《高等数学A》教学大纲

2023年12月27日发(作者：高中学生写数学试卷)

《高等数学A》教学大纲

适用范围：2017本科人才培养方案

课程代码：13110011/13110021

课程类别：通识教育必修课

学

分：11学分

学

时：176学时

先修课程：初等数学

适用专业：电子信息工程、自动化等全校工科类本科专业

教

材：《高等数学》（第六版），同济大学应用数学系编，高等教育出版社，2007

开课单位：基础部

一、课程的性质与任务

课程性质：本课程是电子信息工程、自动化等全校工科类本科专业学生必修的重要基础理论课。课程任务：通过本课程的学习，使学生获得一元函数微积分及其应用、多元函数微积分及其应用、无穷级数与常微分方程、向量代数与空间解析几何等方面的的基本知识、基本概念、基本理论和基本方法，并接受基本运算技能的训练，为学习相关的后继课程奠定必要的数学基础。同时，培养学生自主学习、综合运用所学的数学理论和方法分析与解决问题的能力，培养抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力，为终身学习打下基础。

二、课程的基本内容及要求

（一）函数与极限

1．课程教学内容

（1）映射与函数（集合，映射，函数的定义，函数的表示法，函数的有界性、单调性、周期性等简单特性)，反函数，分段函数，基本初等函数，复合函数，初等函数）；

（2）数列的极限（数列极限的定义，收敛数列的性质）；

（3）函数的极限（函数极限的定义，函数极限的性质）；

（4）无穷大与无穷小（无穷小，无穷小与函数极限的关系，无穷大）；

（5）极限的运算法则；

（6）极限存在法则

两个重要极限；

（7）无穷小的比较；

（8）函数的连续性与间断点（函数的连续性，函数的间断点及其分类）；

（9）连续函数的运算与初等函数的连续性（连续函数的和、差、积、商的连续性

，反函数与复合函数的连续性，初等函数的连续性）；

（10）闭区间上连续函数的性质

（有界性与最大值最小值定理，零点定理与介值定理）。

2．课程重点难点

重点:

函数的概念；复合函数的概念；极限的概念；函数在一点连续和在一区间上连续的概念；极限运算法则和两个重要极限。

难点:

复合函数与分段函数的概念；函数的极限；对无穷小进行比较；判断间断点的类型；求极限。

3．课程教学要求

（1）在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解，了解函数性质（奇偶性、单调性、周期性和有界性）；

（2）理解复合函数的概念，了解反函数的概念；

（3）会建立简单实际问题中的函数关系式；

（4）理解极限的概念，了解极限的N、定义

（不要求学生会做给出求N或的习题）；

（5）掌握极限的四则运算法则，会用变量代换求某些简单的复合函数的极限；

（6）了解极限的性质（唯一性、有界性、保号性）和两个存在准则（夹逼准则与单调有界准则），对它们的分析证明不作要求。掌握用两个重要极限lim(1)e与limx1xxsinx1求极限的方法；

x0x（7）了解无穷小、无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念，会用等价无穷小替换求极限；

（8）理解函数在一点连续和在一区间上连续的概念；

（9）了解函数间断点的概念，会判别间断点的类型；

（10）了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的介值定理与最大值、最小值定理。

（二）导数与微分

1．课程教学内容

（1）导数的概念（导数的定义，导数的几何意义，函数的可导性与连续性的关系）；

（2）函数的求导法则（函数的和、差、积、商的求导法则，反函数的求导法则，复合函数的求导法则，导数公式）；

（3）高阶导数；

（4）隐函数及由参数方程所确定的函数的导数，相关变化率；

（5）函数的微分（微分的定义，微分的几何意义，基本初等函数的微分公式与微分运算法则，微分在近似计算中的应用）。

2．课程重点难点

重点:

导数的概念及其几何意义；基本初等函数的求导公式；微分的概念；导数的四则运算法则和复合函数的求导法则。

难点:

导数、微分的概念；复合函数的求导；隐函数和参数方程所确定的函数的导数的求法；实际问题中的变化率的描述。

3．课程教学要求

（1）理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系；

（2）了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率；

（3）掌握基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则，复合函数的求导法则，了解反函数的求导法则，会求隐函数和参数方程所确定的函数的一阶导数以及这两类函数中比较简单的二阶导数，会解一些简单实际问题中的相关变化率问题；

（4）理解微分的概念，了解微分概念中所包含的局部线性化思想，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性；

（5）了解高阶导数的概念，掌握初等函数一阶、二阶导数的求法；

（三）微分中值定理与导数的应用

1．课程教学内容

（1）微分中值定理（罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理）；

（2）洛必达法则；

（3）泰勒公式；

（4）函数的单调性与曲线的凹凸性（函数单调性的判定法，曲线的凹凸性与拐点）。

（5）函数的极值与最大值最小值（函数的极值及其求法，最大值最小值问题）；

（6）函数图形的描绘；

（7）曲率（弧微分

，曲率及其计算公式，曲率圆与曲率半径

，*曲率中心的计算公式渐曲线与渐伸线）；

（8）方程的近似解（二分法，切线法）。

2．课程重点难点

重点:

罗尔定理；拉格朗日中值定理；函数极值；利用导数判断函数的单调性和求极值。

难点:

中值定理；求未定型的极限；描绘函数的图形；求最大值、最小值的应用问题。

3．课程教学要求

（1）理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，掌握这两个定理的简单应用，了解柯西（Cauchy）定理；

（2）会用洛必达法则(L\'Hospital)求未定式的极限；

（3）了解泰勒（Taylor）定理以及用多项式逼近函数的思想；

（4）理解函数的极值概念，掌握利用导数判断函数的单调性和求极值的方法，会求较简单的最大值和最小值的应用问题；

（5）会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形；

（6）了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径；

（7）了解求方程近似解的二分法和切线法。

（四）不定积分

1．课程教学内容

（1）不定积分的概念与性质（原函数与不定积分的概念,

基本积分表，不定积分的性质）；

（2）换元积分法（第一类换元法，第二类换元法）；

（3）分部积分法；

（4）有理函数的积分（有理函数的积分，可化为有理函数的积分举例）；

（5）积分表的使用。

2．课程重点难点

重点:

原函数与不定积分的概念，不定积分的基本公式，换元法和分部积分法。

难点:

换元积分法和分部积分法，有理函数的积分，三角有理式的积分，简单无理函数的积分。

3．课程教学要求

（1）理解原函数与不定积分的概念，了解不定积分的性质，掌握不定积分的基本公式；

（2）掌握不定积分的换元法和分部积分法；

（3）会求有理函数、三角函数的有理式及简单的无理函数的积分。

（五）定积分

1．课程教学内容

（1）定积分的概念与性质；

（2）微积分基本公式（积分上限的函数及其导数，牛顿-莱布尼兹公式）；

（3）定积分的换元积分法与分部积分法；

（4）反常积分（无穷限的广义积分，无界函数的广义积分）；

*（5）反常积分的审敛法

函数（无穷限广义积分的审敛法，无界函数的广义积分的审敛法，。

函数）2．课程重点难点

重点:

定积分的概念和几何意义，积分上限的函数及其求导定理，牛顿─莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式，定积分的换元积分法和分部积分法。

难点:

定积分的概念，变上限的定积分的求导，反常积分的概念，换元法和分部积分法。

3．课程教学要求

（1）理解定积分的概念和几何意义；

（2）理解积分上限的函数及其求导定理，掌握牛顿（Newton）——莱布尼兹（Leibnize）公式；

（3）掌握定积分的换元法和分部积分法；

（4）了解两类反常积分的概念，会计算简单反常积分.

