2024年3月15日发(作者：美国人数学试卷)

专题32函数与几何综合问题(25题)

一、填空题

在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为

-8，6

，过点B分

1

(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，

别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线y=-2x-6与AB交于点D．与y轴交于点E．动点

M在线段BC上，动点N在直线y=-2x-6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点

M的坐标为

1

直线y=-

x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线

2

(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，

3

4

段AB上一动点，点H是直线y=-

x+2上的一动点，动点E

m，0

，F

m+3，0

，连接BE，DF，HD．

3

当BE+DF取最小值时，3BH+5DH的最小值是．

1

的图像与x轴交于点A、B，

2

与y轴交于点C，过点M

3，1

的直线将△ABC分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则a

3

(2023·江苏无锡·统考中考真题)二次函数y=a(x-1)(x-5)

a>

．的值为

二、解答题

在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B，C在x轴上，

4

(2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题)如图，

D在y轴上，OB，OC的长是方程x

2

-6x+8=0的两个根(OB>OC)．请解答下列问题：

1

(1)求点B的坐标；

(2)若OD:OC=2:1，直线y=-x+b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交

DC延长线于点N，求tan∠MND的值；

(3)在(2)的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形？若存

在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

点A，B，C在⊙O上运动，满足AB

2

=BC

2

+AC

2

，延长AC至点

5

(2023·湖南·统考中考真题)如图，

D，使得∠DBC=∠CAB，点E是弦AC上一动点(不与点A，C重合)，过点E作弦AB的垂线，交AB于点

F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M(点M在劣弧AC

上)．

(1)BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；

(2)记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S

1

，S

2

，S，若S

1

⋅S=

S

2

2

，求

tanD

2

的值；

(3)若⊙O的半径为1，设FM=x，FE⋅FN⋅

写出自变量x的取值范围．

若关于x的二次函数y

1

=a

1

x

2

+b

1

x+c

1

与y

2

=a

2

x

2

+b

2

x+c

2

同

6

(2023·湖南·统考中考真题)我们约定：

2023

时满足a

2

-c

1

+(b

2

+b

1

)

2

+

c

2

-a

1

=0，b

1

-b

2

≠0，则称函数y

1

与函数y

2

互为“美美与共”函数．根据该约

11

+=y，试求y关于x的函数解析式，并

BC⋅BN

AE⋅AC

定，解答下列问题：

(1)若关于x的二次函数y

1

=2x

2

+kx+3与y

2

=mx

2

+x+n互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；

(2)对于任意非零实数r，s，点P

r，t

与点Q

s，t

r≠s

始终在关于x的函数y

1

=x

2

+2rx+s的图像上

运动，函数y

1

与y

2

互为“美美与共”函数．

①求函数y

2

的图像的对称轴；

②函数y

2

的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；

(3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数y

1

=ax

2

+bx+c与它的“美美与共”函数y

2

的图像顶点

分别为点A，点B，函数y

1

的图像与x轴交于不同两点C，D，函数y

2

的图像与x轴交于不同两点E，F．当

CD=EF时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请

2

说明理由．

四边形ABCD是边长为4的菱形，∠A=60°，点Q为CD的中

7

(2023·江苏无锡·统考中考真题)如图，

点，P为线段AB上的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PB

C

Q．

(1)当∠QPB=45°时，求四边形BB

C

C的面积；

(2)当点P在线段AB上移动时，设BP=x，四边形BB

C

C的面积为S，求S关于x的函数表达式．

在平而直角坐标系中，二次函数y=-3x

2

+23x的图象与x

8

(2023·江苏徐州·统考中考真题)如图，

轴分别交于点O,A，顶点为B．连接OB,AB，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC，连

接BC．点D,E分别在线段OB,BC上，连接AD,DE,EA,DE与AB交于点F,∠DEA=60°．

(1)求点A,B的坐标；

(2)随着点E在线段BC上运动．

①∠EDA的大小是否发生变化？请说明理由；

②线段BF的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；

(3)当线段DE的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，△BDE的面积为．

在平面直角坐标系中，抛物线y=-x

2

+3x+1交y轴于点A，直

9

(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，

1

线y=-

x+2交抛物线于B,C两点(点B在点C的左侧)，交y轴于点D，交x轴于点E．

3

(1)求点D,E,C的坐标；

(2)F是线段OE上一点

OF

，连接AF,DF,CF，且AF

2

+EF

2

=21．

3

①求证：△DFC是直角三角形；

②∠DFC的平分线FK交线段DC于点K,P是直线BC上方抛物线上一动点，当3tan∠PFK=1时，求点

P的坐标．

在正方形ABCD中，AB=4cm，点O是对角线AC的中点，动点

10

(2023·吉林·统考中考真题)如图，

P，Q分别从点A，B同时出发，点P以1cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动，点Q以2cm/s的速度沿

