2024年4月10日发(作者：高考数学试卷推荐高中版)
一类具p-Laplace算子和变指数源双曲方程解的爆破
吴秀兰;刘立洁;孙鹏
【摘 要】考虑具p-Laplace算子及变指数源双曲方程初边值问题解的爆破性质.利
用构造能量泛函方法及凸方法,并结合SoboleV嵌入不等式,证明当1＜q-＜
q+≤np-n+p/n-p(p＞2),初始能量为正数且初值适当大时,其解在有限时刻爆
破.%We considered the blow-up properties of solutions of initial boundary
value problems to a class of hyperbolic equations with p-Laplace operator
and variable exponential source and proved the solutions blow-up in finite
time when 1＜q-＜q+ ＜np-n+p/n-p(p82),the initial energy was positive
and initial value was suitably large with the help of energy functional
method,convex method and Sobolev embedding inequalities.
【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》
【年(卷),期】2017(055)005
【总页数】4页(P1177-1180)
【关键词】p-Laplace算子;双曲方程;正初始能量;爆破
【作 者】吴秀兰;刘立洁;孙鹏
【作者单位】吉林师范大学数学学院,吉林四平136000;长春教育学院数学系,长春
130061;吉林大学数学学院,长春130012
【正文语种】中 文
【中图分类】O175.8
考虑如下初边值问题:
其中: u0(x),u1(x)≥0且不恒为0; Ω⊂n(n≥3)为有界区域, 且边界∂Ω光滑. 自然界
中, 源于物理、化学、经济和生物等领域中的许多实际问题都可以用双曲方程模型
刻画. 当p=2, q(x)=q(常数)时, 问题(1)解的爆破问题研究已有很多结果[1-6]. 特别
地, Ball[5]证明了当1
限时刻爆破; 当p=2, q(x)为正数时, 王华等[7]证明了当1 数时, 问题(1)的解在有限时刻爆破. 本文推广文献[7]的结果, 证明当1 本文总假设 q(x)满足对数连续条件： ∀z,ξ∈Ω, |z-ξ|<1, 有 其中ω满足∞. 令由文献[8]中定理3.2.7可知 是Lq(·)(Ω)上的范数, 且Lq(·)(Ω)关于此范数是一个Banach空间. 由定义有 由Sobolev嵌入定理W1,p(Ω)Lq++1(Ω)Lq(·)+1(Ω)以及Poincare不等式, 有 其中B是嵌入常数, 且满足 令 定义能量函数 在式(8)两端关于时间t求导, 并结合方程(1)有 从而E(t)=E(0). 引理1[7] 设函数h: [0,+∞)→, 且h(α)定义如下： 则h(α)具有如下性质: 1) 函数h(α)在区间(0,α1]上递增, h(α)在[α1,+∞)上递减; 2) 当α→+∞时, h(α)→-∞; 3) h(α1)=E1. 其中B1,α1和E1分别在式(6),(7)中定义. 引理2 假设函数u(x,t)是问题(1)的弱解, 如果E(0) α2>α1, 使得 }. 证明: 由于 令α(t)=‖u(·,t)‖则结合不等式(5),(6), 有 根据引理1, 函数h(α)在α≥α1上递减； h(α)→-∞(α→+∞)以及h(α1)=E1. 由于 E(0) 又由α(0)=‖‖, h在α≥α1上递减, 可知α(0)≥α2, 即式(9)成立. 下面证明式(10)成 立. 反证法. 假设存在t0>0, 使得‖‖由‖的连续性, 取t1使得α1<‖‖于是 这与E(t)=E(0)矛盾. 由E(t)的定义式(8)有 引理3[9] 假设函数θ(t)是正的二次连续可导函数, 且满足不等式 其中β>0为常数. 若函数θ(0)>0且θ′(0)>0, 则存在使得θ(t)→+∞(t→T1). 本文主要结果如下： 定理1 假设E(0) 限时刻爆破. 证明: 反证法. 假设问题(1)的解在t∈[0,+∞)上存在. 定义函数 则对所有的t∈[0,+∞), 函数G(t)<+∞, 且有 对式(14)应用Cauchy-Schwarz不等式有 因此 由式(15)知 进一步有 结合式(15)～(17), 有 其中 根据Sobolev嵌入不等式Lq(·)+1(Ω)L2(Ω), 有 进一步有 由已知条件(x)dx>0知G(0)>0, G′(0)>0, 由引理3有使得G(t)→+∞(t→T1), 这与 假设矛盾, 故函数G(t)在有限时刻爆破. 【相关文献】 [1] Ferreira R, Pablo A, de, Pérez-Llanos M, et al. Critical Exponents for a Semilinear Parabolic Equation with Variable Reaction [J]. Proc Roy Soc Edinburgh (Sect A), 2012, 142(5): 1027-1042. [2] Glassey R T. Finite-Time Blow-Up for Solutions of Nonlinear Wave Equations [J]. Math Z, 1981, 177(3): 323-340. [3] John F. Blow-Up for Solutions of Nonlinear Wave Equations in Three Space Dimensions [J]. Manuscripta Math, 1979, 28(1): 235-268. [4] Levine H A. Instability and Nonexistence of Global Solutions to Nonlinear Wave Equations of the Form Putt=Au+F(u) [J]. Trans Amer Math Soc, 1974, 192: 1-21. [5] Ball J M. Remarks on Blow-Up and Nonexistence Theorems for Nonlinear Evolution Equations [J]. Quart J Math Oxford Ser (2), 1977, 28(1/2): 473-486. [6] 孙爱慧, 曹春玲. 具非线性阻尼项和源函数项双曲方程解爆破时间的下界估计 [J]. 吉林大学学报 (理学版), 2014, 52(6): 1227-1229. (SUN Aihui, CAO Chunling. Lower Bound Estimation for the Blow-Up Time of Solutions to a Class of Nonlinear Damped Hyperbolic Equations with Sources [J]. Journal of Jilin University (Science Edition), 2014, 52(6): 1227-1229.) [7] 王华, 贺艺军. 一类具变指数和正能量的半线性双曲方程解的爆破 [J]. 数学物理学报, 2015, 35A(2): 288-293. (WANG Hua, HE Yijun. Blow-Up of Solutions for a Semilinear Hyperbolic Equation with Variable Exponent and Positive Energy [J]. Acta Mathematica Scientia, 2015, 35A(2): 288-293.) [8] Diening L, Harjulehto P, Hästö P, et al. Lebesgue and Sobolev Spaces with Variable Exponents: Lecture Notes in Mathematics: Vol.2017 [M]. Heidelberg: Springer, 2011. [9] Levine H A. Some Nonexistence and Instability Theorems for Solutions of Formally Parabolic Equations of the Form Put=-Au+F(u) [J]. Arch Rational Mech Anal, 1973, 51: 371-386.
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