2015年全国卷2(理科数学)含答案

2024年1月18日发(作者：双桥中学小升初数学试卷)

all~ 试题

绝密 ★ 启用前

2015

年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（全国Ⅱ卷）

注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷

（选择题 ）和第Ⅱ卷 （非选择题 ）两部分 .第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 3 至 5页 .

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置 .

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效 .

4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回 .

第Ⅰ卷

一、选择题： 本大题共 12小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的．

（1） 已知集合 A={ -2，-1，0， 2}，B={x|（x-1）（x+2）＜0}，则 A∩B=【A】

（A）{-1，0} （B）{0，1} （C）{ -1，0，1} （ D）{0，1，2}

（2） 若 a 为实数且（ 2+ai）（a-2i）=-4i,则 a=【B】

（A）-1 （B） 0 （C）1 （D）2

（3） 根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结 论不正确的是 【 D】

A ） 逐年比较， 2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B） 2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 .

C） 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 .

D） 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 .历年高考真题

1

all~ 试题

4）等比数列｛ an｝满足 a1=3，

3+ a5=21，则 a3+ a5+ a7

=【B 】 a1+ aA) 21 (B)42

C)63 ( D)84

5）设函数

A)3

1 log2(2 x),x 1,

f （x）

x 12,x 1

f( 2) f (l og2

12)

,则【C】

B)6 C)9 D)12

6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截

去部分体积与剩余部分体积的比值为

1

（A）

8

1

（B）

7

1

（C6

（D）

1

5

（1,3），B7）过三点 A

（4,2），

A） 2

6

的圆交y 轴于 M、N 两点，=MN

【C】

C(1,-7)

于 则

（C）4

6

D) 10

（B）8

九章算术》 中的 “更相减损术 ”执.行该程

8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著

序框图，若输入 a,b 分别为 14,18，则输出的 a=【B】

B)2

C） 4 （D）14

（9）已知 A,B是球 O 的球面上两点，∠ AOB=90°， C为该球面上的动点，若三棱锥

O-ABC 体 积的最大值为 36，则球 O 的表面积为 【 C】

A． 36π B.64π C.144π D.256π

历年高考真题

2

all~ 试题

(10).如图，长方形 ABCD的边 AB=2，BC=1，O是 AB的中点，点 P沿着边 BC，CD与DA运 动，∠BOP=x.将动点 P到A，B两点距离之和表示为 x的函数 f(x)，则f(x)的图像大致为 【B】

x

(A)

(B)

(C)

(D)

11)已知 A ，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E ?ABM 上， 为等腰三角形，且顶角为

120 °，则 E 的离心率为 【D 】

A ．

5 B．2 C．

3 D ．

212)设函数

f \'(x)是奇函数

f(x)(x R) 的导函数，

f ( 1)

0

，当 x>0 时，xf \'(x) f(x)

<

f (x) >0 成立的 x的取值范围是 【A】

0，则使得

A．

C．

,1

,1

0,1

1,0

B．

D．

1,0 1,

0,1 1,

第Ⅱ卷

二、填空题本大题共四个小题，每小题 5 分。

13 )设向量 a，b 不平行，向量

与

平行，

a ba 2b则实数

y1 0,

2y 0,

x

2y

2 0,

14)若 x，y 满足约束条件

，则

的最大值为

z x yx 的奇数次幂项的系数之和为 32，则

15)

(a x)(1 x) 的展开式中

4

历年高考真题

3

α= 3历年高考真题

all~ 试题

4

all~ 试题

1

（16）设 Sn是数列 { an}的前项和，且

a1

1,an1

snsn1则 Sn=

，n

三 .解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .

17 ）（本小题满分 12 分）

? ABC中， D是BC上的点， AD平分∠ BAC，?ABD是?ADC面积的 2倍。

sin

(Ⅰ)求

B

sinC

(Ⅱ) 若 AD=1，DC=

，求 BD 和 AC 的长．

1

解：(Ⅰ)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD ，

21

SADC

＝ AC ·AD sin∠ CAD.

