2023年北京东城区高三二模数学试题卷(含答案)

2024年4月8日发(作者：江淮十校高考数学试卷及答案)

2023北京东城高三二模

数 学

2023.5

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作

答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分

（选择题 共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项。

（1）已知集合

A={xN−1x5}

，

B={0,1,2,3,4,5}

，则

(A)

A

⫋

B

(C)

BA

(B)

A=B

(D)

BA

x

2

y

2

（2）已知椭圆

+=1

的一个焦点的坐标是

(−2,0)

，则实数

m

的值为

3mm

（B）

2

（D）

4

2

1

=0

，

S

n

为其前

n

项和，则

S

5

=

（3）已知数列

{a

n

}

中，

a

1

=1

，

−

a

n

a

n+1

（A）

1

（C）

2

11

31

（A）（B）

16

16

（C）

11

（D）

31

（4）在复平面内，

O

是原点，向量

OZ

对应的复数是

−1+i

，

将

OZ

绕点

O

按逆时针方向旋转



，则所得向量对应的复数为

4

(A)

−2

(B)

−2i

(C)

−1

(D)

−i

（5）已知点

M(1,3)

在圆

C:x

2

+y

2

=m

上，过

M

作圆

C

的切线

l

，则

l

的倾斜角为

（A）

30

（B）

60

（C）

120

（D）

150

（6）某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、

石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有

（A）

13

种（B）

14

种

（C）

15

种 （D）

16

种



2

x

,xa,

（7）设函数

f(x)=



2

若

f(x)

为增函数，则实数

a

的取值范围是



x,xa.

（A）

(0,4]

（B）

[2,4]

（C）

[2,+)

（D）

[4,+)

（8）“

cos



=0

”是“函数

f(x)

=

sin(x

+



)

+

cosx

为偶函数”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（9）已知三条直线

l

1

:x−2y+2=0

，

l

2

:x−2=0

，

l

3

:x+ky=0

将平面分为六个部分，则满足

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条件的

k

的值共有

（A）

1

个 （B）2 个

（C）

3

个 （D）无数个

（10）设

a=e

0.01

,b=1.01,c=ln1.01

，其中

e

为自然对数的底数，则

（A）

abc

（B）

bac

（C）

bca

（D）

acb

第二部分

（非选择题 共110分）

二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分。



（11）已知向量

a,b

满足

a=2,b=1

，

a

与

b

的夹角为，则

ab=

;

a−2b=____

．

3



（12）函数

f(x)=sin(



x+



)(



0,



)

在一个周期内的部分取值如下表：

2

x

57



−

41212

1212

f(x)

a

1

a

−a

−1

则

f(x)

的最小正周期为 ；

a=

_______．

（13）若

{x|0x1}{x|x

2

−2x+m0}=

，则实数

m

的一个取值

为__________.

（14）如图，在正方体

ABCD−A

1

B

1

C

1

D

1

中，

E

是

A

1

B

1

的中点，

平面

ACE

将正方体分成体积分别为

V

1

，

V

2

(

V

1

V

2

) 的两部

V

分，则

1

=

.

V

2

（15）定义在区间

[1,+)

上的函数

f(x)

的图象是一条连续不断的曲

线，

f(x)

在区间

[2k−1,2k]

上单调递增，在区间

[2k,2k+1]

上单调递减，

k=1,2,

出下列四个结论：

① 若

{f(2k)}

为递增数列，则

f(x)

存在最大值；

② 若

{f(2k+1)}

为递增数列，则

f(x)

存在最小值；

③ 若

f(2k)f(2k+1)0

，且

f(2k)+f(2k+1)

存在最小值，则

f(x)

存在最小值；

④ 若

f(2k)f(2k+1)0

，且

f(2k)−f(2k+1)

存在最大值，则

f(x)

存在最大值.

其中所有错误结论的序号有_______．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）

在△

ABC

中，

bsinA−acos

.

给

B

=0

.

2

（Ⅰ）求

B

；

（Ⅱ）若

b=3

，再从条件 ①、条件 ②、条件 ③这三个条件中选择一个作为已知，使△

ABC

存在且唯一确定，求

a

及△

ABC

的面积.

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条件 ①：

sinA+sinC=2sinB

；

条件 ②：

c=3

；

条件 ③：

ac=10

.

注：如果选择的条件不符合要求，第（

Ⅱ

）问得

0

分；如果选择多个符合要求的条件分别

解答，按第一个解答计分．

（17）（本小题14分）

如图，直角三角形

ABC

和等边三角形

ABD

所在平

面互相垂直，

AB=AC=2

，

E

是线段

AD

上一点.