折线BC-CD向终点D匀速运动．连接PO并延长交边CD于点M，连接QO并延长交折线DA-AB于

点N，连接PQ，QM，MN，NP，得到四边形PQMN．设点P的运动时间为x(s)(0

PQMN的面积为y(cm

2

)

　　

(1)BP的长为cm，CM的长为

cm．(用含x的代数式表示)

(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

(3)当四边形PQMN是轴对称图形时，直接写出x的值．

11

(2023·广东·统考中考真题)综合运用

如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，如图2，将正方形OABC绕点O

逆时针旋转，旋转角为α

0°<α<45°

，AB交直线y=x于点E，BC交y轴于点F．

(1)当旋转角∠COF为多少度时，OE=OF；(直接写出结果，不要求写解答过程)

(2)若点A(4,3)，求FC的长；

(3)如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y=x于点N，连接FN，将△OFN与△OCF的面积分别记为

S

1

与S

2

，设S=S

1

-S

2

，AN=n，求S关于n的函数表达式．

1

与y轴交

12

(2023·湖北黄冈·统考中考真题)已知抛物线y=-

x

2

+bx+c与x轴交于A,B(4,0)两点，

2

于点C(0,2)，点P为第一象限抛物线上的点，连接CA,CB,PB,PC．

4

(1)直接写出结果；b=，c=，点A的坐标为

(2)如图1，当∠PCB=2∠OCA时，求点P的坐标；

，tan∠ABC=；

(3)如图2，点D在y轴负半轴上，OD=OB，点Q为抛物线上一点，∠QBD=90°，点E，F分别为△BDQ

的边DQ,DB上的动点，QE=DF，记BE+QF的最小值为m．

①求m的值；

②设△PCB的面积为S，若S=

1

2

m-k，请直接写出k的取值范围．

4

已知A(0,2),B(2,0)．点E位于第二象限且在直线y=-2x

13

(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，

上，∠EOD=90°，OD=OE，连接AB，DE，AE，DB．

(1)直接判断△AOB的形状：△AOB是

(2)求证：△AOE≌△BOD；

(3)直线EA交x轴于点C(t,0),t>2．将经过B，C两点的抛物线y

1

=ax

2

+bx-4向左平移2个单位，得到

抛物线y

2

．

①若直线EA与抛物线y

1

有唯一交点，求t的值；

②若抛物线y

2

的顶点P在直线EA上，求t的值；

2

③将抛物线y

2

再向下平移，个单位，得到抛物线y

3

．若点D在抛物线y

3

上，求点D的坐标．

(t-1)

2

在平面直角坐标系中，菱形OABC的一边OC在x轴正半轴

14

(2023·山东滨州·统考中考真题)如图，

上，顶点A的坐标为

2,23

，点D是边OC上的动点，过点D作DE⊥OB交边OA于点E，作DF∥OB

交边BC于点F，连接EF．设OD=x,△DEF的面积为S．

三角形；

5

(1)求S关于x的函数解析式；

(2)当x取何值时，S的值最大？请求出最大值．

O为原点，菱形ABCD的顶点A(3,0),B(0,1),

15

(2023·天津·统考中考真题)在平面直角坐标系中，

113

D(23,1)，矩形EFGH的顶点E

0,

,F

-3,

,H

0,

．

222

(1)填空：如图①，点C的坐标为，点G的坐标为；

(2)将矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形E

F

G

H

，点E，F，G，H的对应点分别为E

，F

，G

，

H

．设EE

=t，矩形E

F

G

H

与菱形ABCD重叠部分的面积为S．

①如图②，当边E

F

与AB相交于点M、边G

H

与BC相交于点N，且矩形E

F

G

H

与菱形ABCD重叠

部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围：

23113

②当

≤t≤

时，求S的取值范围(直接写出结果即可)．

34

AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆

16

(2023·浙江温州·统考中考真题)如图1，

3

于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知OA=，AC=1．如图2，连接AF，P为线

2

段AF上一点，过点P作BC的平行线分别交CE，BE于点M，N，过点P作PH⊥AB于点H．设PH=

x，MN=y．

(1)求CE的长和y关于x的函数表达式．

(2)当PH

15

(3)延长PN交半圆O于点Q，当NQ=x-3时，求MN的长．

4

6


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