2024年1月5日发(作者：优优老师批改数学试卷)
GeoGebra 数学绘图教室(1)基础绘图
台北县立锦和高中 陈禾凯
GeoGebra是个好用的数学绘图软件，但一般人在开始学习时面对一堆的图像按钮（icon），往往不知所措，有如手握倚天剑、屠龙刀但心中却不知如何是好，真是「拔剑四顾心茫然」。笔者有幸接受邀请到各学校举办研习，和各地的数学老师一同探讨GeoGebra这套数学绘图软件的功能，在此藉学科中心电子报一隅和其它未能前来的老师分享。
一、如何将画出来的图贴到Word之中
分两个阶段来看，第一阶段要根据题目先画出所需的数学图，第二阶段再把画好的数学图贴到文字编辑器之中。
以三角形的3条角平分线及内切圆为例
第一阶段 （分成三部曲来看）
我们在课堂怎么教学生的，就怎么在GeoGebra上画图 (-动画教学-)
首部曲：
a.
b.
c.
d.
e.
用线段画出三角形的三边
画出三条角平分线
内心为三角平分线的交点
找切点
画出内切圆
二部曲：（初步修饰）
a. 把坐标轴取消
b. 画出角平分线段
(把角平分线和对边的交点找出来，隐藏直线，再画出线段)
c. 把线段名称隐藏起来
三部曲：
a. 设定顶点的大小
b. 点的名称(卷标)可用鼠标调整到适当的位置
第二阶段
把所画好的图贴到文字编辑器上（以word为例）
以鼠标点选【档案-输出】
会出现如右之选项
方法一 若选
(建议存为*.png的图档)
在word 之中 【插入-图片-从档案】把所存的图文件安插到适当的位置。
方法二 若选 则可把绘图区的图暂存到剪贴簿。
在word 之中，【编辑-贴上】(或按Ctrl + V) 便可将图贴上。
则可把绘图区的图存为图档
值得一提的是所谓的绘图区，一般指的是GeoGebra右边的区域，如右图红色方框所示，若是需要用坐标轴的话，坐标轴的正向有两个小小的箭簇也会存在图档内。
绘图区也可以用拉出一块矩形区域，当然这种标示绘图区的方法，就没有把坐标轴的箭簇包含在内。
二、画一般数学题目的图
绘图软件只是个工具，说穿了不过是个高科技的圆规直尺及量角器, 最重要的还是图的数学原理及性质，以下是绘图的一些诀窍。
1. 先算出题目的答案。
2. 三角形可用SAS、ASA、 SSS 等作图法来画。
3. 也可用坐标法，配合向量平移、旋转、缩放来画图。
4. 有时直接在输入字段输入指令会比较快。
5. 最后把顶点改为适当的名称，不必要的点及线隐藏起来。
6. 在某些情形之下，无法直接用GeoGebra的绘图icon来画图，思考一下变通的方法来画。
（以97年国中第一次基测为例）
第9题
如图AB、CD分别为两圆的弦，AC、BD为两圆的公切线且相交于P点。若PC2，CD3，DB6则ΔPAB的周长为何？
GeoGebra绘图重点:
要画图就要对这个数学图有充份的了解，由三角形的相似性质可知：
1.左: 4,4,6 三角形 右: 2,2,3 三角形
2.以Ｐ为原点建立一坐标系，
3.求出Ｄ之坐标为（(-动画教学-)
73,)
224.其余Ｃ、Ａ、Ｂ由对称之性质画出
第12题
有一长条型链子，其外型由边长为１公分的正六边形排列而成。右图表示此链之任一段花纹，其中每个黑色六边形与６个白色六边形相邻。若链子上有35个黑色六边形，则此链子共有几个白色六边形？
GeoGebra绘图重点:
1. 【选项-对象卷标-开始不显示】
2. 先画出数个正六边形, 再用平移复制出其它的正六边形
3. 最后再把所有的点缩小
4. 按鼠标右键【属性-样式-填色】把填色的数值设定大一点, 可让正六边形颜色变深
(-动画教学-)
第32题
如图，圆O为四边形ABCD的内切圆。若
∠AOB=70，则∠COD=?
