2023年12月9日发(作者：12全国卷数学试卷)

第３章 函数与导数xex是偶函数，则a=(1(2023•乙卷)已知f(x)=axe-1A.-2B.-1C.1)D.2xex【解析】：∵f(x)=ax的定义域为{x|x≠0}，又f(x)为偶函数，e-1xex-xe-x∴f(-x)=f(x)，∴-ax=ax，e-1e-1xexxeax-x=ax，∴ax-x=x，∴a=2．∴axe-1e-1故选：D．2x-1为偶函数，则a=()2x+11A.-1B.0C.D.122x-111【解析】：由>0，得x>或x<-，2x+122由f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x)，-2x-12x-1=(x+a)ln，得(-x+a)ln-2x+12x+12x+12x-1-12x-12x-1即(-x+a)ln=(-x+a)ln==，(x-a)ln(x+a)ln2x-12x+12x+12x+1∴x-a=x+a，得-a=a，得a=0．2(2023•新高考Ⅱ)若f(x)=(x+a)ln故选：B．3(2023•上海)下列函数是偶函数的是(A.y=sinxB.y=cosx)C.y=x3D.y=2x【解析】：对于A，由正弦函数的性质可知，y=sinx为奇函数；对于B，由正弦函数的性质可知，y=cosx为偶函数；对于C，由幂函数的性质可知，y=x3为奇函数；对于D，由指数函数的性质可知，y=2x为非奇非偶函数．故选：B．π为偶函数，．则a=2π【解析】：根据题意，设f(x)=(x-1)2+ax+sinx+=x2-2x+ax+1+cosx，2若f(x)为偶函数，则f(-x)=x2+2x-ax+1+cosx=x2-2x+ax+1+cosx=f(x)，4(2023•甲卷)若f(x)=(x-1)2+ax+sinx+变形可得(a-2)x=0在R上恒成立，必有a=2．故答案为：2．π为偶函数，．则a=2π【解析】：根据题意，设f(x)=(x-1)2+ax+sinx+=x2-2x+ax+1+cosx，2其定义域为R，5(2023•甲卷)若y=(x-1)2+ax+sinx+若f(x)为偶函数，则f(-x)=x2+2x-ax+1+cosx=x2-2x+ax+1+cosx=f(x)，变形可得(a-2)x=0，必有a=2．故答案为：2．第６／４３页6(2023•上海)已知函数f(x)=1，x≤0，则函数f(x)的值域为，2x，x>0．【解析】：当x≤0时，f(x)=1，当x>0时，f(x)=2x>1，所以函数f(x)的值域为[1，+∞)．故答案为：[1，+∞)．f(x+4)=f(x)，f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=6，f(-3)=7(2023•全国)f(x)为R上奇函数，．【解析】：f(x+4)=f(x)，则函数f(x)的周期为4，f(x)为R上奇函数，f(0)=f(4)=0，令x=-2，则f(-2+4)=f(2)=f(-2)=-f(2)，解得f(2)=0，令x=-3，则f(1)=f(-3)=-f(3)，f(1)=f(5)=f(-3)，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=-f(3)+f(2)+f(3)+f(4)+f(-3)=f(-3)=6．故答案为：6．则f(x)在区间8(2023•全国)已知函数f(x)=2x+2-x，-【解析】：∵f(x)=2x+2-x，∴f′(x)=2xln2-2-xln2=ln2(2x-2-x)，令f′(x)=0，则x=0，11∴f(x)在0单调递减，在0，单调递增，-2，2132132∴f-=，f(0)=2，f=，22223211则f(x)在区间-2，2的最大值为2．32故答案为：．2则a的取值范围是(9(2023•乙卷)函数f(x)=x3+ax+2存在3个零点，A.(-∞，-2)B.(-∞，-3)C.(-4，-1))11，的最大值为　　．22D.(-3，0)【解析】：f′(x)=3x2+a，若函数f(x)=x3+ax+2存在3个零点，则f′(x)=3x2+a=0，有两个不同的根，且极大值大于0极小值小于0，即判别式Δ=0-12a>0，得a<0，-a或x<--a，此时f(x)单调递增，33由f′(x)<0得--a0，33aa即--a-+a+2>0，且-a-+a+2<0，33332a2a+2>0，+2<0，即--a×①，且-a×②，33332a2a+2<0，2<--a×，则①恒成立，由-a×33334a2a平方得4<-×，即a3<-27，则a<-3，综上a<-3，39即实数a的取值范围是(-∞，-3)．由f′(x)>0得x>故选：B．第７／４３页10(2023•甲卷)函数y=f(x)的图象由y=cos2x+=f(x)的图象与直线y=A.1【解析】：y=cos2x+11x-的交点个数为(22B.2C.3)ππ的图象向左平移个单位长度得到，则y66D.4πππ的图象向左平移个单位长度得到f(x)=cos2x+=-sin2x，626在同一个坐标系中画出两个函数的图象，如图：11y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为：3．22故选：C．且x>0，则x=(11(2023•全国)若log2(x2+2x+1)=4，A.2B.3C.4【解析】：∵log2(x2+2x+1)=4，∴x2+2x+1=16，且x>0，解得x=3．故选：B．)D.5则a的取值范围为12(2023•天津)若函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点，．【解析】：①当a=0时，f(x)=-2x-|x2+1|=-2x-x2-1，不满足题意；②当方程x2-ax+1=0满足a≠0且△≤0时，有a2-4≤0即a∈[-2，0)∪(0，2]，此时，f(x)=(a-1)x2+(a-2)x-1，当a=1时，不满足，当a≠1时，Δ=(a-2)2+4(a-1)=a2>0，满足；③Δ>0时，a∈(-∞，-2)∪(2，+∞)，记x2-ax+1的两根为m，n，不妨设m0，但此时x2舍去x3，3-ax3+1=(a-1)2当a>2时，x1=故仅有1与-1两个解，于是，a∈(-∞，0)∪(0，1)∪(1，+∞)．