高一数学函数的概念

2023年12月15日发(作者：青州市初三数学试卷分析)

3.1（1）函数的概念

一、 教学内容分析

根据3.1函数的概念内容，分为两个课时，第一课时学习的内容是函数的概念与求函数的定义域，第二课时学习表达函数的（解析法、列表法、图象法）三种方法和利用对应法则求函数值。下面是对函数的概念第一课时内容的分析.

函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想贯穿于高中数学.在初中阶段,通过身边的事例和生活中的实例,学生认识了变量、自变量、因变量，知道函数的定义域、函数值、值域等概念，体会函数的意义,总结了表示函数的常用方法，学生对函数的意义已经有了不同程度的理解.

通过对不同阶段对函数有关概念的教学目标的不同要求，进行细致分析与比较.高中阶段应该在初中学习函数的基础上，进一步理解函数是变量之间相互依赖关系的反映，运用集合与对应的语言刻画函数，加深理解函数的概念，充实函数的内涵.懂得函数的抽象记号以及函数定义域、值域的集合表示，掌握求定义域的基本方法。再从直观到解析、从具体到抽象研究函数的性质，并能从解析的角度理解有关性质.

二、 教学目标设计

加深理解函数的概念，懂得函数的抽象记号，掌握求函数定义域的基本方法，领会集合思想、对应思想、模型思想.

经历从具体情境中抽象出数学符号的过程，体验函数是反映两个变量相互依赖的数学模型，是揭示两个变量变化规律的有效工具。掌握符号语言之间的相互转换.

懂得函数与日常生活的密切联系，知道数学内容中普遍存在着运 动、变化、相互联系和相互转化的规律.

三、教学重点及难点

理解函数的概念，并能用集合与对应的语言正确刻画函数.

四、教学流程设计

创设情景引导思考辨析函数精选例题分

五、教学过程设计

练习巩固总结归纳提升

一、 创设情景 引出新课

时间在变化、生产在增长、人口在增加……，世界充满着各种变化的量，在我们的日常生活中，也处处存在着量与量之间的关系.

以课本(P53)的中外城市的喷水池和某地出租车价格的规定为例，引导学生思考.

（1） 喷水池和出租车价格问题中都存在着哪些两个主要变量？

（2） 喷水池和规定出租车价格问题中是否存在着某种对应关系？

引导学生得出: 喷水池问题中有两个变量：时间与水珠位置高度;

出租车价格问题中有两个变量：里程与车费.它们按照一定的法则相互对应,其中一个量（时间或里程）的任何一个值，都有另一个量（高度与车费）的唯一确定的值与之对应.它们都体现了从x的集合到y的集合的一种对应关系,这种关系就是函数关系.

引导学生回顾在初中阶段，学过那些具体的函数.

我们学过了正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数，它们都体现了从x的集合到y的集合的一种对应关系,这种关系就是函 数关系.

[说明]通过列举日常生活中的实际问题，说明研究和处理变量之间的关系是人类生活和科技发展的需要，在数学中，函数正是反映了变量与变量之间的关系和事物变化的规律，说明我们学函数的必要性.并能运用集合思想、对应思想来理解函数的概念.

二、给出定义 辨析概念

1.辨析概念

下面进一步把函数的概念叙述如下：

如果在某个变化的过程中有两个变量x,y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某种对应法则f，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，y是x的函数，记作yf(x).

问题1.yx21x是不是函数？

问题2. 给出下列的三组函数:

①yx1与y0(x1)2;

②y1与yx;

x2x③y与yx1;

x其中表示同一个函数的是______.

问题3:指出下列函数的对应法则:

①f(x)2x1②f(x)22③f(x)3(x1)2.

x问题4.下列图象不能表示函数的是_______.

y1

y1y1

-1O-1x

-1O-1x (9

(1) (2) (3)

小结：函数包括三个要素：定义域、值域和对应法则，其中对应法则是核心，当函数的定义域和对应法则确定后，值域也随之确定.

[说明] 为了深刻理解函数的概念，设计了四个问题，目的是为了分别说明（1）函数的定义域是一个非空的数集xR或是R的子集，对于函数的定义域学生是可以解决的；（2）两个函数定义域和对应法则都相同时，两个函数才是相同的函数，给出了两个函数相同的条件；（3）理解函数的对应法则，符号f(x)的意义；（4）说明函数图象的特征，理解函数定义中对于x的每一个值，都有惟一的值y与它对应.

2.分析例题 总结方法

例1求下列函数的定义域：

(1)y2xx2；

(2)y13x2x12；

(3)y3x2x34x2；

例2.已知f(x)x1f(1)、f(1)、f(a1)的值.

[说明]

（1） 学生在初中阶段已经知道函数的定义域的概念，并会求一些函数的x的取值范围.

（2） 从求函数的定义域看到解不等式和集合的交集运算的应用。

（3） 初中阶段由于没有涉及集合的概念，函数的定义域都是用不等式来表示，所以这里要强调定义域是一个非空的数集，要用集合或区间表示.

3. 练习巩固 评价反馈

1.求下列函数的定义域：

(1)y(x2)(x3)；

(2)yx2x3；

(3)y11x1；

（1）学生板演，并对解答的过程进行评价反馈.

(2) 小结: 求函数的定义域时，一般应考虑:

① 使函数的表达式有意义的x的取值范围,目前主要考虑的是：

偶次方根的被开方数不小于零；

分母不等于零；

零的零次幂没有意义.

② 实际问题的背景所允许的取值范围.

例如：Sr表示圆的面积时，r的取值范围应是r0,.

2三、 课堂小结

（1） 函数包括三个要素：定义域、值域和对应法则.

（2）求函数的定义域时一般应考虑问题.

四、 思考探究

对于前面的出租车问题，下面的问题留作思考：

（1） 某人乘坐出租车7千米，车费为多少元？

（2） 某人乘坐出租车15千米，车费为多少元？

（3） 尝试写出里程x（千米）与车费y（元）的函数关系,并给出定义域.

[说明]思考探索题留给有一定能力的学生课后思考解答，又有着启上承下的作用，分段函数正是下个课时要学习的课题.

五、 作业布置

(一)习题3.1

七、教学设计说明

函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想贯穿于整个初中和高中数学.

对于高一学生来说，函数不是一个陌生的概念。但是，由于局限初中阶段学生的认知水平；学生又善未学习集合的概念，只是用运动变化的观点来定义函数，通过对正比例函数、反比例函数、一次和二次函数的学习来理解函数的意义，对于函数的概念理解并不深刻.

高一学生学习集合的概念之后，进一步运用集合与对应的观点来刻画函数，突出了函数是两个集合之间的对应关系，领会集合思想、对应思想和模型思想。所以把第一课时的重点放在函数的概念理解，通过生活中的实际事例，引出函数的定义，懂得数学与人类生活的密切联系，通过对函数三要素剖析，进一步理解充实函数的内涵。所以在教学过程中分别设计了不同问题来理解函数的定义域、对应法则、函数图象的特征、两个相同函数的条件等问题.

学生在初中阶段，已经知道函数的定义域是使函数解析式有意义、实际问题要符合实际意义的自变量的范围，所以在教学中进一步强调定义域的集合表示.