2024年2月28日发(作者：专升本数学试卷有哪些题型)
1977年全国各地普通高等学校招生考试
数学试题及答案
北京市高考数学试卷（文科）
一、解答题（共10小题，满分100分）
1．（10分）计算：2．（10分）化简：3．（10分）解方程：．
．
．
4．（10分）不查表求sin105°的值．
5．（10分）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm，底面边长是2cm，求它的体积．
6．（10分）一条直线过点（1，﹣3），并且与直线2x+y﹣5=0平行，求这条直线的方程．
7．（10分）证明：等腰三角形两腰上的高相等．
8．（10分）为了测湖岸边A、B两点的距离，选择一点C，测得CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°，求AB．
9．（10分）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？
10．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．
（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；
（2）画出它的图象；
（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．
1977年北京市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、解答题（共10小题，满分100分）
1．（10分）计算：．
考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
专题：计算题．
分析：由分数指数幂的运算法则，把原式转化为1+﹣，
由此能求出的值．
解答：解：原式=1+﹣
点评：本题考查分数指数幂的运算法则，解题时要认真审题，仔细求解．
2．（10分）化简：．
=1+=0．
考点：方根与根式及根式的化简运算．
分析：分子分母同乘以，整理可得．
解答：解：原式=．
点评：本题考查分母或分子有理化．
3．（10分）解方程：．
考点：函数与方程的综合运用．
专题：计算题．
分析：先对等式两边同乘x2﹣1进行化简，然后解方程即可．
解答：解：根据题意可知x≠1
等式两边同乘x2﹣1得，x+1+x2﹣1=4x﹣2
化简得x2﹣3x+2=0，解得x=2．
∴原方程的解为x=2．
点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及解方程等知识，属于基础题．
4．（10分）不查表求sin105°的值．
考点：两角和与差的正弦函数．
专题：综合题．
分析：把105°变为180°﹣75°，然后利用诱导公式化简，把75°变为30°+45°，利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得到值．
解答：解：sin105°=sin（180°﹣75°）=sin75°
=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°
=×+×=
点评：此题考查学生灵活运用诱导公式、两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．
5．（10分）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm，底面边长是2cm，求它的体积．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：计算题．
分析：因为正三棱柱形的底面积由正弦定理的推论可求得，为S=•2•2•sin60°，已知高h=10，由体积公式即可求得．
解答：解：正三棱柱形的底面积为S=•2•2•sin60°，高h=10，由柱体的体积公式得，体积V=sh=•2•2•sin60°•10==（cm3）．
点评：本题考查了柱体的体积公式的应用．是简单的计算题．
6．（10分）一条直线过点（1，﹣3），并且与直线2x+y﹣5=0平行，求这条直线的方程．
考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．
专题：计算题．
分析：先求与直线2x+y﹣5=0平行的直线的斜率，再根据其过点（1，﹣3），用点斜式求直线方程．
解答：解：∵直线2x+y﹣5=0的斜率k=﹣2，
∴所求直线斜率k′=﹣2．
故过点（1，﹣3）且与已知直线平行的直线为y+3=﹣2（x﹣1），
即2x+y+1=0．
点评：本题考查直线的平行关系，直线的点斜式方程，是基础题．
7．（10分）证明：等腰三角形两腰上的高相等．
考点：三角形中的几何计算．
专题：证明题．
分析：由题意画出图形，利用等腰三角形的定和条件找到三角形全等即可求证．
解答：zm：如图，在△BDC与△CEB中，
∵∠DBC=∠ECB，∠BDC=∠CEB=90°，
BC=BC，∴△BDC≌△CEB，
CD=BE．
点评：此题考查了等腰三角形的定义，三角形全等的判定定理及性质定理．
8．（10分）为了测湖岸边A、B两点的距离，选择一点C，测得CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°，求AB．
考点： 余弦定理；解三角形的实际应用．
专题： 计算题．
分析： 利用余弦定理把CA=50米，CB=30米，∠ACB=120°代入即可求得答案．
解答： 解：由余弦定理可得AB=AC2+BC2﹣2AC•BC•cos，∠ACB=70米．
点评： 本题主要考查了余弦定理的应用．属基础题．
9．（10分）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数？
考点： 等比数列的性质；等差数列的性质．
专题： 计算题．
分析： 依题意设出此数列，进而根据等比中项的性质和等差中项的性质联立方
程组求得x和y，则插入的两个数可求．
解答： 解：设此数列为2，x，y，30．
于是有
点评：
解得x=6，y=18．
故插入的两个正数为6，18，
因此，所成的数列为2、6、18、30．
本题主要考查等比数列的性质．考查了考生分析问题和解决问题的能力．
10．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．
（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；
（2）画出它的图象；
（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．
考点： 二次函数的图象．
专题： 作图题；综合题．
分析： （1）根据二次函数的顶点坐标公式和对称轴公式分别求出即可；
（2）根据列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可；
（3）令x=0求出对应的y值，写出坐标为与函数图象y轴的交点，
令y=0求出对应的x值，写出坐标为函数图象与x轴的交点．
解答： 解：（1）∵a=1，b=﹣6，c=5
∴﹣=﹣=3，==﹣1
∴顶点坐标为（3，﹣1），对称轴为直线x=3．
（2）如图列表（描点略）
（3）图象与x轴相交，y=0即x﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5，所以与
x轴交点的坐标为（1，0）（5，0）；
图象与y轴相交，x=0解得y=5，所以与y轴交点的坐标为（0，5）．
2点评：
考查学生掌握二次函数的顶点和对称轴公式，会利用描点法画函数的图象，会求函数标轴的交点坐标．
北京市高考数学试卷（理科）
一、解答题（共12小题，满分120分）
1．（10分）解方程2．（10分）计算：．
．
． 3．（10分）已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg4．（10分）证明：．
5．（10分）求过两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点且过（1，1）点的直线方程．
6．（10分）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？
7．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．
（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；
（2）画出它的图象；
（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．
8．（10分）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB．
9．（10分）有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD•AE=AC•AB．
10．（10分）当m取哪些值时，直线y=x+m与椭圆有一个交点？有两个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象．