（六）定积分的应用

1．课程教学内容

（1）定积分的元素法；

（2）定积分在几何学上的应用（平面图形的面积，体积，平面曲线的弧长）；

（3）定积分在物理学上的应用（变力沿直线所作的功，水压力，引力）。

2．课程重点难点

重点:

定积分的元素法。

难点:

定积分的元素法，求平面图形的面积、弧长，旋转体的体积，物理上的应用问题。

3．课程教学要求

（1）理解科学技术问题中建立定积分表达式的元素法的思想，会建立某些简单几何量和物理量的积分表达式。

（2）了解定积分的近似计算法（矩形法、梯形法和抛物线法）的思想。

（七）微分方程

1．课程教学内容

（1）微分方程的基本概念；

（2）可分离变量的微分方程；

（3）齐次方程（齐次方程，可化为齐次的方程）；

（4）一阶线性微分方程（一阶线性微分方程，伯努利方程）；

（5）可降解的高阶微分方程（y(n)f(x)型的微分方程，yf(x,y)型的微分方程，yf(y,y)型的微分方程）；

（6）高阶线性微分方程（线性微分方程的阶的结构，常数变易法）；

（7）常系数齐次线性微分方程；

（8）常系数非齐次线性微分方程；

（9）欧拉方程；

（10）常系数线性微分方程组解法举例。

2．课程重点难点

重点:

可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的解法；二阶线性微分方程解的结构；二阶常系数齐次线性方程的解法。

难点:

可降阶的二阶方程的求解；二阶常系数非齐次线性方程的解；用微分方程建立和求解一些简单相关实际问题的数学模型。

3．课程教学要求

（1）了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念。

（2）掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。

（3）会解齐次方程，并从中领会用变量代换求解微分方程的思想。

(n)

（4）会用降阶法解下列三种类型的高阶方程：yf(x)、yf(x,y)、yf(y,y)。（5）理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理。

（6）掌握二阶常系数齐次线性方程的解法，了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。

（7）会求自由项形如Pm(x)e、e(AcosxBsinx)的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解，其中Pm(x)为实系数m次多项式，,,A,B为实数。

xx

（8）会通过建立微分方程模型，解决一些简单的实际问题。

（八）

向量代数与空间解析几何

1．课程教学内容

（1）向量及其线性运算（向量概念，向量的线性运算，空间直角坐标系，利用坐标做向量的线性运算，向量的模、方向角、投影）；

（2）数量积

向量积

混合积；

（3）平面及其方程（平面的点法式方程，平面的一般方程，两平面的夹角）；

（4）空间直线及其方程（空间直线的一般方程，空间直线的对称式方程与参数方程，两直线的夹角，直线与平面的夹角）；

（5）曲面及其方程（曲面方程的概念，旋转曲面，柱面，二次曲面）；

（6）空间曲线及其方程（空间曲线的一般方程，空间曲线的参数方程，空间曲线在坐标面上的投影）。

2．课程重点难点

重点:

空间直角坐标系的概念，向量的概念，坐标表示的向量运算(线性运算、数量积、向量积运算)，平面方程（点法式、一般式）和直线方程（点向式、参数式、一般式）。

难点:

平面方程、直线方程的求法，二次曲面的画图。

3．课程教学要求

（1）理解空间直角坐标系；理解向量的概念及其表示；

（2）掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平行的条件；

（3）掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

（4）了解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的图形及其投影，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面的方程；

（4）了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程；

（5）掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。

（九）多元函数微分法及其应用

1．课程教学内容

（1）多元函数的基本概念（平面点集，n维空间，多元函数概念，多元函数的极限，多元函数的连续性）；

（2）偏导数（偏导数的定义及其计算方法，高阶偏导数）；

（3）全微分（全微分的定义，全微分在近似计算的应用）；

（4）多元复合函数的求导法则；

（5）隐函数的求导公式（一个方程的情形，方程组的情形）；

（6）多元函数微分学的几何应用（空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线）；

（7）方向导数与梯度（方向导数，梯度）；

（8）多元函数的极值及其求法（多元函数的极值及其最大值最小值，条件极值

拉格朗日乘数

法）；

*（9）二元函数的泰勒公式（二元函数的泰勒公式，极值充分条件的证明）；

*（10）最小二乘法。

2．课程重点难点

重点: 二元函数的概念；二元函数偏导数与全微分的概念；复合函数一阶偏导数的求法；二元函数极值与条件极值。

难点:

复合函数的偏导数的求法。

3．课程教学要求

（1）理解二元函数的概念，了解多元函数的概念；

（2）了解二元函数的极限与连续性的概念，了解有界闭区域上连续函数的性质；

（3）理解偏导数与全微分的概念，会求偏导数，了解全微分存在的必要条件和充分条件；

（4）了解一元向量值函数及其导数的概念与计算方法；

（5）了解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法；

（6）掌握复合函数一阶偏导数的求法，掌握全微分的求法。会求复合函数的二阶偏导数，会求隐函数的一阶偏导数；

（7）了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线，并会求它们的方程；

（8）理解二元函数的极值和条件极值的概念。掌握多元函数极值的求法，掌握求条件极值的拉格朗日数乘法，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

（十）重积分

1．课程教学内容

（1）二重积分的概念与性质；

（2）二重积分的计算法（利用直角坐标系计算二重积分，利用极坐标计算二重积分，*二重积分的换元法）；

（3）三重积分（三重积分的概念，三重积分的计算）；

（4）重积分的应用（曲面的面积，质心，转动惯量，引力）；

*（5）含参变量的积分。

2．课程重点难点

重点:

二重积分的概念，二重积分的直角坐标、极坐标下的计算方法。

难点:

二重积分的直角坐标、极坐标下的计算方法，二重积分的实际应用，三重积分的计算。

3．课程教学要求

（1）理解二重积分概念，了解三重积分的概念，了解重积分的性质。

（2）掌握二重积分的计算方法（直角坐标下、极坐标下），会计算简单的三重积分（直角坐标、柱面坐标、*球面坐标、）。

（3）会用重积分计算平面图形的面积、立体的体积以及曲面的面积等一些几何量，会用重积分计算质量、重心、转动惯量、引力等物理量。

（十一）曲线积分与曲面积分

1．课程教学内容

（1）对弧长的曲线积分（对弧长的曲线积分的概念与性质，对弧长的曲线积分的计算法）；

（2）对坐标的曲线积分（对坐标的曲线积分的概念与性质，对坐标的曲线积分的计算法，两类曲线积分之间的联系）；

（3）格林公式及其应用

（格林公式，平面上曲线积分与路径无关的条件，二元函数的全微分求积）；

（4）对面积的曲面积分（对面积的曲面积分的概念与性质，对面积的曲面积分的计算法）；

（5）多坐标的曲面积分（对坐标的曲面积分的概念与性质，对坐标的曲面积分的计算法，两类曲面积分之间的联系）；

（6）高斯公式通量与散度（高斯公式，*沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件，通量与散度）；

（7）斯托克斯公式环流量与旋度（斯托克斯公式，*空间曲线积分与路径无关的条件，环流量与旋度，*向量微分算子）。

2．课程重点难点

重点:

两类曲线积分、曲面积分的概念，格林公式。

难点:

曲线积分、曲面积分的概念，场的概念。

3．课程教学要求

（1）理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系，会计算两类曲线积分；

（2）掌握格林公式并会用平面曲线积分与路径无关的条件，了解第二类平面曲线积分与路径无关的物理意义，

会求全微分的原函数；

（3）了解两类曲面积分的概念，了解两类曲面积分的性质及二者的关系，会计算两类曲面积分；

（4）了解高斯公式，会利用高斯公式计算积分，了解斯托克斯公式；

（5）了解散度、旋度的概念及其计算方法，了解场的概念。会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。

