数学符号的价值

2024年3月18日发(作者：泉州市第三次质检数学试卷)

数学符号的价值

（07数教48号魏晖晖）

中学生时期的学生在学习数学时会觉得代数是一门高度符号化的学科，这正

好与几何学相反，在代数中，充满了各种符号，例如加号，减号，除号，字母表

中的后几个字母（代表未知量）和前几个字母（代表已知量）、表示运算次序的

各种符号（小括号、中括号、大括号）、指数、下标、根号、等号、阶乘符号、

组合和排列符号、对数符号等等。但是，在学生当中很少有人知道这种符号表示

仅仅有四百多年的历史，实际上大多数乘号的出现还不到四百年。

在1842年，G.H.F.内塞尔曼首先把代数学符号化的历史过程分为三个阶段。

第一阶段是文字表示的代数学，其中问题的解法完全用文字来叙述，而没有任何

简写和符号。第二阶段是简写的代数学，其中采用速记式的简写来表示一些经常

出量、关系和运算。最后一个阶段是符号代数学，这时问题的解决方法大都用数

学速记来表达，其中采用的各种符号同它们所表示的实际内容和思想几乎都没什

么明显的联系。

可以说丢番图时代（公元250年前后）以前的一切代数学都是文字表示的，

丢番图对于代数学发展的重大贡献之一，就是简写了希腊代数学。但是，必须承

认，文字表示的代数学在世界其它地区一般都持续在了你百年之久，特别是在西

欧，十五世纪以前的代数几乎都是文字表示的，但是发展缓慢，直到十七世纪中

期才取得到推广。

19世纪这个数学向代数学买进的过程中，符号化是最重要的一环。虽然符

号化这一环不产生新的数学思想，却是推动数学向近代数学发展最关键的要素，

它引导人类的数学思维更加抽象和简练。数学符号最突出的过程是伴随代数的发

展。

数学符号最突出的倾向化的表现是宋元时期的“四元木”工作，天元术被朱世

杰从一个未知数推广到二元、三元及四元高次方程组，这就是“四元术”，朱世杰

《四元五鉴》中记载着这种列多元高次方程组的方法，首先是常（太）居中，然

后“立天元一于下，人元一于左，物元一于上”，这就说，“四元术”以“天”、“地”、

“人”、“物”来表示四个不同的未知数，这是文字代表代数数学，但是最终未能演

化成近代数学符号。直到16世纪韦达在自己的代数工作中引入符号体系，这一

工作方法立即被后继思想家响应，最终引导数学逐步发展具有自己的符号和语

言，彻底完成数学符号化，较好的符号体系的引用，这对于代数学本身的发展以

及分析的发展来说，至关重要。正是由于符号化体系的建立，才使代数有可能成

为一门科学，近现代数学最明显的标志之一，这就是普遍地使用了数学符号。

韦达，法国思想家，早年学习法律，后成为高级律师，业余研究数学，并为

战争破译过密码。他曾在布列塔尼议会工作，后任纳瓦尔亨利亲王的枢密顾问官。

他在政治上失意的1584——1589年间，献身于数研究，曾研究过卡尔丹、塔利

亚、邦贝利、史蒂文和丢番图等人的著作，从这些著作中特别是丢番图的著作中

获得了使用字母的想法。他在《分析术入门》中用辅音字母表示已知量，元音字

母表示未知量，并把符号代数称作“类的算术”。他区分了算术与代数，认为代数

运算是实行事物的类或形式，算术运算实行于具体的数。符号体系的引入导致在

代数性质上产生重大变革，使代数成为研究一般类型的形式和方程的学问，因其

抽象而应用广泛。

韦达的方法被后人赞赏并被继承。特别是通过奥特雷德的《实用分析术》使

数学符号的风气流行起来。对韦达使用的代数符号的进工作是由笛卡儿完成的，

他首先用拉丁字母的前几个（a、b、c、d，…）表示已知量，后几个（x、y、z、

w…）表示未知量，成为今天的习惯。文艺复兴时期就形成了一系列初等数学符

号。以后数学符号伴随新的数学对象产生。

莱布尼茨的名字在数学符号史上也必须提到，虽然，他在代数上采用这个重

大步骤较晚，他对各种符号进行了长期的研究，试用过一些符号，并征求同时代

人的意见，然后他选择他认为最好的符号——微分符号。

欧拉对数学符号化也做出了重大贡献，他采用f（x）作函数符号，用e表示

自然对数的底，用Σ最为函数中的求和号，用i表示虚数单位√-1，符号n！（称

为n的阶乘）是施特拉斯堡的c.克拉姆普在1808年引入的，他采用这符号是为

了避免从前使用的符号n在印刷上造成的困难，丁.沃利斯∙首先比较全面地解释

了零指数、负数和分数指数的意义，他引入了我们现在使用的无穷大号“∞”。早

期的英国早期数学家w.奥特雷德、I.巴罗、D.格雷戈里用符号π来表示一个圆的

周长，英国数学家W.约奈斯在1906年发表作品中首先使用这个符号来表示圆周

与直径之比。

莱布尼茨发明微积分符号，从而推动微积分形式化发展；欧拉引进分析领域

中标准符号，高斯引进数论中的标准符号，都曾经推动数学很大发展。

数学符号体系的建立是近代数学发展最为明显的标志之一，这对于代数学本

身甚至以后整个数学的发展来说至关重要。符号成为数学的基本工具，也是学习

数学的重要内容。数学广泛使用数学符号，不仅体现了数学学科高度抽象与简练，

而且对人们高效把握数学思想，推动数学思维发展也是必不可少的。

数学运用数学符号表达了各种高级的，高度符号化了的，抽象的数学定律。

正是这些数学定律使得人类能够量化地进行工程设计和施工，人类的工业开始能

够制造出复杂庞大的系统。