11．（10分）求函数f（x）=的导数．
12．（10分）（1）试用ε﹣δ语言叙述“函数f（x）在点x=x0处连续的定义；
（2）试证明：若f（x）在点x=x0处连续，且f（x0）＞0，则存在一个x0的（x0﹣δ，x0+δ），在这个邻域内，处处有f（x）＞0．
北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析
一、解答题（共12小题，满分120分）
1．（10分）解方程考点：
专题：
分析：
解答：
解：原方程同解于，
．
方根与根式及根式的化简运算．
计算题．
先要保证方程有意义即x﹣1≥0，3﹣x≥0，再将方程两边平方，
解不等式组求出x的值即为方程的解．
点评：
解得x=2
故方程的解为x=2
本题考查解无理方程常采用将方程平方去掉根号，但要注意使原方程有意义．
． 2．（10分）计算：考点：
分析：
解答：
根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
由题意根据根式与分数指数幂的运算法则进行计算．
解：原式=+++1
=．
点评： 此题主要考查根式分母的有理化和分数指数幂的化简，比较简单．
3．（10分）已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg．
考点： 对数的运算性质．
专题： 计算题．
分析： 利用对数的运算法则，将欲求lg．的式子转化成条件中的式子：
“lg2=0.3010，lg3=0.4771”来表示即可．
解答：
解：∵lg=lg．
又∵知lg2=0.3010，lg3=0.4771，
∴lg点评：
=lg=0.8266．
答案是：0.8266．
本题主要考查对数的运算性质，切实掌握对数的运算律是解题的关键．
． 4．（10分）证明：考点：
专题：
分析：
同角三角函数基本关系的运用；三角函数恒等式的证明．
证明题．
先看左边，把正切换成正弦和余弦的形式，利用同角函数三角函数
的基本关系化简整理，结果为右边，进而证明原式．
解答：
证：∵（1+tana）2==
=
∴原式成立．
点评： 本题主要考查了同角三角函数的基本关系．解题的关键是熟练记忆
同角三角函数基本关系的中各种公式，并灵活运用．
5．（10分）求过两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点且过（1，1）点的直线方程．
考点： 直线的一般式方程．
专题： 计算题．
分析： 求出两直线x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0的交点坐标，两点式写出直线
方程，将它化为一般式．
解答： 解：由x+y﹣7=0和3x﹣y﹣1=0联立方程组并解得：x=2，y=5．
∵直线过点（2，5）和（1，1）
∴所求的直线方程为即：4x﹣y﹣3=0．
本题考查用两点式求直线方程．
，
点评：
6．（10分）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？
考点： 数列的应用；等比数列的前n项和．
专题： 应用题．
分析： 由题意知七月份到十月份总产值为：
100+（1+20%）•100+（1+20%）2•100+（1+20%）3•100，
然后利用等比数列求和公式进行计算即可．
解答： 解：七月份到十月份总产值为
100+（1+20%）•100+（1+20%）2•100+（1+20%）3•100
=．
答：今年七月份到十月份总产值是536.8万元．
点评： 本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细思考，
合理地建立方程．
7．（10分）已知二次函数y=x2﹣6x+5．
（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；
（2）画出它的图象；
（3）分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标．
考点：
专题：
分析：
解答：
二次函数的图象．
作图题；综合题．
（1）根据二次函数的顶点坐标公式和对称轴公式分别求出即可；
（2）根据列表、描点、连线的步骤画出函数图象即可；
（3）令x=0求出对应的y值，写出坐标为与函数图象y轴的交点，
令y=0求出对应的x值，写出坐标为函数图象与x轴的交点．
解：（1）∵a=1，b=﹣6，c=5
∴﹣=﹣=3，==﹣1
∴顶点坐标为（3，﹣1），对称轴为直线x=3．
（2）如图列表（描点略）
（3）图象与x轴相交，y=0即x﹣6x+5=0解得x1=1，x2=5，
所以与x轴交点的坐标为（1，0）（5，0）；
图象与y轴相交，x=0解得y=5，所以与y轴交点的坐标为（0，5）．
2点评：
考查学生掌握二次函数的顶点和对称轴公式，会利用描点法画函数的图象，会求函数标轴的交点坐标．
8．（10分）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB．
考点：
专题：
分析：
解三角形的实际应用．
应用题．
根据题意可分别可知AC，∠BAC和∠ABC，进而利用正弦定理求得BC．
解答： 解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=45°，∠ABC=30°．
由正弦定理可得（海里）．
点评：
答：船和灯塔的距离CB为20海里．
本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的方法一般是利用三角
函数中的基本公式，如正弦定理，余弦定理，勾股定理，面积公式
等建立数学模型，然后求得问题的解．
9．（10分）有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：AD•AE=AC•AB．
考点：
专题：
分析：
解答：
相似三角形的性质；与圆有关的比例线段。
证明题．
首先根据已知的条件，求出各三角形的内角度数，然后根据相等
角去找对应的相似三角形．
证：连接EC，在△ABD和△AEC中，
∠BAD=∠EAC，∠ABD=∠AEC，
∴△ABD～△AEC，
∴AD•AE=AC•AB．
此题考查了相似三角形的判定：
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
点评：
10．（10分）当m取哪些值时，直线y=x+m与椭圆个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象．
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
专题： 计算题．
有一个交点？有两
分析：
直线与椭圆的交点适合下面方程组：，
① 代入②得=1，其判别式为△=576（25﹣m2）．
解答：
由此可知直线与椭圆有一个交点的充要条件是m=±5，这时直线与
椭圆相切．直线与椭圆有两个交点的充要条件是：﹣m2+25＞0
即|m|＜5，这时直线与椭圆相割．直线与椭圆没有交点的充要条件
是：﹣m2+25＜0，即|m|＞5．
解：直线与椭圆的交点适合下面方程组：
将①代入②得
=1，
整理可得25x2+32mx+（16m2﹣144）=0，
其判别式为△=（32m）2﹣4•25•（16m2﹣144）=576（25﹣m2）
直线与椭圆有一个交点的充要条件是m=±5，
这时直线与椭圆相切．
直线与椭圆有两个交点的充要条件是：﹣m2+25＞0即|m|＜5，
这时直线与椭圆相割．
直线与椭圆没有交点的充要条件是：﹣m2+25＜0，即|m|＞5．
本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．
的导数．
点评：
11．求函数f（x）=考点：
专题：
分析：
解答：
导数的运算．
计算题．
对于分段函数的导数要分段来求．先通过乘积的导函数的法则求出
原函数在x≠0时的导数，再利用导数定义求出当x=0时的导数，最
后分段写出导数解析式即可．
解：当x≠0时，
．
当x=0时，
．
∴点评：
．
本题考查了导数的运算，已知原函数是一个分段函数，
求导函数解析式，利用分段求解的方法，本题属于基础题．
导数的四则运算法则（和、差、积、商）：①（u±v）\'=u\'±v\'②
（uv）\'=u\'v+uv\'③（u/v）\'=．
12．（1）试用ε﹣δ语言叙述“函数f（x）在点x=x0处连续的定义；
（2）试证明：若f（x）在点x=x0处连续，且f（x0）＞0，则存在一个
x0的（x0﹣δ，x0+δ），在这个邻域内，处处有f（x）＞0．
考点： 函数的连续性．
专题： 证明题；阅读型．
分析： （1）因为函数的连续性是用极限来定义的，因而可用ε﹣δ的方式来描述；
（2）因为f（x）在点x=x0处连续，利用（1）中的定义找ε=＞0，
则有|f（x）﹣f（x0）|＜解答：
，即可得到f（x）处处大于0．
解：（1）若对于任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得当|x﹣x0|＜δ时，
总有|f（x）﹣f（x0）|＜ε，则称函数f（x）在点x0处连续；
（2）证：由已知f（x）在点x=x0处连续，
且f（x0）＞0，
所以，由定义，对于给定的ε=必存在δ＞0，当|x﹣x0|＜δ时，
