2024年3月28日发(作者：聊城市三模考试数学试卷)

2023年初中学业水平考试试卷

数学

注意事项：

1．本试卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟．

2．答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位置．请

认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置．

3．答题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡

上对应题目的答案标号涂黑．

1.下列各式计算结果为

a

的是（

A.

5

）

C.

a

4

a

D.

(

1)

1

a

5

）

a

3

2

B.

a

10

a

2

2.

关于

x

的一元一次不等式

x1m

的解集在数轴上的表示如图所示，则

m

的值为（

A.3B.2C.1D.0

）3.定义新运算“

”，规定：

aba

2

|b|

，则

(2)(1)

的运算结果为（

A.

5

B.

3

C.5D.3

4.如图，直线

a

b

，直线

l

与直线

a,b

分别相交于点

A,B

，点

C

在直线

b

上，且

CACB

．若

132

，则

2

的度数为（）

A.

32

B.

58

C.

74

D.

75

该

5.

几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数，

几何体的主视图是（）

A.B.C.D.

6.从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作

m

和

n

．若点

A

的坐标记作

m,n

，则点

A

在双曲线

6

上的概率是（

x

1

A.

3

y

）

B.

1

2

C.

2

3

D.

5

6

）

它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小

7.

如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，

正方形的面积为

1

，大正方形的面积为

25

，直角三角形中较小的锐角为

，则

cos

的值为（

A.

3

4

B.

4

3

C.

3

5

D.

4

5

8.在平面直角坐标系中，将正比例函数

y2x

的图象向右平移3个单位长度得到一次函数

ykxb(k0)

的图

象，则该一次函数的解析式为（

A.

y2x3

）

C.

y2x3

D.

y2x6

B.

y2x6

9.如图，

O

是锐角三角形

ABC

的外接圆，

ODAB,OEBC,OFAC

，垂足分别为

D,E,F

，连接

DE,EF,FD

．若

DEDF6.5,△ABC

的周长为21，则

EF

的长为（）

A.8B.4C.3.5D.3

10.如图，在平面直角坐标系中，

OAB

三个顶点的坐标分别为

O(0,0),A(23,0),B(3,1),△OA

B

与

OAB

关于

直线

OB

对称，反比例函数

y

k

(

k

0,

x

0)

的图象与

A

B

交于点

C

．若

A

CBC

，则

k

的值为（

x

）

A.

23

B.

33

2

C.

3

D.

3

2

二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上．

11.若

a,b

为两个连续整数，且

a3b

，则

ab

________．

x

1

x

2

________．

x

1

x

2

12.若

x

1

,x

2

是一元二次方程

x

2

2x

8=0

的两个实数根，则

13.如图，正方形

ABCD

的边长为2，对角线

AC,BD

相交于点

O

，以点

B

为圆心，对角线

BD

的长为半径画弧，

交

BC

的延长线于点

E

，则图中阴影部分的面积为

________

．

14.已知二次函数

yax

2

2ax3(a0)

，若点

P(m,3)

在该函数的图象上，且

m0

，则

m

的值为________．

ACB90,AC3,BC1

，15.如图，在

Rt△ABC

中，将

ABC

绕点A逆时针方向旋转

90

，得到

△AB

C

．连

接

BB

，交

AC

于点D，则

AD

的值为________．

DC

16.如图，

AC,AD,CE

是正五边形

ABCDE

的对角线，

AD

与

CE

相交于点

F

．下列结论：

①

CF

平分

ACD

；

②

AF2DF

；

③

四边形

ABCF

是菱形；

④

AB

2

ADEF

其中正确的结论是

________

．（填写所有正确结论的序号）

三、解答题：本大题共有7小题，共72分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡

的对应位置．

17.（1）先化简，再求值：

(a2b)

2

(a2b)(a2b)

，其中

a

1,

b

（2）解方程：

33

x

5

．

x

11

x

1

．

4

18.

在推进碳达峰、碳中和进程中，我国新能源汽车产销两旺，连续

8

年保持全球第一．图为我国某自主品牌车企

2022

年下半年新能源汽车的月销量统计图．

请根据所给信息，解答下列问题：

（

1

）通过计算判断该车企

2022

年下半年的月均销量是否超过

20

万辆；

（

2

）通过分析数据说明该车企

2022

年下半年月销量的特点（写出一条即可），并提出一条增加月销量的合理化建

议．

19.

为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，

A

点为出发点，途中设置两个检

查点，分别为

B

点和

C

点，行进路线为

ABCA

．

B

点在

A

点

的

南偏东

25

方向

32km

处，

C

点在A

点的北偏东

80

方向，行进路线

AB

和

BC

所在直线的夹角

ABC

为

45

．

（

1

）求行进路线

BC

和

CA

所在直线的夹角

BCA

的度数；

（

2

）求检查点

B

和

C

之间的距离（结果保留根号）．

20.