（十二）无穷级数

1．课程教学内容

（1）常数项级数的概念和性质（常数项级数的概念，级数的基本性质，几何级数，P一级数）；

（2）常数项级数的审敛法（正项级数及其审敛法，交错级数及其审敛法，绝对收敛与条件收敛）；

（3）幂级数（函数项级数的概念，幂级数及其收敛性，幂级数的运算）；

（4）函数展开成幂级数（泰勒级数，函数展开成幂级数）；

（5）函数的幂级数展开式的应用；

（6）傅立叶级数（三角级数，三角函数系的正交性，函数展开成傅立叶级数，正弦级数和余弦级数）；

（7）一般周期性函数的傅立叶级数（周期为2l的周期函数的傅立叶级数，傅立叶级数的复数

形式）。

2．课程重点难点

重点:

正项级数的比值审敛法，幂级数的收敛半径及收敛区间的求法，间接展开法把简单的函数展开成泰勒级数。

难点: 级数敛散性的概念及判定；级数的绝对收敛与条件收敛的判定；把函数展开成幂级数。

3．课程教学要求

（1）理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件；

（2）了解正项级数的比较审敛法以及几何级数、P一级数的敛散性，掌握正项级数的比值审敛法；

（3）了解交错级数的莱布尼兹定理，了解绝对收敛与条件收敛的概念以及二者的关系。

（4）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念，掌握简单幂级数的收敛半径、收敛区间的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会利用幂级数的性质求和

（5）会利用ex、sinx、cosx、ln(1x)、(1x)m的麦克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的函数展开成幂级数。

（6）了解利用将函数展开为幂级数进行近似计算的思想。

（7）了解用三角函数逼近周期函数的思想，了解函数展开为傅里叶（Fourier）级数的狄利克雷（Dirichlet）条件，会将定义在（,）和（l,l）上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在（0，L）上的函数展开为傅里叶正弦或余弦函数。

三、课程学时分配

教学章节

一、函数与极限

二、导数与微分

三、微分中值定理与导数的应用

四、不定积分

五、定积分

六、定积分的应用

七、微分方程

八、向量代数与空间解析几何

九、多元函数微分法及其应用

十、重积分

十一、

曲线积分与曲面积分

十二、无穷级数

总

计

理论

12

10

10

10

10

6

16

14

16

16

14

18

152

实践（验）

讨论、习题

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

24

四、大纲说明

1．本大纲的制定依据非数学类专业数学基础课程教学指导分委员会制定的2014版“工科类本科数学基础课程教学基本要求”。

2．本大纲为进行《高等数学A》课程教学的指导性文件，大纲的基本要求是学习本课程应达到的最低要求。

3．对本课程的概念、理论的要求由低到高用“了解”、“理解”表述；方法、运算的要求由低到高用“会”、

“掌握”表述。

4．标*号的内容都是超出本大纲要求的，可供基础好的同学选学。

5．适当注意教学自身的系统性和逻辑性，不同专业在保证必修的基础上，要尽量与专业结合，使学生能运用所学到的数学知识去解决专业课中的相关问题。

6．对于实际应用联系较多的基础知识，基本方法和基本技能应重点加强。

7．注意基本运算技能的训练。

五、课程考核

考核方式和考核时间：本课程采用闭卷笔试考核方式，考试时间120分钟。

考核基本要求：考核总成绩由期末试卷成绩和作业评价等过程性评价成绩组成，其中：期末试卷成绩为100分（权重80%），试题类型为填空题、选择题、证明题和计算题等类型，侧重考察学生的基础知识，基本技能以及应用能力，不考技巧性强的题目和运算极其复杂运算的题目；试卷中基本知识、基本理论、基本技能占70%左右，比较灵活且有一定难度的综合应用题占30%左右；作业评价等过程性评价成绩为100分（权重20%），考试试题分值与教学大纲各章节的学时基本成比例。

六、参考书目

1.

《微积分解体思路和方法》，刘书田等

主编，世界图书出版社，2010年；

2.

《数学分析题解精粹》，钱吉林等

主编，崇文书局，2008年；

3.

《高等数学大讲堂》，徐兵

主编，大连理工大学出版社，2010年；

4.

《高等数学》，四川大学数学系

编，高等教育出版社，2010年；

5.

《数学复习指南（理工类）》，陈文灯等

主编.，世界图书出版社，2014年。