故答案为：(-∞，0)∪(0，1)∪(1，+∞)．第８／４３页且g(x)=13(2023•上海)已知函数f(x)=2-x+1，．f(-x)，x<0log2(x+1)，x≥0，则方程g(x)=2的解为【解析】：当x≥0时，g(x)=2⇔log2(x+1)=2，解得x=3；当x<0时，g(x)=f(-x)=2x+1=2，解得x=0(舍)；所以g(x)=2的解为：x=3．故答案为：x=3．定义声14(多选)(2023•新高考Ⅰ)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，p压级Lp=20×lg，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：p0声源燃油汽车混合动力汽车电动汽车与声源的距离/m101010声压级/dB60~9050~6040)已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(A.p1≥p2B.p2>10p3C.p3=100p0D.p1≤100p29p11000p0≤p1≤102p0，【解析】：由题意得，60≤20lg≤90，p05p2p350≤20lg≤60，102p0≤p2≤1000p0，20lg=40，p3=100p0，可得p1≥p2，A正确；p0p0p2≤10p3=1000p0，B错误；p3=100p0，C正确；p1≤10p0=100×10p0≤100p2，p1≤100p2，D正确．故选：ACD．15(2023•甲卷)已知函数f(x)=eA.b>c>aB.b>a>c-(x-1)29252．记a=f236，b=f，c=f，则(222D.c>a>b)C.c>b>a【解析】：令g(x)=-(x-1)2，则g(x)的开口向下，对称轴为x=1，36+346-1-1-=-，∵2222而(6+3)2-42=9+62-16=62-7>0，36+3-4636-1-1-=>0，∴-1>1-，∴2222263∴由一元二次函数的性质可知gg2，222263x综合可得gc>a．故选：A．第９／４３页eex在点1，处的切线方程为(16(2023•甲卷)曲线y=x+12A.y=ex4B.y=ex2C.y=eex+44)D.y=3eex+24ex【解析】：，因为y=x+1ex(x+1)-ex(x+1)\'xexy′==，(x+1)2(x+1)2ee故函数在点1，处的切线斜率k=，42eeee切线方程为y-=(x-1)，即y=x+．2444故选：C．2)上单调递增，则a的最小值为(17(2023•新高考Ⅱ)已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1，A.e2B.e1，xC.e-1D.e-2)【解析】：对函数f(x)求导可得，f\'(x)=aex-依题意，aex-即a≥1≥0在(1，2)上恒成立，x1在(1，2)上恒成立，xex-(ex+xex)ex(x+1)1设g(x)=x，2)，则g\'(x)=x∈(1，=-，xe(xex)2(xex)22)时，g′(x)<0，则函数g(x)在(1，2)上单调递减，易知当x∈(1，1则a≥g(x)max=g(1)==e-1．e故选：C．则b=(18(2023•全国)已知函数f(x)=x3+ax2+x+b在x=1处取得极小值1，A.-1B.0C.1D.2)【解析】：f(x)=x3+ax2+x+b，则f\'(x)=3x2+2ax+1，∵函数f(x)=x3+ax2+x+b在x=1处取得极小值1，1+a+1+b=1a=-2，∴解得3+2a+1=0b=1，故f(x)=x3-2x2+x+1，f\'(x)=3x2-4x+1，1令f\'(x)=0，解得x=或x=1，3111上单调递减，f(x)在-∞，，在(1，+∞)上单调递增，在，33故f(x)在x=1处取得极小值，故b=1，符合题意．故选：C．1)处切线方程为19(2023•全国)曲线y=2lnx+x2在(1，2x>0，【解析】：由y=2lnx+x2可得y′=+2x，x曲线在点(1，1)处的切线斜率为k=4，所以所求切线方程为y-1=4(x-1)即y=4x-3．故答案为：y=4x-3．．第１０／４３页1)，若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0，+∞)上单调递增，则a的取值范围是20(2023•乙卷)设a∈(0，　　．【解析】：∵函数f(x)=ax+(1+a)x在(0，+∞)上单调递增，∴f′(x)=axlna+(1+a)xln(1+a)≥0在(0，+∞)上恒成立，1+axlna≥-在(0，+∞)上恒成立，即(1+a)xln(1+a)≥-axlna，化简可得aln(1+a)1+ax>1，而在(0，+∞)上alna1故有1≥-，由a∈(0，1)，化简可得ln(1+a)≥ln，aln(1+a)12即1+a≥，a+a-1≥0，a5-1解答≤a<1，25-1故a的取值范围是，1．25-1故答案为：，1．221(多选)(2023•新高考Ⅱ)若函数f(x)=alnx+()>0C.b2+8ac><0cb+2(a≠0)既有极大值也有极小值，则>0【解析】：函数定义域为(0，+∞)，ab2cax2-bx-2c，且f′(x)=-2-3=xxxx3由题意，方程f′(x)=0即ax2-bx-2c=0有两个正根，设为x1，x2，b-2c则有x1+x2=>0，x1x2=>0，Δ=b2+8ac>0，aa∴ab>0，ac<0，∴ab•ac=a2bc<0，即bc<0．故选：BCD．第１１／４３页


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