2024年3月13日发(作者：幼数学试卷10以内)

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编

专题17 立体几何解答题

1

．

(2022

年全国甲卷理科

·

第

18

题

)

在四棱锥

PABCD

中，

PD

底面

ABCD,CD∥AB,ADDCCB1,AB2,DP3

．

(1)

证明：

BDPA

；

(2)

求

PD

与平面

PAB

所成的角的正弦值．

2

．

(2022

年全国乙卷理科

·

第

18

题

)

如图，四面体

ABCD

中，

ADCD,ADCD,ADBBDC

，

E

为

AC

的中点．

(1)

证明：平面

BED

平面

ACD

；

(2)

设

ABBD2,ACB60

，点

F

在

BD

上，当

△AFC

的面积最小时，求

CF

与平面

ABD

所成

的角的正弦值．

3

．

(2022

新高考全国

II

卷

·

第

20

题

)

如图，

PO

是三棱锥

PABC

的高，

PAPB

，

ABAC

，

E

是

PB

的中点．

(1)

证明：

OE//

平面

PAC

；

(2)

若

ABOCBO30

，

PO3

，

PA5

，求二面角

CAEB

的

正弦值．

4

．

(2022

新高考全国

I

卷

·

第

19

题

)

如图，直三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

的体积为

4

，

A

1

BC

的面积为

22

．

(1)

求

A

到平面

A

1

BC

的距离；

(2)

设

D

为

AC

1

的中点，

AA

1

AB

，平面

A

1

BC

平面

ABB

1

A

1

，求二面角

ABDC

的正弦值．

5

．

(2021

年新高考全国

Ⅱ

卷

·

第

19

题

)

在四棱锥

QABCD

中，底面

ABCD

是正方形，若

AD2,QDQA5,QC3

．

(1)

证明：平面

QAD

平面

ABCD

；

(2)

求二面角

BQDA

的

平面角的余弦值．

6

．

(2021

年新高考

Ⅰ

卷

·

第

20

题

)

如图，在三棱锥

ABCD

中，平面

ABD

平面

BCD

，

ABAD

，

O

为

BD

的中点．

(1)

证明：

OACD

；

(2)

若

OCD

是边长为

1

的

等边三角形，点

E

在棱

AD

上，

DE2EA

，且二面角

EBCD

的大小为

45

，

求三棱锥

ABCD

的体积．

7

．

(2020

年新高考

I

卷

(

山东卷

)·

第

20

题

)

如图，四棱锥

P-ABCD

的底面为正方形，

PD

⊥底面

ABCD

．设平

面

PAD

与平面

PBC

的交线为

l

．

(1)

证明：

l

⊥平面

PDC

；

(2)

已知

PD=AD=1

，

Q

为

l

上的点，求

PB

与平面

QCD

所成角的正弦值的最大值．

8

．

(2020

新高考

II

卷

(

海南卷

)·

第

20

题

)

如图，四棱锥

P-ABCD

的底面为正方形，

PD

底面

ABCD

．设平面

PAD

与平面

PBC

的交线为

l

．

(1)

证明：

l

平面

PDC

；

(2)

已知

PD=AD=1

，

Q

为

l

上的点，

QB=

2

，求

PB

与平面

QCD

所成角的正弦值．

9

．

(2021

年高考全国乙卷理科

·

第

18

题

)

如图，四棱锥

PABCD

的底面是矩形，

PD

底面

ABCD

，

PDDC1

，

M

为

BC

的中点，且

PBAM

．

(1)

求

BC

；

(2)

求二面角

APMB

的正弦值．

10

．

(2021

年高考全国甲卷理科

·

第

19

题

)

已知直三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

中，侧面

AA

1

B

1

B

为正方形，

ABBC2

，

E

，

F

分别为

AC

和

CC

1

的

中点，

D

为棱

A

1

B

1

上的点．

BFA

1

B

1

(1)

证明：

BFDE

；

(2)

当

B

1

D

为何值时，面

BB

1

C

1

C

与面

DFE

所成的二面角的正弦值最小

?

11

．

(2020

年高考数学课标

Ⅰ

卷理科

·

第

18

题

)

如图，

D

为圆锥的顶点，

O

是圆锥底面的圆心，

AE

为底面直

径，

AEAD

．

ABC

是底面的内接正三角形，

P

为

DO

上一点，

PO

6

DO

．

6

(1)

证明：

PA

平面

PBC

；

(2)

求二面角

BPCE

的余弦值．

12

．

(2020

年高考数学课标

Ⅱ

卷理科

·

第

20

题

)

如图，已知三棱柱

ABC-A

1

B

1

C

1

的底面是正三角形，侧面

BB

1

C

1

C

是矩形，

M

，

N

分别为

BC

，

B

1

C

1

的中点，

P

为

AM

上一点，过

B

1

C

1

和

P

的平面交

AB

于

E

，交

AC

于

F

．

(1)

证明：

AA

1

∥

MN

，且平面

A

1

AMN

⊥

EB

1

C

1

F

；

(2)

设

O

为

△

A

1

B

1

C

1

的中心，若

AO

∥平面

EB

1

C

1

F

，且

AO=AB

，求直线

B

1

E

与平面

A

1

AMN

所成角的正

弦值．

13

．

(2020

年高考数学课标

Ⅲ

卷理科

·

第

19

题

)

如图，在长方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，点

E,F

分别在棱

DD

1

,BB

1

上，且

2DEED

1

，

BF2FB

1

．

(1)

证明：点

C

1

在

平面

AEF

内；

(2)

若

AB2

，

AD1

，

AA

1

3

，求二面角

AEFA

1

的正弦值．

14

．

(2019

年高考数学课标

Ⅲ

卷理科

·

第

19

题

)

图

1

是由矩形

ADEB

，

Rt

△

ABC

和菱形

BFGC

组成的一个平面

图形，其中

AB=1

，

BE=BF=2

，∠

FBC=60°

，将其沿

AB

，

BC

折起使得

BE

与

BF

重合，连结

DG

，如图

2

．

(1)

证明：图

2

中的

A

，

C

，

G

，

D

四点共面，且平面

ABC

⊥平面

BCGE

；

(2)

求图

2

中的二面角

B−CG−A

的大小．

D

E

A

C

B

F

G

A

D

E

(

F

)

C

图2

G

B

图1

15．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第17题)如图，长方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

的底面

ABCD

是正方形，

点

E

在棱

AA

1

上，

BEEC

1

．

1

证明：

BE

平面

EB

1

C

1

；

2

若

AEA

1

E

，求二面角

BECC

1

的正弦值．

16．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第18题)如图，直四棱柱

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

的底面是菱形，

AA

1

4,AB2,BAD60,E,M,N

分别是

BC

，

BB

1

，

A

1

D

的中点．

D

1

(1)证明：

MN//

平面

C

1

DE

；

(2)求二面角

AMA

1

N

的正弦值．

C

1

B

1

A

1

17．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第19题)(12分)如图，边长为

2

的正方形

N

ABCD

所在平面与半圆弧

CD

M

所在的平面垂直，

M

是弧

CD

上异于

C,D

的点．

(1)证明：平面

AMD

平面

BMC

；

D

B

E

C

(2)当三棱锥

MABC

体积最大时，求面

MAB

与面

MCD

所成二面角的正弦值．

A

18．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第20题)(12分)

如图，在三棱锥

PABC

中，

ABBC22

，

PAPBPCAC4

，

O

为

AC

的中点．

(1)证明：

PO

平面

ABC

；

(2)若点M在棱

BC

上，且二面角

MPAC

为

30

，求

PC

与平面PAM所成角的正弦值．


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平面,高考,全国