△2

因为 S△

ABD

＝ 2S△

ADC

，∠ BAD ＝∠ CAD ，所以 AB ＝ 2AC.

∠

sin∠

1

由正弦定理可得

C AB

.

(Ⅱ)因为 S△ABD

∶S△ADC

＝BD ∶DC 及

，

DC

，

sinBAC＝＝

222所以 BD ＝ 2.

22222

在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB＝AD＋BD－2AD·BDcos∠ADB ，AC＝AD

＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.

故 AB

2＋ 2AC

2＝3AD

2＋BD2＋2DC2＝6.

由（Ⅰ）知 AB ＝2AC ，所以 AC＝1.

（18） （本小题满分 12分）

某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A， B 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用

户对产品的满意度评分如下：

A 地区：

62 73 81 92 95 85 74 64 53 76

78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B 地区：

73 83 62 51 91 46 53 73 64 82

93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意历年高考真题

5

度评

分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可） ；

历年高考真题

all~ 试题

6

all~ 试题

Ⅱ)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

满意度评分

满意度等级

低于 70 分

不满意

70 分到 89 分

满意

不低于 90 分

非常满意

记事件 C： “A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级 ”，假设两地区用户的评价 结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C 的概率。

解： (Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下 (画图注意数据不重不漏 )：

通过茎叶图可以看出， A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均 值； A 地区用户满意度评分比较集中， B 地区用户满意度评分比较分散．

(Ⅱ)记 CA1表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意” ；

CA2表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意； ”

CB1

表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意” ；

CB2表示事件： “ B 地区用户的满意度等级为满意” ．

则 CA1

与 CB1

独立， CA2

与 CB2

独立， CB1

与 CB2

互斥，

C＝CB1CA1∪ CB2CA2

， P(C)＝P(CB1CA1∪CB2CA2)＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2)＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2)．

16由所给数据得 CA1，CA2，CB1，CB2

发生的频率分2016，，

4

，

10，

8

，

2020，，，，20

故 P(CA1)＝，

，A2

)＝

P(CB1)＝

别为

P(C)＝×＋ ×＝0.48.

＝ 20 20 20 20

P(C

10，，

P(C20B2)＝20，

2020101684P(C)历年高考真题

7

19) (本小题满分 12 分)历年高考真题

all~ 试题

8

all~ 试题

如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点 E，F分别在 A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4， 过点 E，F 的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） ；

Ⅱ）求直线 AF 与平面 所成角的正弦值

解： （Ⅰ）交线围成的正方形 EHGF 如图①：

（Ⅱ）作 EM ⊥AB，垂足为 M，则 AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8.

因为 EHGF 为正方形，所以 EH＝EF ＝BC＝10.

于是 MH ＝ EH

2－EM

2＝ 6，所以 AH＝10.

以 D 为坐标原点，的方向为 x 轴正方向，建立如图①所示的空间直角坐标系 D－

xyz，则

A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8），＝ （10，0，0），＝ （0，－ 6，8）．

设 n＝（x，y， z）是平面 EHGF 的一个法向量，

10x＝0

则，即

－6y＋ 8z＝0

所以可取 n＝ （0，4， 3）．

又＝ （－10，4，8），

故|cos〈 n，〉 |＝＝ ，

所以 AF 与平面 EHGF 所成角的正弦值为 . 15

20） （本小题满分 12 分）

45154 5

2 2 2

已知椭圆 C：9x y m （m>0），直线

不过原点 O且不平行于坐标轴，

l与 C有两个交点

lA，B，线段 AB 的中点为 M.