有|f（x）﹣f（x0）|＜，
＞0，
从而f（x）＞f（x0）﹣=＞0
点评：
即在（x0﹣δ，x0+δ）内处处有f（x）＞0．
考查学生会用ε﹣δ语言叙述函数连续定义，并运用ε﹣δ语言描述的
连续定义解决实际问题．解题时要正确理解函数的连续性．
上海市高考数学试卷（文科）
一、解答题（共8小题，满分100分）
1．（12分）（1）计算．
（2）某生产队去年养猪96头，今年养猪120头，问今年比去年增加百分之几？计划明年比今年多养40%，明年养猪几头？
（3）计算4lg2+3lg5﹣lg．
2．（12分）在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过D作BC的平分线交AC于E，已知BC=a，AC=b，求DE的长．
3．（12分）（1）化简（2）解不等式（3）解方程
4．（12分）（1）计算（2）求证：；
；
；
．
；
（3）△ABC中，∠A=45°，∠B=75°，AB=12，求BC的长．
5．（12分）六角螺帽尺寸如图，求它的体积（精确的1mm3）．
6．（12分）求直线的斜率和倾角，并画出它的图形．
7．（14分）当x为何值时，函数y=x2﹣8x+5的值最小，并求出这个最小值．
8．（14分）将浓度为96%和36%的甲、乙两种流酸配制成浓度为70%的流酸600升，问应从甲、乙两种流酸中各取多少升？
1977年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析
一、解答题（共8小题，满分100分）
1．（12分）（1）计算．
（2）某生产队去年养猪96头，今年养猪120头，问今年比去年增加百分之几？计划明年比今年多养40%，明年养猪几头？
（3）计算4lg2+3lg5﹣lg．
考点：
专题：
分析：
对数的运算性质．247830
计算题．
（1）利用指数式运算法则，把原式转化为（﹣+﹣+）×，
由此可得到其结果．
（2）仔细审题，认真寻找数量间的相互关系，合理地建立等式，
从而求出明年养几头猪．
（3）利用对数的运算法则把原式整理为lg16+lg125+lg5，从而得
到4lg2+3lg5﹣lg的值．
解答：
解：（1）原式=（﹣+﹣+）×=（2）根据已知条件，今年比去年增长．
．
明年养猪头数为120（1+40%）=168（头）
（3）原式=lg16+lg125+lg5=lg10000=4．
点评： 本题考查对数的运算性质，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．
2．（12分）在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过D作BC的平分线交AC于E，已知BC=a，AC=b，求DE的长．
考点：
专题：
分析：
解答：
相似三角形的性质；相似三角形的判定．247830
计算题．
根据线线平行得角相等，再结合角平分线可得三角形相似，由相似
三角形的性质找出对应边成比例．然后根据已知边的长求出边DE的长．
解：∵DE∥BC，∴∠1=∠3．
又∠1=∠2，∴∠2=∠3
DE=EC由△ADE∽△ABC，∴b•DE=ab﹣a•DE，
，
故点评：
．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、
解决问题的能力．
；
；
．
其他不等式的解法．
（1）中注意观察式子特点，写为分式形式，提取公因式解决；
（2）为一元一次不等式，先化为标准型ax+b＞0，直接写解集即可；
（3）为分式方程，先化为整式，注意等价变形．
解：（1）原式=．
3．（12分）（1）化简（2）解不等式（3）解方程考点：
分析：
解答：
（2）．⇔，故解集为{x|x＜5}
点评：
（3）可得x2﹣5x+6=0，x=2，x=3（增根）
故原方程的解为x=2．
本题考查多项式的化简、解一元一次不等式、解分式方程，属基本题．
；
；
4．（12分）（1）计算（2）求证：（3）△ABC中，∠A=45°，∠B=75°，AB=12，求BC的长．
考点： 运用诱导公式化简求值；三角函数恒等式的证明；正弦定理．247830
专题： 计算题；证明题．
分析： （1）先用诱导公式把题设中的角转化成180°内的角，进而根据特殊角的三角函数值结果．
（2）把正切和余切转化才弦，进而利用倍角公式和同角三角函数的基本关系对等式化简整理正好等于等式的右边．
（3）根据正弦定理求得BC得值．
解答：
（1）解：原式═；
（2）证：左边=（3）解：由正弦定理可知：点评：
=右边；
．
本题主要考查了诱导公式的化简求值，三角函数的恒等式证明
和正弦定理在解三角形中的应用．属基础题．
5．（12分）六角螺帽尺寸如图，求它的体积（精确的1mm3）．
考点：
专题：
分析：
棱柱、棱锥、棱台的体积．247830
计算题；分割补形法．
本题考查的知识点是棱柱的体积与表面积计算，由图可知，六角
螺帽等于一个正六棱柱的体积，挖掉一个圆柱，故该几何体的体
积等于原来正方体的体积，减挖掉部分的体积．
解：由图可知此六角螺帽的体积为
=点评：
解答：
要求一个组合体的体积，关键是要分析组合体是由哪些简单的几
何体组合（挖掉）得到的，然后根据体积公式分别求出相应的体
积，加（减）即可得到答案．
6．（12分）求直线的斜率和倾角，并画出它的图形．
考点： 直线的倾斜角；直线的斜率．247830
分析： 将直线的一般式方程，转化为斜截式方程，不难得到直线的斜率，
再根据倾斜角与斜率的关系，进一步可以求出直线的倾斜角，根
据直线的方程，可用描点法画出直线的图形．
解答： 解：由
可得倾角θ=arctg．斜率=150°．
点评： 根据直线方程求直线的斜率和倾角，可以先将直线的方程化为
斜截式方程，易得斜率，再根据倾斜角与斜率的关系，易根据
反正切函数得到直线的倾斜角，任取满足直线方程的两个点，
利用描点法可画出直线的图象．
7．（14分）当x为何值时，函数y=x2﹣8x+5的值最小，并求出这个最小值．
考点： 函数的最值及其几何意义．247830
专题： 计算题．
分析： 此题属于利用二次函数图象性质或用配方法求二次函数的最值问题
解答： 解：y=x2﹣8x+5=（x﹣4）2﹣11，
所以，当x=2时，
函数最小值为﹣11．
点评： 也可联系二次函数图象，用图象法来解．
8．（14分）将浓度为96%和36%的甲、乙两种流酸配制成浓度为70%的流酸600升，问应从甲、乙两种流酸中各取多少升？
考点： 根据实际问题选择函数类型．247830
专题： 计算题．
分析： 设应从甲、乙两种流酸中各取x升、y升，根据题意列出二元一次方程组，求出解集即可．
解答： 解：设甲种流酸取x升，乙种流酸取y升，根据题意可得如下方程组：
由（1）得y=600﹣x．代入（2）得x=340（升）
y=260（升）
故应取甲种流酸340升，乙种流酸260升．
考查学生根据实际问题选择函数关系的能力． 点评：
黑龙江省高考数学试卷
一、解答题（共16小题，满分100分）
1．（6分）解方程．
2．（6分）解不等式|x|＜5．
3．（6分）已知正三角形的外接圆半径为4．（6分）．
cm，求它的边长．
5．（6分）cos78°•cos3°+cos12°•sin3°（不查表求值）．
6．（6分）．
7．（8分）解方程．
8．（8分）求数列2，4，8，16，…前十项的和．
9．（8分）圆锥的高为6cm，母线和底面半径成30°角，求它的侧面积．
10．（8分）求过点（1，4）且与直线2x﹣5y+3=0垂直的直线方程．
11．（8分）如果△ABC的∠A的平分线交BC于D，交它的外接圆于E，求证AB•AC=AD•AE．
12．（8分）前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召，1975年造林200亩，又知1975年至1977年这三年内共造林728亩，求后两年造林面积的年平均增长率是多少？
13．（8分）解方程lg（2x+2x﹣16）=x（1﹣lg5）．
14．（8分）已知三角形的三边成等差数列，周长为36cm，面积为54cm2，求三边的长．
15．如图，AP表示发动机的连杆，OA表示它的曲柄．当A在圆上作圆周运动时，P在x轴上作直线运动，求P点的横坐标．为什么当α是直角时，∠P是最大？
16．求曲线y=sinx在[0，π]上的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．
1977年黑龙江省高考数学试卷参考答案与试题解析
一、解答题（共16小题，满分100分）
1．（6分）解方程．
考点： 方根与根式及根式的化简运算．
专题： 计算题．
分析： 令被开方数大于等于0，将方程两边平方得到不等式组，解不等式
组求出方程的解．
解答：
解：原方程同解于
解得x=4
故x=4是原方程的根．
点评： 本题考查解无理方程时，常通过平方将根号去掉，但要注意原方程有
意义即开偶次方根的被开方数大于等于0．
2．（6分）解不等式|x|＜5．
考点： 绝对值不等式的解法．
专题： 计算题．
分析： 先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．
解答： 解：∵|x|＜5．
∴﹣5＜x＜5．
点评： 此题考查绝对值不等式的解法，解题的关键是去掉绝对值，此
类题目是高考常见的题型．
3．（6分）已知正三角形的外接圆半径为cm，求它的边长．
考点： 圆周角定理.
