2024年1月6日发(作者：包头市昆区小升初数学试卷)

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多元函数、多元向量值函数

f(X) F(X)

多元函数的切平面、全微分、偏导

有多元函数f(X)，若存在向量A=(a1,a2,…,an)使得f(X)-f(X0)-A(X-X0)=o(||X-X0||)，则称g(X)=A(X-X0)是f在X0处的切平面

df=AdX=a1dx1+a2dx2+…+andxn是f的全微分

bk=∂(f)/∂(xk)是将X的其他分量视为常数时f的导数，称为f的偏微分

可以证明若A存在，ak=bk=∂f/ ∂xk

Nabla算子∇=(∂/∂x1,…, ∂/∂xn)

∇A=Grad(f)=A称为f的梯度，∇ (f○g) = g∇f+f∇g

若有单位向量e=(cosθ1, cosθ2,…, cosθn)，则称A.e是f沿e方向的方向导数，

A.e=∂f/∂l 其中l与e平行

若f在X0可微：

X0处f各一阶偏导存在

X0处f有梯度

X0处f连续

X0处f的各方向导数均存在

若f在X0处各一阶偏导函数连续，则f在X0可微

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A=∇ f是向量值函数，可以观察，e与A平行时，f的方向导数最大，且大小A.e=||A||，称A是f的梯度场

向量值函数的切平面、微分、偏导

F(X)=(f1(X),f2(X),…,fm(X))，若所有fi在X0处可微，则称F在X0处可微，即

F(X)=F(X0)+A(X-X0)+o(||X-X0||)，其中

A=(aij)m*n=∂F/ ∂X=∂(f1,f2,…,fm)/ ∂(x1,x2,…,xn)=J(F(X0)))称为F在X0处的Jacobian

(F的Jacobian的第i行是F的Fi分量的梯度，

aij := ∂Fi

/ ∂xj)

F的全微分dF=AdX

当m=n时，F有散度Div(F)和旋度Curl(F)

Div(F) = ∇.F=∂f1/∂x1 +…+∂fm/ ∂xm

Curl(F) = ∇×F

复合函数求导

一阶偏导：

若G=G(X)在X0可微，F=F(U) (U=G(X))在G(X0)可微，则F○G在X0处可微，

J(F○G) = J(F(U)) J(G(X))

具体地，对于多元函数f(U)=f(u1,…,um)，其中U=G(X)即ui=g(x1,…,xn)

∂f/∂xj = ∂f/∂U * ∂U/∂xj

= Sum[∂f/∂ui * ∂ui/∂xj] {for each ui in U}

高阶偏导：不要忘记偏导数还是复合函数

例：f(U):=f(u1,u2), U(X):=(u1(x1,x2),u2(x1,x2))

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∂2f/(∂x1)2 = 数学分析教程P151

隐函数、隐向量值函数

由F(X,Y)=0确定的函数Y=f(X)称为隐函数

隐函数：

1. 存在定理：若n+1元函数F(X,y)在零点(X0,y0)处导数连续，且∂(F)/∂(y)(X0,y0)<>0，则存在(X0,y0)附近的超圆柱体B=B(X0)*B(y0)，使得B(X0)上的任意一点X可以确定一个y使得F(X,y)=0，即函数F在B内确定了一个隐函数y=f(X)，而且这个隐函数的一阶偏导数也连续

注：如果∂(F)/∂(y)=0，那么在X=X0超平面上，y在X0处取得了极值，那么沿曲面被X=X0截的曲线从X0处向任意方向走，y都会减小，所以y是双值函数，不是函数

处， 2.偏导公式：在B内的

或者说

不正式的证明：F(X,y)≡0, 所以∂F/∂xi=0,即

Sum[∂F/∂xj * ∂xj/∂xi]=0 (把y记做xn+1)

由于X的各分量都是自变量，∂xj/∂xi=0 (i<>j)

所以 ∂F/ ∂xi + ∂F/∂y * ∂y/ ∂xi=0

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于是立即可得上述公式

隐向量值函数：

1.存在定理：若X∈Rn,Y∈Rm，m维n+m元向量值函数F(X,Y)=0，在P0=(X0,Y0)点的某个邻域B(P0,r)内是C(1)类函数， F(P0)=0，且∂F/∂Y可逆，则存在P0的邻域B(X0)*B(Y0)，使得对于在B(X0)内的任意X，存在唯一Y∈B(Y0)满足F(X,Y)=0，即F在B内确定了一个连续可微隐函数Y=f(X)

2.偏导公式：

J(f) := ∂(y1,…,ym)/ ∂(x1,…,xn) := ∂Y/∂X

= -[∂F/∂Y]-1

* ∂F/∂X

注： 1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，A-1=A*/|A|，A*是A的余子矩阵的转置

2.如果只求J(f)中的一列，∂(Y)/∂(xi)= -[∂(F)/∂(Y)]-1

* [∂(F)/∂(xi)]