（Ⅰ ） 证明：直线 OM 的斜率与的斜率的乘积为定值；

（,m）

mⅡ）若 l 过点 ，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否平行四边行？若能， 求此时 l 的斜率；若不能，说明理由．3历年高考真题

9

all~ 试题

解： （Ⅰ）设直线 l： y＝kx＋b（k ≠0，b≠0），

A（x

1， y1

）， B（x

2

，y2）， M（x

M，yM）．

2

x12＋x2

将 y＝kx＋b 代入 9x＋y＝m 得（k ＋ 9）x ＋ 2kbx ＋ b－ m＝ 0，故 xM

2

9b

2yM

＝ kxM

＋ b ＝＋9

222222，

k＋9＝－kb，.k

于是直线 OM 的斜率 kOM＝

＝－ ，即 kOM·k＝－ 9. xM

k

所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值．

（Ⅱ ）四边形 OAPB 可以为平行四边形．理由如下：

因为直线 l 过点（

， m），所以 l 不过原点与 C有两个交点的充要条件是

k>0，k≠3.

y9m39

由 （Ⅰ ）得 OM 的方程为 y ＝－ x. 设点 P 的横坐标为 xP.

9

22± km

km

2得 xP

2，2＋81 3 k＋

222＋y＝m

9

将点（

，m）的坐标代入 l 的方程得 b＝（－）

33

k（k－3）m

因此 xM

＝

23（ k＋

四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段

与线段 OP 互相平分，即 xP＝2xM. AB

±km k（ k－3）m

于是＝×2＋9 3（k2＋9），

解得 k1＝4－ 7， k2＝ 4＋ 7.

因为 ki>0，ki≠ 3，i＝ 1，2，所以当 l 的斜率为 4－ 7或 4＋ 7时，四边形

OAPB 为平行四 边形．

9k，＝9k9xmm3k3323 k21） （本小题满分 12 分）

mx 2

设函数

f （x） emx

x2

mx

（Ⅰ）证明： f（x）在（ -∞， 0）单调递减，在（ 0，+∞）单调递增；

（ Ⅱ）若对于任意 x1,，x2∈[-1,1]，都有｜ f（x1）- f（x2）｜≤e-1，求 m的取值范围．

解： （Ⅰ）f ′＝（x）m（emx－1）＋2x.（一般利用导函数正负判断函数单调性）

若 m≥0，则当 x∈（－∞，0）时，emx－1≤0，f ′（x）<0 ；当 x∈（0，＋∞）时，emx－1≥0，f （x）>0.

若m<0，则当 x∈ （－∞， 0）时， e－1>0，f ′ （x）<0 ；当 x∈（0，＋∞）时，emx－1<0，f （x）>0.

所以， f（x）在（－∞， 0）单调递减，在 （0，＋∞ ）单调递增．

mx历年高考真题

10

all~ 试题

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，对任意的 m，f(x)在［－1，0］单调递减，在 ［0， 1］单调递增，故 f(x)在 x＝0 处 取得最小值．所 以对于 任意 x1

， x2

∈ ［ － 1 ， 1］ ， |f(x1)

－ f(x

2)| ≤ e － 1 的充要条件是 f(1)－f(0)≤ e－1 e－m≤e－1

，即

－

m

. ①

mf(－ 1)－ f(0)≤ e－1 e＋ m≤e－1

－m设函数 g(t) ＝et－t－e＋1，则 g′(＝t) et－1.

当 t<0 时，g′(t)<0；当 t>0 时， g′(t)>0故. g(t)在( －∞， 0)单调递减，在 (0，＋∞ )单调递增．

1又 g(1)＝ 0，g(－1)＝e＋2－e<0，

故当 t∈ ［－ 1，1］时， g(t) ≤0.

当 m∈［－1，1］，g(m) ≤0，g(－m)≤0，即①式成立；

当 m>1 时，由 g(t) 的单调性， g(m)>0 ，即 em－ m>e－ 1，不符题意；

m当 m<－1时， g(－m)>0，即 e＋m>e－1，不符题意．

综上， m 的取值范围是 ［－ 1，1］．

－－请考生在 22、 23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清

题号。

(22 )(本小题满分 10 分)选修 4—1：几何证明选讲

如图， O 为等腰三角形 ABC 内一点，圆 O 与△ ABC 的底边 BC 交于 M

、N 两点，与底边

AC 分别相切于 E、F 两点 .