专题： 计算题．
分析： 利用三角形外接圆的圆心距、半径及三角形边长的一半构成的直角
三角形计算即可．
解答： 解：设正三角形的边长为a，
则它的边长为18cm．
．
点评：
4．（6分）考点：
专题：
分析：
解答：
本题主要考查圆中的有关线段，方法是利用直角三角形进行计算．
属于基础题．
．
方根与根式及根式的化简运算．
计算题．
先化简m2﹣2ma+a2=（m﹣a）2再利用解：当m≥a时，当m＜a时，=m﹣a．
=a﹣m．
求值公式求得．
点评： 从形式上观察，确定问题的转化．
5．（6分）cos78°•cos3°+cos12°•sin3°（不查表求值）．
考点： 两角和与差的正弦函数．
分析： 先根据诱导公式将cos78°化为sin12°，再根据两角和与差的正弦
公式可得答案．
解答： 解：原式=sin12°•cos3°+cos12°•sin3°
=sin15°
=sin（45°﹣30°）
=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°
=点评：
6．（6分）
考点：
专题：
．
本题主要考查两角和与差的正弦公式，属基础题．
．
反三角函数的运用．
计算题．
分析：
先求出可知此角为的值，为
==
．
=
再利用反正弦求出那个角的正弦值为，
解答：
解：由已知 因为sin所以答：
点评： 本题考查反三角函数，此是一反正弦求角的题，解决此类问题
一般是逆向求解，欲求三角函数值对应的角，先找那个角的三
角函数值等于这个 值．
． 7．（8分）解方程考点：
专题：
分析：
解答：
点评：
8．（8分）求数列2，4，8，16，…前十项的和．
考点： 等比数列的前n项和．
专题： 计算题．
分析：
由题设可知，解答：
有理数指数幂的化简求值．
计算题．
将方程中的各项化为同底数的，通过等价变形，求出未知数的值．
解：方程即：3x+1﹣3x=18，
3x（3﹣1）=18
，3x=9=32，∴x=2．
本题考查有理指数幂的化简求值．
．
解：由题设可知，此等比数列的首项a1=2公比q=2，
∴．
点评： 本题考查等比数列的前n项和公式，解题时注意此等比数列
的首项a1=2公比q=2．
9．（8分）圆锥的高为6cm，母线和底面半径成30°角，求它的侧面积．
考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
专题： 计算题．
分析： 通过圆锥的高为6cm，母线和底面半径成30°角，求出圆锥的底
面半径，圆锥的母线，然后求出它的侧面积．
解答： 解：由题设条件可知，
圆锥底面半径R=圆锥母线∴侧面积点评：
，
，
．
本题是基础题，考查圆锥的几何体的特征，正确求出圆锥的母
线长，底面半径，是解题的关键，考查计算能力．
10．（8分）求过点（1，4）且与直线2x﹣5y+3=0垂直的直线方程．
考点： 两条直线垂直的判定；直线的一般式方程．
专题： 计算题．
分析： 本题考查的知识点是直线的一般式方程及两条直线垂直的判定，
要求过点（1，4）且与直线2x﹣5y+3=0垂直的直线方程．我们
可先根据两条直线平行斜率之积为﹣1，求出直线的斜率，再将
已知点代入即可求解．
解答：
解：因为直线2x﹣5y+3=0的斜率为，
所以所求直线的斜率为．
所求直线的方程为5x+2y﹣13=0．
点评： 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种
形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，
而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标
轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意
分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不
存在的情况．
11．（8分）如果△ABC的∠A的平分线交BC于D，交它的外接圆于E，求证AB•AC=AD•AE．
考点： 相似三角形的判定；与圆有关的比例线段．
专题： 证明题．
分析： 欲证比例线段AB•AC=AD•AE，可通过证明三角形相似得到，连接BE
（如图），利用同弧所对的圆周角相等和∠A的平分线结合即可证明．
解答： 证明：连接BE（如图）
∵∠CAE=∠EAB，∠ACB=∠AEB，
∴△ACD∽△AEB，
∴．
∴AB•AC=AD•AE．
点评：
本题主要考查与圆有关的比例线段和相似三角形的判定，证明乘积
式的问题可转化证明比例式，最终转化为证明两个三角形相似得到．
12．（8分）前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召，1975年造林200亩，又知1975年至1977年这三年内共造林728亩，求后两年造林面积的年平均增长率是多少？
考点： 数列的应用；等比数列的性质．
专题： 计算题；应用题．
分析： 设后两年造林面积的年平均增长率为x，依照题意可得
200+200（1+x）+200（1+x）2=728，200（1+x）2+200（1+x）﹣528=0，
解方程可知后两年造林面积的年平均增长率．
解答： 解：设后两年造林面积的年平均增长率为x，
依照题意可得
200+200（1+x）+200（1+x）2=728，
200（1+x）2+200（1+x）﹣528=0，
（1+x）2+（1+x）﹣2.64=0，
[（1+x）﹣1.2][（1+x）+2.2]=0，
1+x=1.2，x=0.2=20%
1+x=﹣2.2，x=﹣3.2（不合题意，舍去）
故后两年造林面积的年平均增长率为20%．
点评： 本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，合理地建立方程．
13．（8分）解方程lg（2x+2x﹣16）=x（1﹣lg5）．
考点： 对数的运算性质．
专题： 计算题．
分析： 解对数方程与解对数不等式类似，首先要将等号两边化成底数相等的
对数式，观察到已知方程的表达式中出现的对数为常用对数，故将两
边都化为常用对数式，然后再根据对数相等则真数也相等的原则，转
化的一般方程．
解答： 解：∵lg（2x+2x﹣16）
=x（1﹣lg5）
=xlg2
=lg2x，
∴原方程可化为：2x+2x﹣16=2x∴2x=16
∴x=8．
点评： 解对数方程一般分以下几个步骤：①首先要将等号两边化成底数相等
的对数式，②然后再根据对数相等则真数也相等的原则，转化的一般
方程．③解方程④代入验证，排除增根．
14．（8分）已知三角形的三边成等差数列，周长为36cm，面积为54cm2，求三边的长．
考点： 数列的应用；等差数列的性质．
分析： 设三角形三边的长分别为a﹣d，a，a+d，则依题意有，解这个方程组后
能够求出此三角形的三边长．
解：设三角形三边的长分别为a﹣d，a，a+d， 解答：
则依题意有由（1）得a=12（cm）．
代入（2）得，
36﹣d2=27，d2=9d=±3
故此三角形的三边长分别为9cm，12cm，15cm．
点评： 本题考查数列的性质及其应用，解题时要注意公式的合理选用．
15．如图，AP表示发动机的连杆，OA表示它的曲柄．当A在圆上作圆周运动时，P在x轴上作直线运动，求P点的横坐标．为什么当α是直角时，∠P是最大？
考点：
专题：
分析：
在实际问题中建立三角函数模型．
计算题．
过A作AB⊥OP，设x为点P的横坐标，根据OP=OB+BP表示出x
的表达式，根据虽然∠P随连杆位置的变化而改变但连杆上下摆动的
幅度是一样，可得到∠P的最大值是一样，即只需0≤α≤π内∠P变化
的情况，根据正弦定理可知，因为当时sinα的
解答：
值最大，进而可得到sin∠P的值也最大，再由正弦函数的性质可知此
时P最大．
解：过A作AB⊥OP
设x为点P的横坐标，则
x=OP=OB+BP=因为∠P随连杆位置的变化而改变，
但连杆上下摆动的幅度是一样的，
所以∠P的最大值是一样的．
故可以考虑0≤α≤π内∠P变化的情况，
由正弦定理得在0≤α≤π内，
当时，sinα的值最大，
因而sin∠P的值也最大
∵OA＜AP，
∴∠P＜α，即∠P总是锐角．
在内，
sin∠P是单调上升的，
所以点评：
时，∠P最大．
本题主要考查正弦定理和正弦函数的性质的应用．三角函数的内
容比较散，公式比较多，不容易记忆，一定要在平时多积累多练
习到考试时方能够做到灵活运用．
16．求曲线y=sinx在[0，π]上的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．
考点： 定积分．
专题： 计算题．
分析： 欲求曲线y=sinx在[0，π]上的曲边梯形绕x轴旋转一周所形成的旋
转体的体积，可利用定积分计算，即求出被积函数y=πsin2x在0→π
上的积分即可．
解答： 解：设旋转体的体积为V，
则=故旋转体的体积为：点评：
=．
．
本小题主要考查定积分、定积分的应用、三角函数的导数、三角函数
的二倍角公式等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．
上海市高考数学试卷（理科）
一、解答题（共10小题，满分100分）
1．（10分）（1）化简（2）计算（3）；
，验算i是否方程2x4+3x3﹣3x2+3x﹣5=0的解；
；
（4）求证：．
2．（10分）在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过D作BC的平分线交AC于E，已知BC=a，AC=b，求DE的长．
3．（10分）已知圆A的直径为，圆B的直径为，圆C的直径为2，圆A与圆B外切，圆A又与圆C外切∠A=60°，求BC及∠C．
4．（10分）正六棱锥V﹣ABCDEF的高为2cm，底面边长为2cm．
（1）按1：1画出它的三视图；
（2）求其侧面积；
（3）求它的侧棱和底面的夹角．
5．（10分）解不等式并在数轴上把它的解表示出来．