随着科技

的

发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品

2022

年每

个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品

2022

年第

x

（

x

为整数）个月每台的销

售价格为

y

（单位：元），

y

与

x

的函数关系如图所示（图中

ABC

为一折线）．

（

1

）当

1x10

时，求每台的销售价格

y

与

x

之间的函数关系式；

（2）设该产品2022年第

x

个月的销售数量为

m

（单位：万台），m与

x

的关系可以用

m

月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入

每台的销售价格

销售数量）

21.如图，

AB

是

O

的直径，

AC

是弦，

D

是

AC

上一点，

P

是

AB

延长线上一点，连接

AD,DC,CP

．

1

x

1

来描述，求哪个

10

（

1

）求证：

ADCBAC90

；（请用两种证法解答）

（

2

）若

ACPADC

，

O

的

半径为

3

，

CP4

，求

AP

的长．

22.如图，在菱形

ABCD

中，对角线

AC,BD

相交于点

O

，点

P,Q

分别是边

BC

，线段

OD

上的点，连接

AP,QP,AP

与

OB

相交于点

E

．

（1）如图1，连接

QA

．当

QAQP

时，试判断点

Q

是否在线段

PC

的

垂直平分线上，并说明理由；

（

2

）如图

2

，若

APB90

，且

BAPADB

，

①求证：

AE2EP

；

②当

OQOE

时，设

EP=a

，求

PQ

的长（用含

a

的代数式表示）．

23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线

yx

2

3x1

交

y

轴于点

A

，直线

y

B

在点

C

的左侧），交

y

轴于点

D

，交

x

轴于点

E

．

1

x

2

交抛物线于

B,C

两点（点

3

（1）求点

D,E,C

的坐标；

（2）

F

是

线段

OE

上一点

OFEF

，连接

AF,DF,CF

，且

AF

2

EF

2

21

．

①求证：

△DFC

是直角三角形；

②

∠DFC

的平分线

FK

交线段

DC

于点

K,P

是直线

BC

上方抛物线上一动点，当

3tanPFK1

时，求点

P

的

坐标．

2023年初中学业水平考试试卷

数学

一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡

上对应题目的答案标号涂黑．

1.下列各式计算结果为

a

的是（

A.

5

）

C.

a

4

a

D.

(

1)

1

a

5

a

3

2

B.

a

10

a

2

【答案】

C

【分析】根据同底数幂的乘除法及幂的乘方运算法则即可判断．

【详解】解：A、

a

3



2

a

6

，不符合题意；

B

、

a

10

a

2

a

8

，不符合题意；

C、

a

4

aa

5

，符合题意；

D、

(

1)

1

a

5



a

5

，不符合题意；

故选：

C

．

【点睛】题目主要考查同底数幂的乘除法及幂的乘方运算法则，熟练掌握运算法则是解题关键．

2.

关于

x

的一元一次不等式

x1m

的解集在数轴上的表示如图所示，则

m

的值为（）

A.3

【答案】

B

B.2C.1D.0

【分析】先求出不等式的解集，然后对比数轴求解即可．

【详解】解：

x1m

解得

xm1

，

由数轴得：

m13

，

解得：

m2

，

故选：

B

．

【点睛】题目主要考查求不等式的解集及参数，熟练掌握求不等式解集的方法是解题关键．

3.定义新运算“

”，规定：

aba

2

|b|

，则

(2)(1)

的运算结果为（

A.

5

【答案】

D

【分析】根据新定义的运算求解即可．

B.

3

C.5D.3

）

【详解】解：∵

aba

2

|b|

，

∴

(2)(1)(2)1413

，

故选：

D

．

【点睛】题目主要考查新定义的运算，理解题意中的运算法则是解题关键．

4.如图，直线

a

b

，直线

l

与直线

a,b

分别相交于点

A,B

，点

C

在直线

b

上，且

CACB

．若

132

，则

2

的度数为（）

2

A.

32

【答案】

C

B.

58

C.

74

D.

75

【分析】由

CACB

，

132

，可得

CBA



CAB

可得

2

的度数．

【详解】解：∵

CACB

，

132

，

∴

CBA



CAB

∵

a

b

，

∴

2CBA74

，

故选：

C

．

180



1

74

，由

a

b

，可得

2CBA

，进而

2

180



1

74

，

2

【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理，平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．

该

5.

几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数，

几何体的主视图是（）

A

.

B.C.D.

【答案】

D

【分析】根据各层小正方体的个数，然后得出三视图中主视图的形状，即可得出答案．

【详解】解：根据俯视图可知，这个几何体中：主视图有三列：左边一列

1

个，中间一列

2

个，右边一列

2

个，

所以该几何体的主视图是

故选：

D

．

【点睛】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，熟练

掌握三视图的判断方法是解题关键．

6.从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作

m

和

n

．若点

A

的坐标记作

m,n

，则点

A

在双曲线

6

上的概率是（

x

1

A.

