2024年4月13日发(作者：2022德州中考数学试卷头条)

高二数学双曲线知识点及经典例题分析

1. 双曲线第一定义：

平面内与两个定点F

1

、F

2

的距离差的绝对值是常数（小于|F

1

F

2

|）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点

叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F

1

F

2

|叫焦距。

2. 双曲线的第二定义：

平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e（e>1）的点的轨迹叫双曲线。定点叫

双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e叫双曲线的离心率。

3. 双曲线的标准方程：

x

2

y

2

（1）焦点在x轴上的：

2

2

1(a0，b0)

ab

y

2

x

2

（2）焦点在y轴上的：

2

2

1(a0，b0)

ab

（3）当a＝b时，x

2

－y

2

＝a

2

或y

2

－x

2

＝a

2

叫等轴双曲线。

注：c

2

＝a

2

＋b

2

4. 双曲线的几何性质：

x

2

y

2

（1）焦点在x轴上的双曲线

2

2

1(a0，b0)的几何性质：

ab

y

F

1

A

1

O

A

2

F

2

x

1范围：xa，或xa

<2>对称性：图形关于x轴、y轴，原点都对称。

<3>顶点：A

1

（-a，0），A

2

（a，0）

线段A

1

A

2

叫双曲线的实轴，且|A

1

A

2

|＝2a； 线段B

1

B

2

叫双曲线的虚轴，且|B

1

B

2

|＝2b。

c

4离心率：e(e1)

e越大，双曲线的开口就越开阔。

a

b

5渐近线：y=x

a

a

2

6准线方程：x

c

5．若双曲线的渐近线方程为：

y

b

x

a

x

2

y

2

则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：

2

2

(

0)

ab

【典型例题】

例

1. 选择题。

x

2

y

2

1表示双曲线，则m的取值范围是（

1.若方程

2mm1

）

A.2m1B.m2或m1

C.m2且m1

）

D.mR

0时，方程ax

2

by

2

c表示双曲线的是（

A. 必要但不充分条件

C. 充分必要条件

B. 充分但不必要条件

D. 既不充分也不必要条件

）

y

2

sin

cos

表示的曲线是（

3.设

是第二象限角，方程x

2

sin

A. 焦点在x轴上的椭圆

C. 焦点在y轴上的双曲线

B. 焦点在y轴上的椭圆

D. 焦点在x轴上的双曲线

x

2

y

2

1上有一点P，F

1

、F

2

是双曲线的焦点，且F

1

PF

2

，

4.双曲线

1693

则△F

1

PF

2

的面积为（ ）

A.9

9

例

2.

已知：双曲线经过两点P

1

3，42，P

2

，5

，求双曲线的标准方程

4

B.63C.33D.93



例

3. 已知B（-5，0），C（5，0）是△ABC的两个顶点，且

3

sinBsinCsinA

，求顶点A的轨迹方程。

5


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