（Ⅰ）设

E

为

AD

的中点，求证：

BE⊥CD

；

（Ⅱ）若直线

CD

和平面

BCE

所成角的正弦值为

求

10

，

10

AE

的值.

AD

（18）（本小题13分）

某数学学习小组的7名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次

考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100分）：

学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6 学生7

82 89 78 92 92 65 81

第一次

83 90 75 95 93 61 76

第二次

（Ⅰ）从数学学习小组7名学生中随机选取1名，求该名学生第二次考试成绩高于第一次考试

成绩的概率；

（Ⅱ）设

x

i

(i=1,2,,7)

表示第

i

名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差．从数学学习小

组7名学生中随机选取2名，得到数据

x

i

,x

j

(1

≤

i,j

≤

7,ij)

，定义随机变量

X

，

Y

如下：



0,





0,0

≤

|x

i

−x

j

|3,



1,







X=



1,3

≤

|x

i

−x

j

|6,

Y=







2,

2,|x−x|6，

≥



ij









3,

0

≤

x

i

−x

j

＜2,

4

≤

x

i

−x

j

＜6,

x

i

−x

j

≥

6.

2

≤

x

i

−x

j

＜

4,

（i）求

X

的分布列和数学期望

EX

；

（ii）设随机变量

X

，

Y

的的方差分别为

DX

，

DY

，

试比较

DX

与

DY

的大小．（结论不要求证

明）

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（19）（本小题15分）

已知焦点为

F

的抛物线

C:y

2

=2px(p0)

经过点

M(1,2)

．

（Ⅰ）设

O

为坐标原点，求抛物线

C

的准线方程及△

OFM

的面积；

（Ⅱ）设斜率为

k(k0)

的直线

l

与抛物线

C

交于不同的两点

A,B

，若以

AB

为直径的圆与抛

物线

C

的准线相切，求证：直线

l

过定点，并求出该定点的坐标．

（20）（本小题15分）

已知函数

f(x)=e

x

sinx−2x

.

（Ⅰ）求曲线

y=f

(

x

)

在点

(0,f(0))

处的切线方程；

（Ⅱ）求

f

(

x

)

在区间

[−1,1]

上的最大值；

（Ⅲ）设实数

a

使得

f

(

x

)

+xae

x

对

xR

恒成立，写出

a

的最大整数值，并说明理由.

（21）（本小题15分）

已知有穷数列

A:a

1

，a

2

，，a

n

(n3)

中的每一项都是不大于

n

的正整数.对于满足

1mn

的

整数

m

，令集合

A(m)={ka

k

=m，k=1，

.记集合

A(m)

中元素的个数为

s(m)

(约定空集的

2，，n}

元素个数为0).

32，5，，37，5，5

，求

A(5)

及

s(5)

； （Ⅰ）若

A:6，，

（Ⅱ）若

11

++

s(a

1

)s(a

2

)

+

1

=n

，求证：

a

1

,a

2

,

s(a

n

)

,a

n

互不相同；

（Ⅲ）已知

a

1

=a,a

2

=b

，若对任意的正整数

i，j(ij，i+jn)

都有

i+jA(a

i

)

或

i+jA(a

j

)

，

求

a

1

+a

2

++a

n

的值.

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参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

（1）A （2）C （3）B （4）A （5）D

（6）C （7）B （8）C （9）C （10）A

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

12

1



2

7

17

（13）

m=0

(答案不唯一) （14）

（15）① ③ ④

三、解答题（共6小题，共85分）

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）由正弦定理得

bsinA=asinB

，由题设得

asinB−

acos

2asin

B

=0

，

2

BBB

cos

−acos=0

222

BB

acos

0.

0



222

B1

sin=

.

22



B

=

,

B=

. ………………6

326

sinA+sinC=2sinB.



sinA+sinC=2sinB.

b=3,B=

3

a+c=

2b=6

，由余弦定理得

9=a

2

+c

2

−ac=(a+c)

2

−3ac

， 由正弦定理得

解得

ac=9

.

所以

S

△ABC

=

由



选条件②：

c=

193

ac

sin

B=

．

24



ac=9,

解得

a=3

. ………13分



a+c=6,

3

．

c1

已知

B=



,b=3,c=3,

由正弦定理得

sinC=sinB=

，

b2

3

因为

cb

，

C=



A=

a=b

2

+c

2

=23.

62

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