2024年3月25日发(作者：江西省数学试卷题目)

数学分析

上册 第三版

华东师范大学数学系 编

部分习题参考解答

P.4 习题

1．设a为有理数，x为无理数，证明：

（1）a + x是无理数； （2）当

时，ax 是无理数.

证明 （1）（反证）假设a + x是有理数，则由有理数对减法的封闭性，

知 x = a +x – a 是有理数. 这与题设“x为无理数”矛盾，故a + x是无理数.

（2）假设ax 是有理数，于是

是有理数，这与题设“x为无理数”矛盾，故ax是无理数.

3．设

，证明：若对任何正数ε有

，则 a = b .

证明 由题设，对任何正数ε有

，再由教材P.3 例2，可得

，于是

，从而 a = b .

另证 （反证）假设

，由实数的稠密性，存在 r 使得

. 这与题设“对任何正数ε有

”矛盾，于是

，从而 a = b .

5．证明：对任何

有

（1）

； （2）


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