6．（10分）已知两定点A（﹣4，0）、B（4，0），一动点P（x，y）与两定点A、B的连线PA、PB的斜率的乘积为，求点P的轨迹方程，并把它化为标准方程，指出是什么曲线．
7．（10分）等腰梯形的周长为60，底角为60°，问这梯形各边长为多少时，面积最大？
8．（10分）当k为何值时，方程组有两组相同的解，并求出它的解．
9．（10分）如图所示，半圆O的直径为2，A为半圆直径的延长线上的一点，且OA=2，B为半圆上任一点，以AB为边作等边△ABC，问B在什么地方时，四边形OACB的面积最大？并求出这个面积的最大值．
10．（10分）（1997•上海）已知曲线y=x2﹣2x+3与直线y=x+3相交于点P（0，3）、Q（3，6）两点．
（1）分别求出曲线在交点的切线的斜率；
（2）求出曲线与直线所围成的图形的面积．
1977年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析
一、解答题（共10小题，满分100分）
1．（10分）（1）化简（2）计算（3）；
，验算i是否方程2x4+3x3﹣3x2+3x﹣5=0的解；
；
（4）求证：
考点：
专题：
分析：
．
对数的运算性质；复数的基本概念；三角函数恒等式的证明．
计算题；综合题．
（1）利用平方和公式、同分，然后化简即可．
（2）利用对数的运算性质，化简即可．
（3）把i代入方程验证即可．
（4）三角方程的左边利用诱导公式化简即可．
解：（1）原式=．
解答：
（2）=
=
（3）令x=i，左边=2﹣3i+3+3i﹣5=0，所以i是所给方程的一个解．
（4）证：左边
=
=
=
=点评：
=右边．
本题考查对数的运算性质，复数的基本概念，三角函数恒等式的
证明，考查计算能力，是基础题．
2．（10分）在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过D作BC的平分线交AC于E，已知BC=a，AC=b，求DE的长．
考点：
专题：
分析：
解答：
相似三角形的性质；相似三角形的判定．
计算题．
根据线线平行得角相等，再结合角平分线可得三角形相似，由相似三
角形的性质找出对应边成比例．然后根据已知边的长求出边DE的长．
解：∵DE∥BC，∴∠1=∠3．
又∠1=∠2，∴∠2=∠3
DE=EC由△ADE∽△ABC，∴b•DE=ab﹣a•DE，
故点评：
．
，
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．
，圆B的直径为，圆C的直径为2，3．（10分）已知圆A的直径为圆A与圆B外切，圆A又与圆C外切∠A=60°，求BC及∠C．
考点： 余弦定理；正弦定理．
专题： 计算题．
分析： 根据题意可求得AC和AB，再根据余弦定理求得BC，最后利用正弦
定理求得sinC，进而求得C．
解答： 解：由已知条件可知，AC=，AB=2，∠CAB=60°
根据余弦定理，可得BC=（1+）2+4﹣2cos60°（1+）•2=．
由正弦定理，则点评：
，
∴∠C=45°．
本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用．余弦定理和正弦定理是
解三角形问题中常用的方法，应该熟练记忆．
4．（10分）正六棱锥V﹣ABCDEF的高为2cm，底面边长为2cm．
（1）按1：1画出它的三视图；
（2）求其侧面积；
（3）求它的侧棱和底面的夹角．
考点： 简单空间图形的三视图；由三视图求面积、体积；直线与平面所成的角．
专题： 计算题．
分析： （1）由正六棱锥V﹣ABCDEF的高为2cm，底面边长为2cm．易得其
正视图为高为2cm，底边长为4cm三角形，侧视图为高为2cm，底面长
为2cm三角形，俯视图为边长为2cm的正六边形．
（2）其侧面积等于六个全等的三角形面积的和，由已知中的高及底面边
长，我们易求出侧高，进行得到侧面积．
（3）由（2）中侧高的长，我们可以计算出侧棱的长，进而易得侧棱与
底面的夹角．
解答： 解：（1）按1：1画出正六棱锥V﹣ABCDEF的三视图，如右图示：
（2）斜高为故侧面积=（3）侧棱长为=2（cm），
（cm2）
，
= 侧棱与底面的夹角的正弦值为故侧棱和底面的夹角45°．
点评：
正棱锥（台、柱）的侧面是n个全等的三角形（等腰梯形、矩形），
我们只要求出一个侧面的面积，乘以n即可得到侧面积．
5．（10分）解不等式
考点：
并在数轴上把它的解表示出来．
一元二次不等式的解法．
分析：
解答：
分别求解不等式，再求其交集即可．
解：解不等式得即﹣4≤x＜﹣2或3＜x≤4
点评： 注意到数形结合，数轴的运用可帮助更快解题．
6．（10分）已知两定点A（﹣4，0）、B（4，0），一动点P（x，y）与两定点A、B的连线PA、PB的斜率的乘积为，求点P的轨迹方程，并把它化为标准方程，指出是什么曲线．
考点： 轨迹方程；椭圆的定义．
分析： 欲求点P的轨迹方程，只须寻找它的坐标x，y间的关系式即可，
利用题中斜率的乘积为解答：
列式化简即得．最后将把它化为标准方
程，指出是什么曲线即可．
解：∵A（﹣4，0）、B（4，0），P（x，y）
因为直线PA、PB的斜率存在，所以x≠±4
∴直线PA、PB的斜率分别是由题意：PA、PB的斜率的乘积为，化简得
，
，，得：
．
∴点P的轨迹的标准方程为，x≠±4，
它表示椭圆除去x轴上的两个顶点，
故此曲线为椭圆，除去x轴上的两个顶点．
点评： 本题考查了轨迹方程、椭圆的定义．直接法：直接法是将动点满足
的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨
迹方程．
7．（10分）等腰梯形的周长为60，底角为60°，问这梯形各边长为多少时，面积最大？
考点：
分析：
解答：
基本不等式．
设等腰梯形的腰长为x，利用x表达出梯形的面积，转化为求函数
的最值问题．
解：设等腰梯形的腰长为x，则有
AE=，BE=，
=．
等腰梯形ABCD的面积==（BC+AE）•BE
===
．
点评：
由此可知，当且仅当x=15时等腰梯形的面积最大．此时，
腰AB=CD=x=15，上底BC=7.5，下底AD=BC+2AE=22.5．
本题考查函数的应用，求函数关系式和最值，难度不大，
要充分结合图形表达各边长．
有两组相同的解，8．（10分）当k为何值时，方程组并求出它的解．
考点： 一元二次不等式的解法．
专题： 计算题．
分析： 将两式联立，消元，转化为关于x的二次方程的根的问题，判断△
的情况即可．解题中注意挖掘题目隐含的条件：由（1），x≥0，y≥2，
注意检验．
解答： 解：由（1），x≥0，y≥2．
由（2），y=kx﹣2k﹣10．代入（1），得
，x2﹣kx+（2k+12）=0
此方程有二等根的条件是判别式为零，即
k2﹣4（2k+12）=0，k2﹣8k﹣48=0，（k﹣12）（k+4）=0，
k1=12，k2=﹣4（增根）
∴当k=12时，x=6，y=38．
点评： 本题考查方程组的解的问题、二次方程根的问题，同时考查消元
思想和等价转化思想的运用．
9．（10分）如图所示，半圆O的直径为2，A为半圆直径的延长线上的一点，且OA=2，B为半圆上任一点，以AB为边作等边△ABC，问B在什么地方时，四边形OACB的面积最大？并求出这个面积的最大值．
考点：
专题：
分析：
在实际问题中建立三角函数模型．
计算题．
本题考查的知识是余弦定理，及正弦型函数的性质，由于∠AOB
的大小不确定，故我们可以设∠AOB=θ，并根据余弦定理，表示
出△ABC的面积及△OAB的面积，进而表示出四边形OACB的
面积，并化简函数的解析式为正弦型函数的形式，再结合正弦型
函数最值的求法进行求解．
解：四边形OACB的面积=△OAB的面积+△ABC的面积
设∠AOB=θ，
则△ABC的面积===
解答：
△OAB的面积=•OA•OB•sinθ
=•2•1•sinθ=sinθ
四边形OACB的面积=∴当θ﹣60°=90°，
即θ=150°时，四边形OACB的面积最大，
其最大面积为点评：
．
=
函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A确定，
由周期由ω决定，即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的
解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|A|，最小值为﹣|A|，周期
T=进行求解．
10．（10分）已知曲线y=x2﹣2x+3与直线y=x+3相交于点P（0，3）、Q（3，6）两点．
（1）分别求出曲线在交点的切线的斜率；
（2）求出曲线与直线所围成的图形的面积．
考点：
专题：
分析：
导数的运算；定积分．
常规题型．
（1）函数y=f（x）在某点的导数值即为在该点的斜率，所以只要求
出该点的导数值即可．
（2）求图形的面积，根据图形只要求出梯形OAQP的面积与曲边梯
形OAQP的面积，求曲边梯形OAQP的面积，用定积分求，再求它
们之差即可．
解：（1）∵y=x2﹣2x+3，
∴y′=2x﹣2，
∴过点（0，3）的切线斜率
k1=y′|x=0=﹣2．
过点（3，6）的切线斜率
k1=y′|x=3=4．
（2）设所求的带阴影的图形的面积为S，则S为梯形OAQP的面积与
曲边梯形OAQP的面积的差．
而梯形OAQP的面积=曲边梯形OAQP的面积=∴．
．
解答：
点评：
答：（1）过点（0，3）的切线斜率为﹣2．过点（3，6）的切线斜率为4．
（2）曲线与直线所围成的图形的面积为4.5．
函数y=f（x）在某点的导数值即为在该点的斜率，过（x．y．）点的切
线方程为：y﹣y．=y\'|x=x．（x﹣x．）；
求曲边梯形的面积，常用定积分求．
江苏省普通高等学校招生考试数学试题及答案江苏省
1122720). 1．（1）计算(2)2()(3.14)((4108解：原式=99
111lg(5x)的定义域
x3x20x2解：根据题意，得5x0x5 故函数的定义域为2x3和3x5.
x30x3（2）求函数yx2（3）解方程5解：原方程即5x2x22x125.