3.如果只求J(f)中的一行或者一个元素，问题退化成隐函数偏导的问题

4.计算∂F/∂X时，忽略Y是X的函数，将Y当作自变量计算

（从证明中可以看出原因，因为∂y/∂x的成分被移到了等式左侧J(f)里面)，而不用偏导公式，采取对F(X,Y)=0左右同时对xi求偏导的方法时，Y要看做xi的函数）

3.隐向量值函数的反函数：

函数Y=f(X)将Rn映射至Rm，如果J(f)= ∂f/∂X可逆，那么存在f的反函数X=f-1(Y)，且J(f-1)=[J(f)]-1

注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，A-1=A*/|A|，A*是A的余子矩阵的转置

2.|J(f-1)|=|J(f)|-1

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用参数形式给出的隐函数

若有x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，则需要列方程求

曲面和曲线的切平面、法线、法向量

三维空间下，函数F(x,y,z)=0确定了一个曲面。

如果F在点P处满足

(1) F在P处连续可微

(2) ∇F在P处不为0

则称P是曲面上的正则点

如果曲面在正则点P0(x0,y0,z0)处有法向量n(nx,ny,nz)，A=(x-x0,y-y0,z-z0)，则S在P点的切平面方程为n.A=0,法线方程(x-x0)/nx=(y-y0)/ny=(z-z0)/nz

(约定分母为0时分子也为0)

过P0(x0,y0,z0)与n1=(x1,y1,z1)和n2=(x2,y2,z2)都垂直的直线有标准方程：(X-X0).n1=(X-X0).n2=0，具体地:

x1(x-x0)+y1(y-y0)+z1(z-z0)=0

x2(x-x0)+y2(y-y0)+z2(z-z0)=0

I. 曲面的显式表示法

z=f(x,y)是曲面S的显式表示

正则点P0(x0,y0,z0)处，S的法向量n=(∂f/∂x, ∂f/∂y, -1)

II. 曲面的隐式表示法

F(x,y,z)=0是曲面的隐式表示法

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正则点P0处，n=(∂z/∂x, ∂z/∂y, -1)

=(-(∂F/∂x) / (∂F/∂z) , -(∂F/∂y) /(∂F/∂z) , -1)

=(∂F/∂x , ∂F/∂y , ∂F/∂z)

III. 曲线的参数表示法

L={x=x(t),y=y(t),z=z(t)}是曲线的参数方程

正则点P处，t=(x’,y’,z’)是L在P处的切向量，以t为法线的平面称为L在P处的切平面

IV. 曲面的参数表示法

S={x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)}是曲面的参数表示法

取通过正则点P的v-曲线S{u=u0}和u-曲线S{v=v0}，在正则点处取切向量，t1=(xu,yu,zu)，t2=(xv,yv,zv)，正则点处的法向量必与t1、t2垂直，可以取n= t1×t2

P点处的切平面T可以直接用u、v的参数表示T: X-X0 = J(X).(u-u0,v-v0)，具体就是

x-x0 = xu(u-u0)+xv(v-v0)

y-y0 = yu(u-u0)+yv(v-v0)

z-z0 = zu(u-u0)+zv(v-v0)

V.曲线的标准表示法

两个曲面F(x,y,z)=0与G(x,y,z)=0的公共解可以确定它们的交线L。

正则点P处，L的切向量应该与F的法向量n1、G的法向量n2都垂直，可以取t=n1×n2

Taylor公式、函数的极值与最值、Lagrange乘子法

定义函数f(X)在X0点的Hessian：H(f)|X0:=H(f(X0)):=H(X0)=(∂2f/∂xi∂xj)n*n

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Taylor定理：

f(X0+ΔX)=f(X0) + ∇f(X0).ΔX + 1/2(ΔX)T.H(X0+θΔX) . (ΔX) (0<=θ<=1)

f(X0+ΔX)=f(X0) + ∇f(X0).ΔX + 1/2(ΔX)T.H(X0) . (ΔX) + o(||ΔX||2)

Sketch of proof: f在B(X0)内二阶可微，在B(X0)内任取X= X0+ΔX，令g(t)=f(X0+θΔX)，g’(t)= ∇f(X0).ΔX，g’’(t)= (ΔX)T.H(X0+θΔX) . (ΔX)，直接应用一元Taylor公式即可。

极值

若X0处有∇f(X0)=0，则称X0是f的一个驻点

在驻点X0处，如果有H(X0)正定，则X0是f的极小值；如果H(X0)负定，X0是f的极大值，否则X0是f的鞍点

Sketch of proof: X0附近，f(X0+ΔX) - f(X0)= ∇f(X0).ΔX + 1/2(ΔX)T.H(X0) . (ΔX) +

o(||ΔX||2)，而由驻点条件∇f(X0).ΔX=0，o(||ΔX||2)是无穷小，在足够小的区域内(ΔX)T.H(X0) . (ΔX)决定了函数值变化的符号，如果它恒正，那么H(X0)是正定矩阵；恒负，H(X0)是负定矩阵。

