2024年3月31日发(作者：2020数学试卷文科二卷)

第9讲 随机变量的数学期望与方差

教学目的：1.掌握随机变量的数学期望及方差的定义。

2.熟练能计算随机变量的数学期望与方差。

教学重点：

1．随机变量的数学期望

2．随机变量函数的数学期望

3．数学期望的性质

4．方差的定义

5．方差的性质

教学难点：数学期望与方差的统计意义。

教学学时：2学时。

教学过程：

第三章 随机变量的数字特征

§3.1 数学期望

在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率

分布，那么X的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布一般是较

难确定的，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要

知道它的某些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定其某些数字特征

是重要的，而在这些数字特征中，最常用的是随机变量的数学期望和方差。

1．离散随机变量的数学期望

我们来看一个问题：

某车间对工人的生产情况进行考察。车工小张每天生产的废品数X是一个随机变

量，如何定义X取值的平均值呢？

若统计100天，32天没有出废品，30天每天出一件废品，17天每天出两件废品，

21天每天出三件废品。这样可以得到这100天中每天的平均废品数为

0

32301721

1231.27

1

这个数能作为X取值的平均值吗？

1

可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的

天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是

1.27。

对于一个随机变量X，若它全部可能取的值是

x

1

,x

2

,

， 相应的概率为

P

1

,P

2

,

，

则对X作一系列观察(试验)所得X的试验值的平均值是随机的。但是，如果试验次数

很大，出现

x

k

的频率会接近于

P

K

，于是试验值的平均值应接近

x

k1

k

p

k

由此引入离散随机变量数学期望的定义。

定义1 设X是离散随机变量，它的概率函数是

p(x

k

)P(Xx

K

)P

K

,k1, 2, 

如果

|x

k

|p

k

收敛，定义X的数学期望为

k1

E(X)

x

k

p

k

k1

也就是说,离散随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。

例1 某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地

试用这串钥匙中的某一把去开门。若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数

的数学期望。

解 设试开次数为X，则

p(Xk)

1

n

，

k1, 2, ,n

于是

E(X)

k

k1

n

1

1(1n)nn1



n

n22

2. 连续随机变量的数学期望

为了引入连续随机变量数学期望的定义，我们设X是连续随机变量，其密度函数

为

f(x)

，把区间

( , )

分成若干个长度非常小的小区间，考虑随机变量X落在任意

小区间

(x , xdx]

内的概率，则有

2

p(xXxdx)

=

xdx

x

f(t)dx

f(x)dx

由于区间

(x , xdx]

的长度非常小，随机变量X在

(x , xdx]

内的全部取值都可近似为

x

，而取值的概率可近似为

f(x)dx

。参照离散随机变量数学期望的定义，我们可以引

入连续随机变量数学期望的定义。

定义2 设X是连续随机变量，其密度函数为

f(x)

。如果



|x|f(x)dx

收敛，定义连续随机变量X的数学期望为

E(X)

xf(x)dx



也就是说,连续随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分。

由连续随机变量数学期望的定义不难计算：

若

X~U(a,b)

，即X服从

(a ,b)

上的均匀分布,则

E(X)

ab

2

若X服从参数为

的泊松分布，则

E(X)

若X服从

N(

,

2

), 则

E(X)

3.随机变量函数的数学期望

设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是随机变量X的数学期望，而是X

的某个函数的数学期望，比如说

g(X)

的数学期望，应该如何计算呢？这就是随机变量

函数的数学期望计算问题。

一种方法是，因为

g(X)

也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的

X的分布求出来。一旦我们知道了

g(X)

的分布，就可以按照数学期望的定义把

E[g(X)]

计算出来，使用这种方法必须先求出随机变量函数

g(X)

的分布，一般是比较复杂的。

3

那么是否可以不先求

g(X)

的分布，而只根据X的分布求得

E[g(X)]

呢？答案是肯定的，

其基本公式如下：

设X是一个随机变量，

Yg(X)

，则

g(x

k

)p

k

,X离散

E(Y)E[g(X)]

k1

g(x)f(x)dx,X连续



当X是离散时,

X的概率函数为

P(x

k

)P(Xx

K

)P

K

, k1, 2, 

；

当X是连续时，X的密度函数为

f(x)

。

该公式的重要性在于，当我们求

E

[

g

(

X

)]时,不必知道

g

(

X

)的分布，而只需知道X

的分布就可以了，这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便。

4.数学期望的性质

（1）设

C

是常数，则E(

C

)=

C

。

（2）若

k

是常数，则

E

(

kX

)=

kE

(

X

)。

（3）

E(X

1

X

2

)  E(X

1

)E(X

2

)

。

推广到n个随机变量有

E[

X

i

]

E(X

i

)

。

i1i1

nn

（4）设X、Y相互独立，则有

E

(

XY

)=

E

(

X

)

E

(

Y

)。

推广到n个随机变量有

E[

X

i

]

E(X

i

)

i1i1

nn

5.数学期望性质的应用

例2 求二项分布的数学期望。

解 若

X~B(n,p)