上的高 AD 交于点 G，且与 AB ，

(Ⅰ )证明： EF

∥BC

AE=MN=

(Ⅱ ) 若 AG 等于圆 O 的半径，且

,求四边形

EBCF 的面积 .

解：(Ⅰ)由于△ ABC是等腰三角形， AD⊥BC， 所以 AD是∠ CAB的平分线．

又因为⊙ O分别与 AB，AC相切于 E， F，

所以 AE＝ AF，故 AD⊥ EF.从而 EF∥ BC.

历年高考真题

11

(Ⅱ)由( Ⅰ)知，AE＝AF，AD⊥EF， 故 AD是 EF 的垂直平分线．

历年高考真题

all~ 试题

12

all~ 试题

又 EF为⊙ O 的弦，所以 O在 AD上． 如图连接 OE， OM，则 OE⊥ AE.

由 AG等于⊙ O的半径得 AO＝ 2OE，所以∠ OAE＝ 30° 因此△ ABC和△ AEF都是等边三角形．

因为 AE＝2 3，所以 AO＝ 4，OE＝2.

1

因为 OM＝ OE＝2，DM＝MN＝ 3，所以 OD＝ 1，

210 3

于是

AD＝ 5， AB＝

.

3

所以四边形 EBCF的面积为 × (

)2× －×(2 3)

2× ＝2 3 2 2 2 3

113

3.

23 ）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程

x tcos

在直角坐标系

xOy 中，曲线 C1

：y tsint 为参数， t≠ 0）其中

，在以 O

2 3cos

2sin

为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：

， C3：

（Ⅰ）.求 C2与 C3

交点的直角坐标；

x＝0.

（Ⅱ）.若C1与 C2相交于点 A，C1与C3相交于点 B，求|AB|的最大值 .

联立

坐标方程为 x2＋y2－2 3

2＋y2－ 2y＝0

x解：（Ⅰ）曲线 C2

的直角坐标方程为 x2＋ y2－ 2y＝ 0，曲线 C3

的直角2x＋y2－ 2 3x＝0

.3

＝得

x＝ 0 2

或.

y＝ 0 3

＝2

xy解33

2与C3交点的直角坐标为 （0，0）和（

）．

C22，（Ⅱ）曲线 C1

的极坐标方程为 θ＝ α（ ρ∈ R ，

ρ

≠ 0） ，其中

0≤α<π .

因此 A 的极坐标为 （2sinα，α），B 的极坐标为 （2 3cosα，α），

所以 |AB|＝ |2sinα－ 2 3cosα|＝ 4|sin（α－

）|.

3当 α＝时， |AB|取得最大值，最大值为 4.

56πd24）（本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲 设 a， b， c，d 均为正数，且

，证明：

abcda b c

（Ⅰ） 若> ，则

a b c d

；

历年高考真题

13

all~ 试题

（Ⅱ）

a b c d

是|a b| |c d |

的充要条件 .

解 ：（Ⅰ）因为 （ a＋ b）2＝ a＋b＋2 ab，（ c＋ d）2＝c＋ d＋ 2 cd， 由题22设 a＋ b＝ c＋d， ab> cd 得（ a＋ b）> （ c＋ d）. 因此 a＋ b> c＋ d.

（Ⅱ）（ⅰ）若|a－b|<|c－d|，则 （a－b）

<－，

即 （a＋ b）2－ 4ab< （c ＋ d）2－ 4cd.

因为 a＋b＝ c＋ d，所以 ab>cd.

由 （Ⅰ）得 a＋ b> c＋ d .

（ⅱ ）若 a＋ b> c＋ d， 则 （ a＋ b）2>（ c＋ d）2，

（cd）

即 a＋b＋2 ab>c＋ d＋ 2 cd .

因为 a＋b＝ c＋ d，所以 ab>cd，

于是 （a－ b）2＝ （a＋ b）2－ 4ab< （c ＋ d）

2－因此 |a－ b|< |c－ d|.

综上， a＋ b> c＋ d是|a－b|<|c－ d|的充要条件．

历年高考真题

＝c－ d）2，

14

4cd （