说明：

(1) 由线性代数的知识，如果A的所有特征值均为正，A正定；A的特征值均为负，A负定，而且设A的最小、最大特征值为λ、Λ，那么λX.X<=XTAX<=ΛX.X

(2) 特殊地，如果H(X0)是二阶方阵，那么|H|>0时H可定，其中∂2f/∂x1∂x1>0时H正定，∂2f/∂x1∂x1<0时H负定，∂2f/∂x1∂x1=0，H不定

Lagrange乘子法

若f在Ω内连续可微，则f的最值点一定在驻点或者∂Ω处取得。单独的点处f的值易求，精品文档

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连续边集内f的最值可由下述Lagrange乘子法求得：

对于函数z=f(X)在限制条件Φ(X):=(φ1(X),…, φm(X))=0下的极值，若∂Φ/∂X满秩，定义Lagrange乘子函数L(X, Λ) := L(X,λ1,…, λm) = f(X) + Λ . Φ(X) = f(X) + ∑ λiφi(X)

(i=1,…,m)，f的极值点一定取在L的驻点处。

注意：

1.限制条件是Φ(X)=0，如果右侧不是零向量，不要忘记移项

2.如果限制条件Φ(X)=0构成了“流形”（有界无边），那么f的最值点一定取在L的驻点处

含参积分

多元函数的连续性：

对于Ω上的函数f，∀ε>0,X0∊Ω, ∃δ=δ(ε,X0)> |f(X)-f(X0)|<ε ∀X∊B(δ,X0)

若δ与X0无关，则称f在Ω上一致连续

多元函数的一致连续性：

∀ε>0, ∃δ=δ(ε)> ∀X,X’∊Ω, 若|X-X’|<δ则|f(X)-f(X’)|<ε

说明：

1.与一元微积分相似，若Ω是有界闭集且f在Ω上连续，则f在Ω上一致连续

2.连续性条件中的δ与X无关，或者说对于∀X∊Ω都有同一个δ，则f一致连续

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设f(x,y)在Q=[a,b]×[c,d]上有定义，则称∫ f(x,y)dy为含参积分，x是参变量，y是积分变量

定义三维几何体∑={(x,y,z)|(x,y)∊Q,z<=f(x,y)}，∑的体积V=∫a,bSdx,S(x)=∫f(x,y)dy,那么V=∫(dx∫f(x,y)dy)是积分的几何意义

常用含参积分：

Γ(x) = ∫<0,+∞>e-t

tx-1

dt

Β(x,y) = ∫<0,1>tx-1(1-t)y-1dt

广义含参积分：

含参积分的性质：

令I(x)=∫f(x,y)dy，x∊[a,b]，D=[a,b]×[c,d]

1.若f(x,y)在D上连续，则I(x)在D上连续

2.若f(x,y)和∂f/∂x在D上都连续，则I(x)在[a,b]上可微，且

I’(x) = ∫

(∂f/∂x) dy

2’.(推广形式)若f(x,y)和∂f/∂x在D上都连续，则ι = ∫<α(x), β(x)>f(x,y)dy可微，且

ι’(x) = f(x, β(x)) β’(x) – f(x, α(x)) α’(x) + ∫<α(x), β(x)>

(∂f(x,y)/∂x) dy

3. ∫(dx∫f(x,y)dy) = ∫ (dy∫f(x,y)dx)

常用广义含参积分：

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Poisson积分

Dirichlet积分 ∫<0,+∞>(sinx/x)dx = π/2

∫<0,+∞>e-x^2dx = sqrt(π)/2

一元广义积分收敛性

1.∫<1,+∞>xpdx

收敛

发散

2.

p<-1

p>=-1

绝对收敛

条件收敛

发散

p>1

0

p<=0

广义积分的收敛性

1.(Cauchy)若∀ε>0, ∃A=A(ε)>0, ∀A,A’’>A, ∀y∈[c,d], |∫A’->A’’ f(x,y)dx|<ε, 则无界区间上的广义积分∫ f(x,y)关于y一致收敛

2.(Dirichlet)若对足够大的A，有一致有界积分∫f(x,y)dx和对x单调的g有limx->+∞g(x,y)=0关于y∈[c,d]一致成立，则广义积分∫

∞>f(x,y)g(x,y)dx一致收敛(有界的广义积分×无穷处的0)

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3.(Abel)对于y∈[c,d]有一致收敛的广义积分∫f(x,y)dx和对y一致有界、对x单调的g(x,y)，则广义积分∫

∞>f(x,y)g(x,y)dx一致收敛(收敛的广义积分×有界)

4.(Weierstrass)如果对于充分大的x，对y∈[c,d]一致地有|f(x,y)|<=F(x)，且F(x)的广义积分一致收敛，则f(x,y)对x的积分对于y也一致收敛(比较审敛法)

广义含参积分性质：

令I(x)=∫f(x,y)dy，x∊[a,b]，D=[a,b]×[c,

+∞)

1.若f(x,y)在D上连续，且I关于y∊[c,

+∞)一致收敛，则I(x)连续

计算含参积分的方法：

1.对参变量求导

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函数,广义,矩阵,存在,偏导