3

y

【答案】

A

）

B.

1

2

C.

2

3

D.

5

6

【分析】先求出点

A

的

坐标的所有情况的个数，然后求出其中在双曲线

y

的计算方法，即可得到答案．

6

上的坐标的个数，根据随机事件概率

x

【详解】解：从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，点

A

的坐标共有6种情况：

1,2

，

2,1

，

1,3

，

3,1

，

2,3

，

3,2

，并且它们出现的可能性相等．

6

上有2种情况:

2,3

，

3,2

．

x

21

所以，这个事件的概率为

P

．

63

点

A

坐标在双曲线

y

故选：

A

．

【点睛】本题主要考查随机事件的概率，关键是掌握随机事件概率的计算方法：如果在一次试验中，有

n

种可能的

结果，并且它们发生的可能性都相等，事件

A

包含其中的

m

种结果，那么事件

A

发生的概率

P

A

m

．

n

它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小

7.

如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，

正方形的面积为

1

，大正方形的面积为

25

，直角三角形中较小的锐角为

，则

cos

的值为（）

A.

3

4

B.

4

3

C.

3

5

D.

4

5

【答案】

D

【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为

a

，则较长的直角边为

a1

，再接着利用勾股定理得到关于

a

的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边

长，最后求出

cos

的值即可.

【详解】∵小正方形的面积为

1

，大正方形的面积为

25

，

∴小正方形的边长为

1

，大正方形的边长为

5

，

设直角三角形短的直角边为

a

，则较长的直角边为

a1

，其中

a0

，

∴

a

2

a1

5

2

，其中

a0

，

解得：

a3

，

a14

，

∴

cos

故选：D

2

4

，

5

.

【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数

的

综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

8.在平面直角坐标系中，将正比例函数

y2x

的图象向右平移3个单位长度得到一次函数

ykxb(k0)

的图

象，则该一次函数的解析式为（

A.

y2x3

【答案】

B

【分析】根据一次函数的平移规律求解即可．

【详解】解：正比例函数

y2x

的图象向右平移3个单位长度得：

）

C.

y2x3

D.

y2x6

B.

y2x6

y2(x3)2x6

，

故选：

B

．

【点睛】题目主要考查一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题关键．

9.如图，

O

是锐角三角形

ABC

的外接圆，

ODAB,OEBC,OFAC

，垂足分别为

D,E,F

，连接

DE,EF,FD

．若

DEDF6.5,△ABC

的周长为21，则

EF

的长为（）

A.8

【答案】

B

B.4C.3.5D.3

【分析】根据三角形外接圆的性质得出点

D

、

E

、

F

分别是

AB、BC、AC

的中点，再由中位线的性质及三角形的

周长求解即可．

【详解】解：∵

O

是锐角三角形

ABC

的外接圆，

ODAB,OEBC,OFAC

，

∴点

D

、

E

、

F

分别是

AB、BC、AC

的中点，

∴

DF

111

BC

,

DEAC

,

EFAB

，

222

∵

DEDF6.5,△ABC

的周长为21，

∴

CBCAAB21

即

2DF2DE2EF21

，

∴

EF4

，

故选：

B

．

【点睛】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键．

10.如图，在平面直角坐标系中，

OAB

三个顶点的坐标分别为

O(0,0),A(23,0),B(3,1),△OA

B

与

OAB

关于

直线

OB

对称，反比例函数

y

k

(

k

0,

x

0)

的图象与

A

B

交于点

C

．若

A

CBC

，则

k

的值为（

x

）

A.

23

【答案】

A

B.

33

2

C.

3

D.

3

2

【分析】过点B作

BDx

轴，根据题意得出

BD1,OD3

，再由特殊角的三角函数及等腰三角形的判定和性

质得出

OBAB2

，

BOA

BAO30

，利用各角之间的关系

OBA

OBD180

，确定

A

，

B

，

D

三点共线，结合图形确定

C

3,2

，然后代入反比例函数解析式即可．

【详解】解：如图所示，过点

B

作

BDx

轴，

∵

O(0,0),A(23,0),B(3,1)

，

∴

BD1,OD

∴

ADOD

3

，

3

，

tan

BOA

BD

3

，

OD

3

∴

OBABOD

2

BD

2

2

，

BOA

BAO30

，

∴

OBD

ABD60

，

OBA120

，

∵

OA

B

与

OAB

关于直线

OB

对称，

∴

OBA

120

，

∴

OBA

OBD180

，

∴

A

，

B

，

D

三点共线，

∴

A

BAB2

，

∵

A

CBC

，

∴

BC1

，

∴

CD2

，

∴

C

3,2

，

k

(

k

0,

x

0)