53,
x22x3,x3,x1.均为原方程的解.
（4）计算log3log31272x3333
解：原式=log3(log33)log3(1log33)log3333.
2722（5）把直角坐标方程(x3)y9化为极坐标方程
解：原方程可展开为x6x9y9,
22x26xy20,26cos0,123n（6）计算lim.
nn2n(n1)n112解：原式=limlim.
2nn2n2n422（7）分解因式x2xy3y8y4.
解：原式2222220或6cos即6cos=(xy)(2y2)(xy2y2)(xy2y2)(xy2)(x3y2).
3．过抛物线y4x的焦点作倾斜角为两点间的距离
2223的直线，它与抛物线相交于A、B两点求A、B4解：抛物线y4x的焦点坐标为（1，0）所作直线方程为
23(x1)或y1x,它与抛物线之二交点坐标由下面方程组
4y1x确定2解得(1x)24x,x26x10,
y4xytg由根与系数关系，得x1+x2=6, x1x2=1.
又解得y4(1y),y4y40,y1+y2=-4,y1y2=-4.
由两点间距离公式d222(x1x2)2(y1y2)2
2但(x1x2)(x1x2)4x1x236432,
(y1y2)2(y1y2)24y1y2161632,d32328
故AB两点间距离为8
03．在直角三角形ABC中，∠ACB=90，CD、CE分别为斜边AB上的高和中线，且∠BCD与∠ACD之比为3:1，求证CD=DE
0证：∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=90，
∴∠ACD=∠B
又∵CE是直角△ABC的斜边AB上的中线
∴CE=EB
C
∠B=∠ECB，∠ACD=∠ECB
但∵∠BCD=3∠ACD，
1100
∠ECD=2∠ACD=∠ACB=×90=45，
A D E B
22△EDC为等腰直角三角形 ∴CE=DE
4．在周长为300cm的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速圆周运动甲球从A点出发按逆时针方向运动，乙球从B点出发按顺时针方向运动，两球相遇于C点相遇后，两球各自反方向作匀速圆周运动，但这时甲球速度的大小是原来的２倍，乙球速度的大小是原来的一半，以后他们第二次相遇于D点已知AmC=40厘米，BnD=20厘米,求ACB的长度
⌒
解：如图设BC=x厘米甲球速度为v甲，乙球速度为v乙根据二次从出发到相遇二球运动的时间都相同，可得第一次等候时方程
⌒ ⌒
⌒
A 甲 乙 D
· ·
m n
C· · B
v40xx或甲.
v甲v乙v乙40第二次等候时方程
30020xx20v乙4(x20)或.
12v甲v甲280xv乙2x4(x20)由此可得,
40280x(x40)(x80)0.
由于已知条件v甲≠v乙，∴x≠40,
x=80（厘米）
ACB=40+80=120（厘米）
⌒
05．（1）若三角形三内角成等差数列，求证必有一内角为60
证：设三角形三内角分别为d,,d,则有
(d)(d)180,318060.
0（2）若三角形三内角成等差数列，而且三边又成等比数列，求证三角形三内角都是60
0证：由题（1）可知，此三角形必有一内角为60，今设其对边为a，则三角形的三边分别为a,a,aq（此处q为公比，且q0）
q由余弦定理可得aaa2()2(aq)22cos60,qq1112q2,q2212q20,
2q
11(q)20,qq21,qq
q1,q1(不合题意,舍去)0由q1可知，此三角形为等边三角形，三个内角均为60
6．在两条平行的直线AB和CD上分别取定一点M和N，在直线AB上取一定线段ME=a;在线段MN上取一点K，连结EK并延长交CD于F试问K取在哪里△EMK与△FNK的面积之和最小？最小值是多少？
解：过点K作两条平行直线的公垂线PQ，
设PQ=l，MN=m，
令PK=x，则KQ=lx
P M E
∴△EMK∽△FNK，
A B
MEMK∴.
NFNK K
又∵△MKP∽△NKQ，
MKKPMEKP.于是得到,
C D
∴ F N Q
NKKQNFKQNFMEKQa(lx).
KPx从而△EMK与△FNK的面积之和为
11a(lx)a(lx)2a2x22lxl2l2Axa(lx)xa(xl)22x2x2x2x
l2a(x)(21)l,2x当xxl2x0时,也即x2l时,A有最小值(21)al.
2222l表示点K到直线AB的距离为倍的PQ，从而点K到M的距离也为MN的倍，2222即KM=MN.
2附加题
1求极限limnx(x1x).
解：原式=limx(x1x)(x1x)x1xdx(1ex)2.
nlimxx1xnlim1111xn1.
22．求不定积分x解：令1et,
则dtedx(t1)dx,
dxxdt.
t1
dxdt111111()dt()dtln(t1)lntCt1tt2(1ex)2(t1)t2t(t1)t2t
11xlnexln(1ex)Cxln(1e)C.1ex1ex
河北省普通高等学校招生考试数学试题及答案
1．解答下列各题：
（1）叙述函数的定义
答：略
（2）求函数y1123x的定义域
解：由23x0解得x.
27（3）计算[1(0.5)]()3.
82123解：原式=2
（4）计算log42.
解：原式=1
2（5）分解因式x2y-2y3.
解：原式=y(x2y)(x2y).
4253costg().
3643解：原式=(sin)costg.
3644（6）计算sin2．证明：从圆O外一点P向这个圆所引的两条切线PA、PB所成的角APB被PO平分（本题要求写出已知、求证、证明并画图）
解：已知：圆O及圆O外一点P，PA、PB是圆O的切线，A、B是切
点（如图），
求证：∠OPA=∠OPB
证明：联结OA、OB
∴∠OAP=∠OBP=900
在直角△OPA与直角△OPB中，∵OA=OB，OP=OP，
A
P O
B
∴△OPA≌△OPB，∠OPA=∠OPB
3．证明：sin2111tg.
1cos2sin2222sincossin2cos2(sincos)2证：左边=
22cos(cossin)2cos2sincossincos11tg=右边
2cos224．已知2lgxlg2lg(x6),求x
解：由原方程可得
lg2x2lg(x6),
32x2x60,x2,x(增根)2故原方程的解为x=2.
5．某生产队要建立一个形状是直角梯形的苗圃，其两邻边借用夹角为1350的两面墙，另外两边是总长为30米的篱笆（如图，AD和DC为墙），问篱笆的两边各多长时，苗圃的面积最大？最大面积是多少？
解：如图，设BC长为x，苗圃面积为S.
过D作DE⊥AB交AB于E.
由已知条件可得AB=30-x，
∠DAB=450，
AE=DE=BC=x，
CD=BE=AB-AE=30-2x，
S D C
1350
450
A E B
113(CDAB)BC(603x)x(x10)2150.
