2024年4月4日发(作者：数学试卷讲评图片)

2015年普通高等学校招生全国统一考试

新课标Ⅰ卷·文

一、选择题：每小题5分,共60分

1、已知集合

A{xx3n2,nN},B{6,8,10,12,14}

，则集合

AIB

中的元素个数为

（A） 5 （B）4 （C）3 （D）2

uuur

uuur

2、已知点

A(0,1),B(3,2)

，向量

AC(4,3)

，则向量

BC

（A）

(7,4)

（B）

(7,4)

（C）

(1,4)

（D）

(1,4)

3、已知复数

z

满足

(z1)i1i

，则

z

（ ）

（A）

2i

（B）

2i

（C）

2i

（D）

2i

4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从

1,2,3,4,5

中

任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）

（A）

3111

（B） （C） （D）

1051020

1

2

，E的右焦点与抛物线

C:y8x

的焦点重合，

A,B

2

5、已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为

是C的准线与E的两个交点，则

AB

（A）

3

（B）

6

（C）

9

（D）

12

6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：

“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思

为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆

底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多

少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放

的米约有（ ）

（A）

14

斛 （B）

22

斛 （C）

36

斛 （D）

66

斛

7、已知

{a

n

}

是公差为1的等差数列，

S

n

为

{a

n

}

的前

n

项和，若

S

8

4S

4

，则

a

10

（ ）

（A）

1719

（B） （C）

10

（D）

12

22

8、函数

f(x)cos(

x

)

的部分图像如图所示，则

f(x)

的单调递减区间为（ ）

（A）

(k

13

,k

),kZ

44

（B）

(2k

1

4

,2k

3

4

),kZ

（C）

(k

1

4

,k

3

4

),kZ

（D）

(2k

1

4

,2k

3

4

),kZ

9、执行右面的程序框图，如果输入的

t0.01

，则输出的

n

（

（A）

5

（B）

6

（C）7 （D）8

10、已知函数

f(x)

2

x1

2,x1

1

，

log

2

(x1),x

且

f(a)3

，则

f(6a)

（A）

7

4

（B）

5

4

（C）

3

4

（D）

1

4

）

11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为

r

）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视

图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为

1620

，则

r

( )

（A）

1

（B）

2

（C）

4

（D）

8

12、设函数

yf(x)

的图像与

y2

xa

的图像关于直线

yx

对称，且

f(2)f(4)1

，则

a

( )

（A）

1

（B）

1

（C）

2

（D）

4

二、填空题：本大题共4小题,每小题5分

13、数列

a

n

中

a

1

2,a

n1

2a

n

,S

n

为

a

n

的前n项和，若

S

n

126

，则

n

.

3

14.已知函数

f

x

axx1

的图像在点

1,f

1

的处的切线过点

2,7

，则

a

.



xy20

15. 若x,y满足约束条件

x2y10

,则z=3x+y的最大值为 ．

2xy20

y

2

1

的右焦点，P是C左支上一点，

A0,66

，当

APF

周长最小16.已知

F

是双曲线

C:x

8

2



时，该三角形的面积为 ．

三、解答题

17. （本小题满分12分）已知

a,b,c

分别是

ABC

内角

A,B,C

的对边，

sin

2

B2sinAsinC

.

（I）若

ab

，求

cosB;

（II）若

B90

o

，且

a2,

求

ABC

的面积.

18. （本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，

BE平面ABCD

，

（I）证明：平面

AEC

平面

BED

；

（II）若

ABC120

o

，

AEEC,

三棱锥

EACD

的体积为

6

，求该三棱锥的侧面积.

3

19. （本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：

千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费

x

i

和年销售量

y

i

i1,2,L,8

数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

（I）根据散点图判断，

yabx

与

ycdx

，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回

归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；

（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为

z0.2yx

，根据（II）的结果回答下列问题：

（i）当年宣传费

x

=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？

（ii）当年宣传费

x

为何值时，年利润的预报值最大？

20. （本小题满分12分）已知过点

A

1,0

且斜率为k的直线l与圆C：

x2

y3

1

交于M，

22

N两点.

（I）求k的取值范围；

uuuuruuur

（II）若

OMON12

，其中O为坐标原点，求

MN

.

21. （本小题满分12分）设函数

f

x

e

2x

alnx

.

（I）讨论

f

x

的导函数

f

x

的零点的个数；

（II）证明：当

a0

时

f

x

2aaln

2

.

a

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图AB是

e

O直径，AC是

e

O切线，BC交

e

O与点E.

（I）若D为AC中点，证明：DE是

e

O切线；

（II）若

OA3CE

，求

ACB

的大小.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系

xOy

中，直线

C

1

:x2

，圆

C

2

:

x1

y2

1

，以坐标原点为极点,x轴正半

轴为极轴建立极坐标系.

（I）求

C

1

,C

2

的极坐标方程.

（II）若直线

C

3

的极坐标方程为

22

π

R

，设

C

2

,C

3

的交点为

M,N

，求

C

2

MN

的面积.

4

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数

f

x

x12xa,a0

.

（I）当

a1

时求不等式

f

x

1

的解集；

（II）若

f

x

的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.


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