根，所以

等是二次根式，而，

是为二次根式的前提条件，如，，

等都不是二次根式。

1

例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

2

、

3

3

、、

x

（x>0）、

0

、

x

1

4

2

、-

2

、、

xy

（x≥0，y•≥0）．

xy

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“

知识点二：取值范围

”；第二，被开方数是正数或0．

1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根

式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，

例2．当x是多少时，

3x1

在实数范围内有意义？

1

例3．当x是多少时，

2x3

+在实数范围内有意义？

x1

知识点三：二次根式

（

（）的非负性

）是一个非负数，即0（）。

没有意义。

）表示a的算术平方根，也就是说，（

（注：因为二次根式）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术

平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也

就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，

如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

x

的值．(2)若

a1

+

b1

=0，求a

2004

+b

2004

的值

y

例4(1)已知y=

2x

+

x2

+5，求

知识点四：二次根式（）的性质

（）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也

. 可以反过来应用：若，则，如：，

例1 计算

3

2

5

2

7

2

1．（） 2．（3

5

）

2

3．（） 4．（）

6

2

2

例2在实数范围内分解下列因式:

（1）x

2

-3 （2）x

4

-4 (3) 2x

2

-3

知识点五：二次根式的性质

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：

1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a

本身，

即

2、

；若a是负数，则等于a的相反数-a,即

中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；

；

3、化简时，先将它化成

例1 化简

，再根据绝对值的意义来进行化简。

（1）

9

（2）

(4)

2

（3）

25

（4）

(3)

2

例2 填空：当a≥0时，

a

2

=_____；当a<0时，

a

2

=_______，•并根据这一性质回答

下列问题．

（1）若

a

2

=a，则a可以是什么数？（2）若

a

2

=-a，则a是什么数？ （3）

a

2

>a，

则a是什么数？

例3当x>2，化简

(x2)

2

-

(12x)

2

．

知识点六：

1、不同点：

而

与

与

的异同点

表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，

中

，

，而中a可以是正实数，表示一个实数a的平方的算术平方根；在

与都是非负数，即

，而

0，负实数。但

有差别的，

。因而它的运算的结果是


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