222由此可知，当x=10时，S取最大值所以，当BC=10米，AB=20米时，苗圃面积最大，这时S=150米2
6．工人师傅要用铁皮做一个上大下小的正四棱台形容器（上面开口），使其容积为208立方米，高为4分米，上口边长与下底面边长的比为5:2，做这样的容器需要多少平方米的铁皮？（不计容器的厚度和加工余量，不要求写出已知、求解，直接求解并画图即可）
解：设正四棱台形容器上口边长AB=5x，则下底面边长A1B1=2x，
设表面积为S
因正四棱台的体积
1Vh(s1s2s1s2).312084[(5x)2(2x)25x2x],3x24,x2,AB10(分米),A1B14(分米).由此可得12SA1B14(ABA1B1)FF1211042424(104)42()22156(平方分米)1.56(平方米)
C B
E F
D A
C1
E1 B1
F1
D1 A1
H
E F
E1 F1
故共需铁皮1.56平方米
7．已知：如图，MN为圆的直径，P、C为圆上两点，连PM、PN，过C作MN的垂线与MN、MP和NP的延长线依次相交于A、B、D，求证：AC2=AB·AD
证：在△ABM与△AND中，
∠BAM=∠NAD=900
∠AMB=∠ADN=900-∠MND，
∴△ABM∽△AND，
AB:AN=AM:AD,
AN·AM=AB·AD……①
D
C P
B
M N
A
又∵在直角△MCN中，AC⊥MN，
∴AC2=AM·AN………②
由①，②得AC2=AB·AD
8．下列两题选做一题
（甲）已知椭圆短轴长为2，中心与抛物线y2=4x的顶点重合，椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，求椭圆方程及其长轴的长
解：设所求之椭圆方程为
x2y21
a2b2∵2b=2,∴b=1.
由抛物线方程y2=4x可知它的焦点而（1，0），所以点（1，0）也是椭圆的一个焦点，于是c=1,从而a2b2c22,a2,
x2故所求之椭圆方程为y21，长轴的长为22
2（乙）已知菱形的一对内角各为600，边长为4，以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，以菱形600角的两个顶点为焦点，并且过菱形的另外两个顶点作椭圆，求椭圆方程
解：设以菱形内角为600的一对顶点为端点的对角线所在的直线 为X轴，建立直角坐标系
设欲求之椭圆方程为x2y21
a2b2由图及已知条件可得
b=BO=BC·sin300=2
a=BC=4.
Y
B
C＇ 300 C
O X
B＇
故所求之椭圆方程为
x2y21.
164参考题
1．将函数f(x)ex展开为x的幂级数，并求出收敛区间（e=2.718为自然对数的底）
解:f(x)ex,f(x)f(x)fn(x)ex.f(0)f(0)f(0)fn(0)1.函数在区间rxr上,有|fn(x)||ex|er(n1,2)
所以函数ex可以在区间[-r，r]上展开成幂级数，因为r>0是任意的，所以，函数ex在区间(,)上可展成幂级数，特别的它的马克劳林
级数是
x2x3xne1x
2!3!n!xx2y22．利用定积分计算椭圆221(ab0)所围成的面积
abx2y2解：因为椭圆221关于x轴和y轴都是对称的，所以所求之面ab积为
s4ydx4020aa0aa2x2dx.令xasin.(0)b2则a2x2a2a2sin2acos,dxacosdb1cos2
222s4acosacosd4ab(cos)d4abd00a22ab[2cos2d]2abab.202
福建省高考数学试卷（理科）
一、解答题（共21小题，满分120分）
1．（6分）计算2．（6分）3．（6分）求函数的值是正的还是负的？为什么？
的定义域．
．
4．（6分）如图，在梯形ABCD中，DM=MP=PA，MN∥PQ∥AB，DC=2cm，AB=3.5cm求MN和PQ的长．
5．（6分）已知lg3=0.4771，lgx=﹣3.5229，求x．
6．（6分）求7．（6分）解方程的极限．
．
8．（6分）．
9．（6分）求函数y=2﹣5x﹣3x2的极值．
10．（6分）画出下面V形铁块的三视图（只要画草图）
11．（6分）解不等式12．（6分）证明：．
13．（6分）某中学革命师生自己动手油漆一个直径为1.2米的地球仪，如果每平方米面积需要油漆150克，问共需油漆多少克？（答案保留整数）
14．（6分）某农机厂开展“工业学大庆”运动，在十月份生产拖拉机1000台．这样，一月至十月的产量恰好完成全年生产任务．工人同志为了加速农业机械化，计划在年底前再生产2310台．正好比原计划增产21%．
①求十一月、十二月份每月增长率；
②原计划年产拖拉机多少台？
15．（6分）在半径为R的圆内接正六边形内，依次连接各边的中点，得一正六边形，又在这一正六边形内，再依次连接各边的中点，又得一正六边形，这样无限地继续下去，
求：（1）前n个正六边形的周长之和Sn；
（2）所有这些正六边形的周长之和S．
16．（6分）动点P（x，y）到两定点A（﹣3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即），求动点P的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形．
17．（8分）某大队在农田基本建设的规划中，要测定被障碍物隔开的两点A和P之间的距离，他们土法上马，在障碍物的两侧，选取两点B和C（如图），测得AB=AC=50 m，∠BAC=60°，∠ABP=120°，∠ACP=135°，求A和P之间的距离（答案可用最简根式表示）．
18．（8分）已知双曲线=1（α为锐角）和圆（x﹣m）2+y2=r2相切于点A（4，4），求α，m，r的值．
19．（8分）（1977•福建）设数列1，2，4，…前n项和是Sn=a+bn+cn2+dn3，求这数列的通项an的公式，并确定a，b，c，d的值．
20．（1977•福建）求函数21．（1977•福建）求定积分∫10（x的导数．
+x2e2）dx．
1977年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析
一、解答题（共21小题，满分120分）
1．（6分）计算考点：
专题：
分析：
解答：
解：原式=5﹣3×[=5﹣3×（﹣）=7．
点评：
2．（6分）考点：
专题：
分析：
本题考查有理指数幂的运算性质．
的值是正的还是负的？为什么？
三角函数值的符号．
证明题．
y的符号由分子符号和分母的符号来共同确定，利用余弦函数值
在（90°，180°）上是减函数，得到分子 cos160°﹣cos170°＞0，
再由分母 tan155°＜0，可得y的值为负的．
解：y的值为负的．因为tan155°＜0，
又余弦函数值在（90°，180°）上随着角的增大而减小，
所以，cos160°﹣cos170°＞0，故y＜0．
本题考查三角函数在各个象限中的符号，以及余弦函数在（90°，180°）
上的单调性．
的定义域．
+1031×0]÷1=5﹣3×
．
有理数指数幂的化简求值．
计算题．
先依据有理指数幂的运算性质化简小括号里的结果，再计算中括
号里的结果，从而得到最后的结果．
解答：
点评：
3．（6分）求函数考点：
专题：
分析：
解答：
点评：
对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．
计算题．
使函数的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根式被开放数非负．
解：由题意知：x﹣1＞0 且 2﹣x＞0
解得1＜x＜2．
故函数定义域为（1，2）．
本题求将对数、根式、分式复合在一起的综合型函数的定义域，
注意取交集．
4．（6分）如图，在梯形ABCD中，DM=MP=PA，MN∥PQ∥AB，DC=2cm，AB=3.5cm求MN和PQ的长．
考点：
专题：
分析：
平行线分线段成比例定理．
计算题．
根据梯形的中位线定理，写出两个关于PQ，MN的二元一次方程组，
利用代入消元法，消去MN，先解出PQ的长，代入两个方程中的任
意一个，求出MN的长．
解：根据梯形中位线性质可得：
解答：
把前一个式子两边同除以2，代入第二个式子，
得到关于PQ的一元一次方程，
可得PQ=3（cm），MN=2.5（cm）．
点评： 本题考查梯形的中位线定理，两个梯形分别用梯形的中位线，得到方程
组，解题过程中要用到方程思想，本题是一个基础题，若出现一定是一
个送分题目．
5．（6分）已知lg3=0.4771，lgx=﹣3.5229，求x．
考点： 对数函数的定义；对数的运算性质．
专题： 计算题．
分析： 由题意知lg3﹣lgx=0.4771+3.5229=4，再由对数的运算性质和定义求出x．