(-动画教学-)
GeoGebra绘图重点:
先画△OAB 再以O为圆心，画一圆和ＡＢ相切，其它边用切线画出来
第34题
如图，圆Ｏ1、圆Ｏ2、圆Ｏ3三圆两两相切，且AB为圆Ｏ1、圆Ｏ2、的公切线，为AB弧为半圆，且分别与三圆各切于一点。若圆Ｏ1、圆Ｏ2的半径均为1，则圆Ｏ３的半径为？
GeoGebra绘图重点:
利用已知条件求出O3半径为2-1, 以坐标法来画图
(-动画教学-)
三、GeoGebra还能画那些图
1.直角符号、线段等长符号、标示角度的小箭头
(-动画教学-)
2.特殊区域涂色
(画4次弓形)
(-动画教学-)
3.把这个区域着色就有点学问了, 用指令Integral
格式如下:
Integral[f(x),g(x),a,b]
会把f(x), 及g(x)在x=a,b之间的区域面积算出来, 同时这区域就可以「着色」．
(-动画教学-)
四、计算的图
笔者悠游GeoGebra的绘图世界之际，教科书业务先生送来数学期刊－龙腾数亦优，其中正好有须用计算机绘图的题目，在此和大家分享一下作法。
这一期有一篇由大叶大学许介彦教授所撰「意料之外的游戏」，其中提到两个有关棒球比赛的问题，第一个问题：
设洋基队每次出赛获胜的机率固定是p，则打完n场比赛时赢得至少np场的机率记作Pn(p)，则洋基队在打完81场时赢得至少81p场的机率与打完162场时赢得至少162p场的机率哪一个较大？
nk打完81场时赢得至少81p场的机率为Pn(p)p(1p)nk
kknpn要比较P81(p)及P162(p)的大小就看看两者的比值(大于１或小于１)
8181kp(1p)81kP81(p)k81pk162…………………………………※
162Pk162k162(p)kp(1p)k162p原文以Matlab 程序计算p在0.01到1的变动范围之下 (p,P81(p)) 点分布的P162(p)图形，笔者以GeoGebra 来计算绘图，兹简介作法如下：
首先来看一下所要用到的指令：（注：请安装GeoGebra-pre-release 版本）
Sum[List]：把List 中的所有数字加起来
Sequence[Expression,i,a,b,s] : i从a到b每隔s 变动Expression算式
BinomialCoefficient[n,k] : 即组合数 C(n,k)
Ceil[x]:大于或等于x的最小整数 (即
nxn1,Ceil[x]n1,xR)
Element[PP, i]：PP之中第i个元素
Segment[A,B]：形成ＡＢ线段
在GeoGebra中只要输入如下的两行指令即可显示所要之图:
PP=Sequence[(p, Sum[Sequence[BinomialCoefficient[81, i] p^i (1 - p)^(81 - i), i, ceil(p 81), 81]]
/
Sum[Sequence[BinomialCoefficient[162, i] p^i (1 - p)^(162 - i), i, ceil(p 162), 162]]), p, 0.01, 1, 0.01]
Sequence[Segment[Element[PP, i], Element[PP, i + 1]], i, 1, 99]
其它的计算机语言程序代码是愈写愈长，在GeoGebra之中是用堆砌起来的指令来处理数学算式，当然就有愈写愈「宽」的情形。
第一行指令所计算出来的是一连串的点坐标
P(p)P(p)P(p)P(p)PP= [(p1,811)，(p2,812)，(p3,813)，…，(p100,81100)]
PPPP162(p1)162(p100)162(p2)162(p3)
P10.01,P20.02,...
第二行指令则把这些点用线段相连起来成为弯曲起伏的图形，如下图：
(-动画教学-)
另一个问题是：
如果洋基和红袜打n场比赛时（n为偶数），洋基每场获胜的机率为0.45，打完n场的胜场数大于nn的机率记作P(n) , 则n为多少时P(n)有最大值
2nknk
P(n)0.450.55knk12GeoGebra计算绘图指令如下：
作法一: (-动画教学-)
p=0.45
List1=Sequence[i,i,2,24,2]
List2=Sequence[Sum[Sequence[BinomialCoefficient[n, k] p^k (1 - p)^(n - k), k, n / 2 + 1, n, 1]], n, 2, 24, 2]
BarChart[List1,List2]
作法二:
设定数值滑杆：名称p 最小0, 最大1 增量0.01
List1=Sequence[i,i,2,24,2]
List2=Sequence[Sum[Sequence[BinomialCoefficient[n, k] p^k (1 - p)^(n - k), k, n / 2 + 1, n, 1]], n, 2, 24, 2]
BarChart[List1,List2]
以鼠标拉动数值滑杆，可看看p从0到1的增加过程中，长条图的变化情形．
五、相关的网址：
1.
GeoGebra的官方网站，可免费下载程序，或连接到讨论区．
2. /~smath
锦和高中数学科网站，有GeoGebra 的教学影片，除此之外还有许多好用的免费数学软件介绍。
3. /webstart/dev/
GeoGebra3.2 的抢鲜版下载网址，增加了一些3.0所没有的指令如：Barchart, BinomialCofficient
4.
龙腾数亦优第八刊「P17 意料之外的游戏」作者：许介彦／大叶大学电机工程学系」
文章内容可连接以下网址浏览
/LungTengNet/HtmlMemberArea/publish/Math/008/4意料之外的游戏.doc
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