，则X表示

n

重贝努里试验中的“成功” 次数，现在我们来

求

X

的数学期望。

若设

1如第i次试验成功

X

i

i

=1,2，…，

n

0如第i次试验失败

4

则

XX

1

X

2

X

n

，

因为

P(X

i

1)P

，

P(X

i

0)1Pq

所以

E(X

i

)0q1pp

，则

E(X)

E[

X

i

]

E(X

i

)np

i1i1

nn

可见，服从参数为

n

和

p

的二项分布的随机变量X的数学期望是

np

。

需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。

例3 设随机变量X服从柯西分布,概率密度为

f(x)

(x

1

,x

2

1)

求数学期望

E(X)

。

解 依数学期望的计算公式有

E(X)

因为广义积分



x

2

1

x

2

x1





dx



x1

dx

不收敛，所以数学期望

E(X)

不存在。

§3.2 方差

前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随

机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是

不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是我们要学习的

方差的概念。

1. 方差的定义

定义3 设随机变量X的数学期望

E(X)

存在，若

E[(XE(X))

2

]

存在，则称

E[(XE(X))

2

]

(3.1)

为随机变量X的方差，记作

D(X)

，即

D(X)E[(XE(X))

2

]

。

方差的算术平方根

D(X)

称为随机变量X的标准差，记作

(X)

，即

(X)D(X)

由于

(X)

与X具有相同的度量单位，故在实际问题中经常使用。

5

方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度，若X的取值相对于其数

学期望比较集中，则其方差较小；若X的取值相对于其数学期望比较分散，则方差较

大。若方差

D(X)

=0，则随机变量X 以概率1取常数值。

由定义1知，方差是随机变量X的函数

g(X)[XE(X)]

2

的数学期望，故

2

[x

k

E(X)]p

k

, 当X离散时

D(X)

k1

[x

k

E(X)]

2

f(x)dx, 当X连续时



当X离散时,

X的概率函数为

P(x

k

)P(Xx

K

)P

K

, k1, 2, 

；

当X连续时，X的密度函数为

f(x)

。

计算方差的一个简单公式

：

D(X)E(X

2

)[E(X)]

2

证

D(X)E[(XE(X))

2

]

E[X

2

2XE(X)[E(x)]

2

]

E(X

2

)[E(X)]

2

请用此公式计算常见分布的方差。

例4 设随机变量X服从几何分布，概率函数为

P

k

p(1p)

k1

,

k

=1,2,…,

n

其中0<

p

<1，求

D(X)

。

解 记

q

=1-

p

E(X)

kpq

k1

k1

p

(q)\'p(

q

k

)\'

p(

k

k1k1

k1



q

1

)\'

1q

p

k1

E(X)

kpq

22

k1

p[

k(k1)q

k1

k1

kq]

qp(

q

k

)



+

E

(

X

)

k1

k1

q121

2q1

qp()



qp

2

3

1qp(1q)p

pp

6

D(X)E(X

2

)[E(X)]

2

2p1

1p

2

22

p

pp

2. 方差的性质

（1）设

C

是常数,则

D

(

C

)=0。

（2）若

C

是常数,则

D(CX)C

2

D(X)

。

（3）若

X

与

Y

独立，则

D(XY)D(X)D(Y)

。

证 由数学期望的性质及求方差的公式得

D(XY)E[(XY)

2

][E(XY)]

2

E[X

2

Y

2

2XY][E(x)E(Y)]

2

E(X

2

)E(Y

2

)2E(X)E(Y)[E(X)]

2

[E(Y)]2E(X)E(Y)

E(X

2

)[E(X)]

2

D(X)D(Y)

2

E(Y

2

)[E(Y)]

2

可推广为：若

X

1

,

X

2

，

…

，

X

n

相互独立，则

D[

X

i

]

D(X

i

)

i1i1

nn

D[

C

i

X

i

]

C

i

2

D(X

i

)

i1i1

nn

（4）

D

(

X

)=0

P

(

X

=

C

)=1， 这里

C

=

E

(

X

)。

请同学们思考当

X

与

Y

不相互独立时，

D(XY)?

下面我们用例题说明方差性质的应用。

例5 二项分布的方差。

解 设

X~B(n,p)

, 则X表示

n

重贝努里试验中的“成功” 次数。

若设

1如第i次试验成功

X

i

i

=1,2，…，

n

0如第i次试验失败

则

X

X

i

是

n

次试验中“成功”的次数，

E(X

i

)0q1pp

，故

i1

n

7

D(X

i

)E(X

i

)[E(X

i

)]

2

pp

2

p(1p)

，

i1,2,L,n

由于

X

1

,X

2

,,X

n

相互独立，于是

D(X)

D(X

i

)

=

np

(1-

p

)。

i1

n

2

例6 设随机变量X的数学期望

E(X)

与方差

D(X)

2

(X)

都存在，

(X)0

,则

标准化的随机变量

X

*

证明

E(X

*

)0

,

D(X

*

)1

。

证 由数学期望和方差的性质知

XE(X)

(X)

E[XE(X)]

0

(X)

D[XE(X)]D(X)

E(X)

D(X

*

)D[

X

]

2

1

(X)

2

(X)

(X)

_E(X)

E(X

*

)E[

X

(X)

]

8


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