2024年4月7日发(作者：做数学试卷的规律)

2020

年普通高等学校招生全国统一考试

数学

一、精心选择题：（本题共

10

小题，每小题6分，共

60

分）

1.

已知集合

A{x|x

2

3x40},B{4,1,3,5}，

则

A

A.

{4,1}

C.

{3,5}

【答案】

D

【解析】

【分析】

首先解一元二次不等式求得集合

A

，之后利用交集中元素的特征求得

A

【详解】由

x

2

3x40

解得

1x4

，

所以

A

x|1x4

，

又因为

B

4,1,3,5

，所以

A

故选：

D.

【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交

运算，属于基础题目

.

2.

若

z12ii

3

，则

|z|=

（

）

A. 0

C.

B. 1

B

（

）

B.

{1,5}

D.

{1,3}

B

，得到结果

.

B

1,3

，

2

D. 2

【答案】

C

【解析】

【分析】

先根据

i

2

1

将

z

化简，再根据向量的模的计算公式即可求出．

【详解】因为

z1+2ii

3

1+2ii1i

，所以

z1

2

1

2

故选：

C

．

【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题．

3.

埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方

2

．

形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为

（

）

A.

51

4

B.

51

2

C.

51

4

D.

51

2

【答案】

C

【解析】

【分析】

设

CDa,PEb

，利用

PO

2

1

CDPE

得到关于

a,b

的方程，解方程即可得到答案

.

2

2

222

a

， 【详解】如图，设

CDa,PEb

，则

POPEOEb

4

1b

2

b

a

2

1

2

由题意

POab

，即

bab

，化简得

4()210

，

2aa

42

2

解得

b15

（负值舍去）

.

a4

故选：

C.

【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.

4.

设

O

为正方形

ABCD

的中心，在

O

，

A

，

B

，

C

，

D

中任取

3

点，则取到的

3

点共线的概率为（

）

A.

C.

1

5

1

2

2

5

4

D.

5

B.

【答案】

A

【解析】

【分析】

列出从

5

个点选

3

个点的所有情况，再列出

3

点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可

.

【详解】如图，从

O,A,B,C,D

5

个点中任取

3

个有

{O,A,B},{O,A,C},{O,A,D},{O,B,C}

{O,B,D},{O,C,D},{A,B,C},{A,B,D}

{A,C,D},{B,C,D}

共

10

种不同取法，

3

点共线只有

{A,O,C}

与

{B,O,D}

共

2

种情况，

由古典概型的概率计算公式知，

取到

3

点共线的概率为

故选：

A

21

.

105

【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.

5.

某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率

y

和温度

x

（单位：

°C

）的关系，在

20

个不同的温度条

件下进行种子发芽实验，由实验数据

(x

i

,y

i

)(i1,2,,20)

得到下面的散点图：

C

至

40°C

之间，由此散点图，在

10°

下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率

y

和温度

x

的回归方程类型

的是（

）

A.

yabx

C.

yabe

x

【答案】

D

【解析】

【分析】

根据散点图的分布可选择合适的函数模型

.

【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，

因此，最适合作为发芽率

y

和温度

x

的回归方程类型的是

yablnx

.

故选：

D.

【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题

.

6.

已知圆

x

2

y

2

6x0

，过点（

1

，

2

）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（

）

A. 1

C. 3

【答案】

B

【解析】

【分析】

当直线和圆心与点

(1,2)

的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论

.

【详解】圆

x

2

y

2

6x0

化为

(x3)

2

y

2

9

，所以圆心

C

坐标为

C(3,0)

，半径为

3

，

设

P(1,2)

，当过点

P

的直线和直线

CP

垂直时，圆心到过点

P

的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时

B. 2

D. 4

2

B.

yabx

D.

yablnx

|CP|(31)

2

(2)

2

22

根据弦长公式得最小值为

29|CP|

2

2982

.

故选：

B.

【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.

7.

设函数

f(x)cos(

x)

在

[π,π]

的图像大致如下图，则

f(x)

的最小正周期为（

）

π

6

10π

9

4π

C.

3

A.

【答案】

C

【解析】

【分析】

7π

6

3π

D.

2

B.



4



4

4

,0cos

0,0

是函数

f

x

图象由图可得：函数图象过点

，结合

，即可得到



6



9



9

9

与

x

轴负半轴的第一个交点即可得到

得解.

4



3



，即可求得

，再利用三角函数周期公式即可

2962

4

,0

， 【详解】由图可得：函数图象过点

9

将它代入函数

f

x

可得：

cos



4

0

6



9

4

,0

是函数

f

x

图象与

x

轴负半轴的第一个交点， 又

9

所以

4



3



，解得：

2962

最小正周期为所以函数

f

x

故选：

C

T

2

2

4

3

3

2

【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.