解答： 解：由题意得，lg3﹣lgx=0.4771+3.5229=4
∴lg=4，
∴=10000
点评：
∴x=0.0003．
本题考查了对数的运算性质和定义，注意观察两个对数值特点，运用了
转化思想合为一个对数
的极限．
极限及其运算．
通过因式分解消除零因子后，把简化为，
6．（6分）求考点：
分析：
由此可求出解答：
解：点评：
的极限．
=．
本题考查型极限的求法，解题的关键是消除零因子．
． 7．（6分）解方程考点：
专题：
分析：
解答：
一元二次不等式的解法．
计算题．
式子中含有根式，故可移项，平方，注意到4x+1＞0，将增根去掉即可．
解：移项得
点评：
8．（6分）考点：
分析：
解答：
两边平方，得4x+1=4x2﹣4x+1，x（x﹣2）=0，
∴x=2，x=0（增根）
故原方程的解为x=2．
本题考查无理方程的求解，同时考查等价转化思想的应用．
．
有理数指数幂的化简求值．
利用有理指数幂的运算性质，通过提取公因式，来进行化简求值．
解：原式=．
点评： 因式分解可能是学生不容易操作的环节．
9．（6分）求函数y=2﹣5x﹣3x2的极值．
考点： 利用导数研究函数的极值．
专题： 计算题．
分析： 先求导数，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，
来确定极值点，求出极值即可．
解答：
解：y′=﹣5﹣6x解得x=﹣
当x∈（﹣∞，﹣）时，y′＞0
当x∈（﹣，+∞）时，y′＜0
∴当x=﹣时，y取极大值，y的极大值为点评：
．
本题主要考查了利用导数研究函数的极值，极值问题在高考中是热
点问题，属于基础题．
10．（6分）画出下面V形铁块的三视图（只要画草图）
考点： 简单空间图形的三视图．
专题： 作图题．
分析： 空间想象V形铁块，画出即可．
解答：
点评：
本题考查学生的空间想象能力，是基础题．
． 11．（6分）解不等式考点：
专题：
分析：
解答：
点评：
一元二次不等式的解法．
计算题；转化思想．
由于x2+2x+2＞0，原不等式简化为x2﹣x﹣6＜0求解即可．
解：由于x2+2x+2＞0，原不等式简化为x2﹣x﹣6＜0
解得：﹣2＜x＜3．所以不等式的解集：{x|﹣2＜x＜3}
本题考查一元二次不等式的解法，考查等价转化思想，是基础题．
12．（6分）证明：考点：
专题：
分析：
解答：
三角函数恒等式的证明．
证明题．
先根据正弦函数的二倍角公式进行化简，再由诱导公式将正弦转化
为余弦函数，最后根据万能公式可得证．
证：左边====
=右边．
点评： 本题主要考查三角函数的二倍角公式、诱导公式的应用．考查公式
的记忆情况．
13．（6分）某中学革命师生自己动手油漆一个直径为1.2米的地球仪，如果每平方米面积需要油漆150克，问共需油漆多少克？（答案保留整数）
考点： 球的体积和表面积．
专题： 计算题．
分析： 本题可以直接利用题目的条件求解．
解答： 解：设地球仪的表面积为S，
则
所以，共需油漆150×1.44π=216π≈678（克）．
点评： 本题考查学生对公式的使用，是基础题．
14．（6分）某农机厂开展“工业学大庆”运动，在十月份生产拖拉机1000台．这样，一月至十月的产量恰好完成全年生产任务．工人同志为了加速农业机械化，计划在年底前再生产2310台．正好比原计划增产21%．
①求十一月、十二月份每月增长率；
②原计划年产拖拉机多少台？
考点： 一元二次不等式的应用．
专题： 应用题．
分析： （1）要求十一月、十二月份每月增长率，我们可以使用待定系数法，
即设出增长率为x，然后根据计划在年底前再生产2310台，我们可
以构造一个关于x的方程，解方程即可求出x的值．
（2）由增长率和增产量，我们可以根据：原计划生产量×增长率=增
长量，求出原计划年产拖拉机的台数．
解答： 解：①设十一、十二月份平均每月增长率为x，则根据题意可得：
1000（1+x）+1000（1+x）2=2310，
100x2+300x﹣31=0，x=0.1，x=﹣3.1（舍去）
故十一月，十二月份平均每月增长率为10%；
②设原计划年生产拖拉机y台，则y=2310÷21%=11000（台）．
点评： 这是一道方程的应用题，方程应用题一般需要如下步骤：①分析题意，
从题目中分析已知量与量之间的关系，找出等量关系；②设出合适的
未知数，建立方程③解方程求出未知数的值④将值所代表的实际意义，
将未知数的值还原到实际问题中．
15．（6分）在半径为R的圆内接正六边形内，依次连接各边的中点，得一正六边形，又在这一正六边形内，再依次连接各边的中点，又得一正六边形，这样无限地继续下去，
求：（1）前n个正六边形的周长之和Sn；
（2）所有这些正六边形的周长之和S．
考点： 数列的应用．
专题： 计算题．
分析：
由题设条件知表示正六边形周长的数列：6R，，
，解答：
，由此能够求出前n个正六边形周长的
和与所有这些正六边形周长的和．
解：如图，半径为R的圆内接正六边形的周长为6R，
设C为AB的中点，连接OC，OB，则OC⊥AB．
∴OC=CD=第二个正六边形的周长=同理可得
第三个正六边形的周长=第四个正六边形的周长=，
，
于是可以得到一个表示正六边形周长的数列：
6R，①
，，，
前n个正六边形周长的和==②所有这些正六边形周长的和
点评：
16．（6分）动点P（x，y）到两定点A（﹣3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即
考点：
专题：
分析：
），求动点P的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形．
本题考查数列的性质和运用，解题时要注意归纳、总结能力的培养．
轨迹方程．
计算题．
欲求动点P的轨迹方程，因点P（x，y），只须求出其坐标x，y的关
系式即可，由题意知得到一个关系式，化简即得点P的轨迹方
解答：
程，最后对所求方程进行配方变形来判断轨迹的图形即可．
解：根据两点间的距离公式可得
两边平方，
得（x+3）2+y2=4[（x﹣3）2+y2]化简得，
x2﹣10x+y2+9=0，（x﹣5）2+y2=16
故动点P的轨迹是以点（5，0）为圆心，以4为半径的圆．
本小题主要考查曲线与方程，圆的方程等基础知识，以及求动点 点评：
轨迹的基本技能和运用数学知识解决问题的能力．
17．（8分）某大队在农田基本建设的规划中，要测定被障碍物隔开的两点A和P之间的距离，他们土法上马，在障碍物的两侧，选取两点B和C（如图），测得AB=AC=50 m，∠BAC=60°，∠ABP=120°，∠ACP=135°，求A和P之间的距离（答案可用最简根式表示）．
考点：
专题：
分析：
解三角形的实际应用．
计算题．
连CB，AP根据∠CAB=60°和AC=AB判定△ABC为等边三角形．
进而可求得∠BCP，∠CBP和∠BPC，再通过正弦定理进而可求得
CP，再在△APC中用余弦定理求得AP．
解：连CB，AP．
∵∠CAB=60°，
AC=AB=50m，
∴△ABC为等边三角形．
于是，∠BCP=135°﹣60°=75°，
∠CBP=120°﹣60°，
∠BPC=180°﹣（75°+60°）=45°
由正弦定理，得
由余弦定理，可得AP2=AC2+CP2﹣2•AC•CP•cos135°
==
（m）
点评：
故A、P两点间的距离是米．
本题主要考查正弦定理和余弦定理在实际中的应用．属基础题．
解答：
18．（8分）已知双曲线（x﹣m）2+y2=r2相切于点A（4
考点：
专题：
分析：
=1（α为锐角）和圆
，4），求α，m，r的值．
圆锥曲线的综合．
计算题；方程思想；转化思想．
把点A（4，4）代入双曲线=1（α为锐角），
解答：
求出α的值，联立双曲线和圆的方程，消去y得到关于x的一元二
次方程，△=0，和把点A（4，4）代入圆（x﹣m）2+y2=r2，解方
程组即可求得m，r的值．
解：∵点A（4，4）在双曲线上，
∴﹣tanα=1
tan2α+tanα﹣2=0
即（tanα﹣1）（tanα+2）=0 解得tanα=1，tanα=﹣2（α不是锐角，舍去）
α=45°，
故双曲线方程为=1（1）
=1，
又圆的方程为（x﹣m）2+y2=r2（2）
从（1）得y2=﹣16，
， 代入（2）得（x﹣m）2+即5x2﹣6mx+24m﹣240=0．
因为交点A是切点，故方程有等根，即其判别式为
△=3m2﹣40m+400=0，
m=．
，0），
．
由此可得，圆的圆心为（半径r=点评： 此题是个中档题．本题考查了代入法求圆与双曲线的标准方程、
以及双曲线与圆相切问题，转化为一元二次方程有相等实根问
题，体现了转化的思想．
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