得：

k23

，

x

将其代入

y

故选：

A

．

【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定，理解题意，综合运用这

些知识点是解题关键．

二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上．

11.若

a,b

为两个连续整数，且

a

【答案】

3

【分析】根据夹逼法求解即可．

【详解】解：∵

132

2

，即

1

2

∴

132

，

∴

a1,b2

，

∴

ab3

．

故答案为：

3

．

【点睛】题目主要考查无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．

12.若

x

1

,x

2

是一元二次方程

x

2

2x

8=0

的两个实数根，则

3b

，则

ab

________．



3

2

2

2

，

x

1

x

2

________．

x

1

x

2

【答案】

1

##

0.25

4

【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得，

x

1

x

2

2

，

x

1

x

2

8

，然后代入求解即可．

【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系得，

x

1

x

2

2

，

x

1

x

2

8

，

∴

x

1

x

2

1



，

x

1

x

2

4

故答案为：

1

．

4

【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程

axbxc0

的两个实数根

x

1

，

x

2

满足

x

1

x

2

2

b

c



，

x

1

x

2

．

a

a

13.如图，正方形

ABCD

的边长为2，对角线

AC,BD

相交于点

O

，以点

B

为圆心，对角线

BD

的长为半径画弧，

交

BC

的延长线于点

E

，则图中阴影部分的面积为

________

．

【答案】

【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形

BED

的面积，然后由勾股定理得出

BD22

，再由扇形

的面积公式求解即可．

【详解】解：正方形

ABCD

，

∴

AOCO,BODO,ADCD

，

DBE45

，

∴

AOD≌COB(SSS)

，

∵正方形

ABCD

的边长为

2

，

∴

BD2

2

2

2

22

45

22

360

∴阴影部分的面积为扇形

BED

的面积，即

故答案为：

．



2

，

【点睛】题目主要考查正方形的性质及扇形的面积公式，理解题意，将阴影部分面积进行转化是解题关键．

14.已知二次函数

yax

2

2ax3(a0)

，若点

P(m,3)

在该函数的图象上，且

m0

，则

m

的值为________．

【答案】

2

【分析】将点

P(m,3)

代入函数解析式求解即可．

【详解】解：点

P(m,3)

在

yax

2

2ax3

上，

∴

3am

2

2am3

，

am(m2)0

，

解得：

m2,m0

(舍去)

故答案为：

2

．

【点睛】题目主要考查二次函数图象上的点的特点，理解题意正确求解是解题关键．

ACB90,AC3,BC1

，15.如图，在

Rt△ABC

中，将

ABC

绕点A逆时针方向旋转

90

，得到

△AB

C

．连

接

BB

，交

AC

于点D，则

AD

的值为________．

DC

【答案】

5

【分析】过点D作

DFAB

于点F，利用勾股定理求得

AB=10

，根据旋转的性质可证

ABB

、

△DFB

是等

腰直角三角形，可得

DFBF

，再由

S

ADB

可得

11

BCADDFAB

，得

AD=10DF

，证明

AFDACB

，

22

1

DFAF

5

10

，即

AF3DF

，再由

AF=10DF

，求得

DF

=

，从而求得

AD

，

CD

，即可

BCAC

2

2

4

求解．

【详解】解：过点

D

作

DFAB

于点

F

，

∵

ACB90

，

AC3

，

BC1

，

∴

AB3

2

1

2

10

，

∵将

ABC

绕点

A

逆时针方向旋转

90

得到

△AB

C

，

∴

AB=AB

=10

，

BAB

90

，

∴

ABB

是等腰直角三角形，

∴

ABB

45

，

又∵

DFAB

，

∴

FDB45

，

∴

△DFB

是等腰直角三角形，

∴

DFBF

，

∵

S

ADB

11

BCADDFAB

，即

AD=10DF

，

22

∵

CAFD90

，

CABFAD

，

∴

AFDACB

，

∴

DFAF

，即

AF3DF

，

BCAC

又∵

AF=10DF

，

∴

DF

=

10

，

4

51

105

CD

=3

=

，

，

=

22

42

∴

AD

=10

5

AD

2

==5

，∴

CD

1

2

故答案为：

5

．

【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性

质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．

16.如图，

AC,AD,CE

是正五边形

ABCDE

的对角线，

AD

与

CE

相交于点

F

．下列结论：

①

CF

平分

ACD

；

②

AF2DF

；

③

四边形

ABCF

是菱形；

④

AB

2

ADEF

其中正确的结论是

________

．（填写所有正确结论的序号）

【答案】

①③④

【分析】根据正五边形的性质得出各角及各边之间的关系，然后由各角之间的关系及相似三角形的判定和性质，菱

形的判定依次证明即可．

【详解】解：①

∵

正五边形

ABCDE

，


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