8.

设

alog

3

42

，则

4

a

（

）

A.

1

16

【答案】

B

【解析】

【分析】

根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解

a

【详解】由

alog

3

42

可得

log

3

42

，所以

4

a

9

，

所以有

4

a

1

，

9

故选：

B.

【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，

属于基础题目

.

9.

执行下面的程序框图，则输出的

n=

（

）

的

B.

1

9

C.

1

8

D.

1

6

A. 17

【答案】

C

【解析】

B. 19 C. 21 D. 23

【分析】

根据程序框图的算法功能可知，要计算满足

135

式即可求出．

【详解】依据程序框图的算法功能可知，输出的

n

是满足

135

n100

的最小正奇数

n

，根据等差数列求和公

n100

的最小正奇数，

因为

1n

135n

n1

1

2



1

n1

2

100

，解得

n19

，



24

所以输出的

n21

．

故选：

C.

【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前

n

项和公式的应用，属于基础题．

10.

设

{a

n

}

是等比数列，且

a

1

a

2

a

3

1

，

a

2

a

3

+a

4

2

，则

a

6

a

7

a

8

（

）

A. 12

【答案】

D

【解析】

【分析】

根据已知条件求得

q

的值，再由

a

6

a

7

a

8

q

5

B. 24 C. 30 D. 32

a

1

a

2

a

3

可求得结果

.

【详解】设等比数列

a

n

的公比为

q

，则

a

1

a

2

a

3

a

1

1qq

2

1

，

a

2

a

3

a

4

a

1

qa

1

q

2

a

1

q

3

a

1

q

1qq

2

q2

，

因此，

a

6

a

7

a

8

a

1

qa

1

qa

1

qa

1

q1qq

故选：

D.

【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．

5675

2

q

5

32

.

二、填空题：本题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分

.

2xy20,

11.

若

x

，

y

满足约束条件

xy10,

则

z=x+7y

的最大值为

______________.

y10,

【答案】

1

【解析】

【分析】

首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值

.

【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数

zx7y

即：

y

11

xz

，

77

其中

z

取得最大值时，其几何意义表示直线系在

y

轴上的截距最大，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点

A

处取得最大值，

联立直线方程：

2xy20

，可得点

A

的坐标为：

A1,0

，

xy10

据此可知目标函数的最大值为：

z

max

1701

.

故答案：

1

．

【点睛】求线性目标函数

z

＝

ax

＋

by(ab≠0)

的最值，当

b

＞

0

时，直线过可行域且在

y

轴上截距最大时，

z

值

最大，在

y

轴截距最小时，

z

值最小；当

b

＜

0

时，直线过可行域且在

y

轴上截距最大时，

z

值最小，在

y

轴

上截距最小时，

z

值最大

.

12.

设向量

a(1,1),b(m1,2m4)

，若

ab

，则

m

______________.

【答案】

5

【解析】

【分析】

根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果

.

【详解】由

ab

可得

ab0

，

又因为

a(1,1),b(m1,2m4)

，

所以

ab1(m1)(1)(2m4)0

，

即

m5

，

故答案：

5.

【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目

.

13.

曲线

ylnxx1

的一条切线的斜率为

2

，则该切线的方程为

______________.

【答案】

y2x

【解析】

【分析】

设切线的切点坐标为

(x

0

,y

0

)

，对函数求导，利用

y|

x

0

2

，求出

x

0

，代入曲线方程求出

y

0

，得到切线的

点斜式方程，化简即可

.

【详解】设切线的切点坐标为

(x

0

,y

0

),ylnxx1,y

1

1

，

x

y|

xx

0

1

12,x

0

1,y

0

2

，所以切点坐标为

(1,2)

，

x

0

所求的切线方程为

y22(x1)

，即

y2x

.

故答案为：

y2x

.

【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题

.

n

14.

数列

{a

n

}

满足

a

n2

(1)a

n

3n1

，前

16

项和为

540

，则

a

1

______________.

【答案】

7

【解析】

【分析】

对

n

为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用

a

1

表示，由

偶数项递推公式得出偶数项的和，建立

a

1

方程，求解即可得出结论

.

n

【详解】

a

n2

(1)a

n

3n1

，

当

n

为奇数时，

a

n2

a

n

3n1

；当

n

为偶数时，

a

n2

a

n

3n1

.

设数列

a

n

的前

n

项和为

S

n

，

S

16

a

1

a

2

a

3

a

4

a

1

a

3

a

5

a

16

(a

14

a

16

)

a

15

(a

2

a

4

)

a

1

(a

1

2)(a

1

10)(a

1

24)(a

1

44)(a

1

70)

(a

1

102)(a

1

140)(5172941)


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